Jednomiany i sumy algebraiczne

1. 1

   Uporządkowana postać jednomianu to taka, w której współczynnik stoi z przodu, a litery są w kolejności alfabetycznej.

   $$3 \cdot a \cdot 2 \cdot b = 6ab$$
2. 2

   Mnożąc jednomiany, mnożymy osobno współczynniki i osobno litery.

   $$2x \cdot 5y = 10xy$$
3. 3

   Współczynniki: $2 \cdot 5 = 10$. Litery: $x$ razy $y$ to $xy$ — obie zostają w wyniku.

   $$(2 \cdot 5) \cdot (x \cdot y) = 10xy$$
4. 4

   Drugi przykład ma dwa razy tę samą literę.

   $$3a \cdot 4a = 12a^2$$
5. 5

   Zwróć uwagę na drugi przykład: te same litery mnożone przez siebie dają potęgę. To ta sama zasada, którą znasz z mnożenia potęg.

   $$a \cdot a = a^2$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Wyrazy podobne wolno łączyć — dodajemy współczynniki, a część literowa zostaje.

   $$3x + 7x = 10x$$
2. 2

   Współczynniki $3$ i $7$ dają $10$, a litera $x$ przechodzi do wyniku bez zmian.

   $$(3 + 7)x = 10x$$
3. 3

   Tak samo działa odejmowanie — wynik może mieć współczynnik ujemny.

   $$2ab - 5ab = -3ab$$
4. 4

   To dokładnie ta sama redukcja, którą znasz z klasy szóstej, tylko teraz nazwana po imieniu.

   $$(2 - 5)ab = -3ab$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: uprość wyrażenie i podaj, ile ma wyrazów po redukcji.

   $$4x + 3y - 2x + 5 - y + 1$$
2. 2

   Krok pierwszy: rozdzielamy wyrazy razem ze znakami. Pamiętaj, że minus należy do wyrazu, przed którym stoi.

   $$4x, \; +3y, \; -2x, \; +5, \; -y, \; +1$$
3. 3

   Krok drugi: grupujemy wyrazy podobne. Pierwsza grupa to wyrazy z literą $x$.

   $$4x - 2x$$
4. 4

   Druga grupa to wyrazy z literą $y$. Uwaga: samo $-y$ oznacza $-1y$.

   $$3y - 1y$$
5. 5

   Trzecia grupa to same liczby, bez liter.

   $$5 + 1$$
6. 6

   Krok trzeci: redukujemy każdą grupę osobno.

   $$2x, \quad 2y, \quad 6$$
7. 7

   Krok czwarty: zapisujemy wynik. Zwyczajowo najpierw wyrazy z literami, potem liczby.

   $$2x + 2y + 6$$
8. 8

   Wyrażenie ma po redukcji trzy wyrazy. Sprawdzenie przez podstawienie, na przykład $x = 1$ i $y = 2$: pierwotne daje $4 + 6 - 2 + 5 - 2 + 1 = 12$, a uproszczone $2 + 4 + 6 = 12$. Zgadza się.

   $$12 = 12 \; \checkmark$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Sprawdź podstawieniem, dla $x = 2$ i $y = 3$. Poprawny zapis daje dwanaście.

   $$3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12$$
2. 2

   Błędne $5xy$ dałoby trzydzieści — czyli zupełnie inną liczbę.

   $$5 \cdot 2 \cdot 3 = 30$$

Wszystkie 2 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: w sklepie zeszyt kosztuje $z$ złotych, a długopis $d$ złotych. Ola kupiła 3 zeszyty i 2 długopisy, a Kuba 2 zeszyty i 5 długopisów. Zapisz łączny koszt zakupów obojga.

   $$\text{zeszyt} = z, \; \text{dlugopis} = d$$
2. 2

   Krok pierwszy: koszt zakupów Oli. Trzy zeszyty i dwa długopisy.

   $$3z + 2d$$
3. 3

   Krok drugi: koszt zakupów Kuby.

   $$2z + 5d$$
4. 4

   Krok trzeci: łączny koszt to suma obu wyrażeń.

   $$(3z + 2d) + (2z + 5d)$$
5. 5

   Krok czwarty: redukujemy wyrazy podobne. Osobno zeszyty, osobno długopisy.

   $$3z + 2z = 5z, \quad 2d + 5d = 7d$$
6. 6

   Wynik: razem kupili pięć zeszytów i siedem długopisów.

   $$5z + 7d$$
7. 7

   Zauważ, dlaczego nie da się tego uprościć dalej. Zeszytów nie dodamy do długopisów, dopóki nie znamy cen — to różne towary, czyli różne wyrazy.

   $$5z + 7d \ne 12zd$$
8. 8

   Podstawmy konkretne ceny: zeszyt 4 zł, długopis 3 zł. Wtedy $5 \cdot 4 + 7 \cdot 3 = 20 + 21 = 41$ zł. I dopiero teraz mamy jedną liczbę.

   $$5 \cdot 4 + 7 \cdot 3 = 41 \text{ zl}$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.