Jak najszybciej obliczyć $103 \cdot 97$?

$(100+3)(100-3) = 10000 - 9 = 9991$

Wzory skróconego mnożenia — matematyka klasa 7

Cześć! Ile to $102^2$ ? Bez kalkulatora, w pamięci? Da się w kilka sekund: $10000 + 400 + 4 = 10404$ . Sekret to trzy wzory, które skracają mnożenie nawiasów do jednej linijki. Nazywają się wzorami skróconego mnożenia i towarzyszyć ci będą aż do matury.

Pierwszy wzór zobaczysz na rysunku

Weź kwadrat o boku $a + b$ i podziel każdy bok na kawałki $a$ i $b$ — jak na rysunku. Kwadrat rozpada się na cztery pola: $a^2$ , dwa prostokąty $ab$ i $b^2$ .

ab

aa²ab

babb²

= a² + 2ab + b²

Kwadrat sumy widziany jako pole

Całe pole to $(a+b)^2$ . Suma kawałków to $a^2 + ab + ab + b^2$ . Ta sama powierzchnia, więc:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Środkowy wyraz $2ab$ to nie ozdoba — to dwa prostokąty, które widać na rysunku. Kto o nich zapomina, gubi spory kawałek kwadratu.

Dwa pozostałe wzory — z mnożenia każdy z każdym

Ten sam wynik da zwykłe mnożenie nawiasów — i tą drogą wyprowadzisz resztę kompletu:

$(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a-b)(a+b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2$

W pierwszym iloczyny mieszane są identyczne i łączą się w $-2ab$ . W drugim mają przeciwne znaki, więc się znoszą — zostają tylko dwa kwadraty.

Wzór	Wynik	Ile wyrazów	Znak środkowego
$(a+b)^2$	$a^2 + 2ab + b^2$	3	$+$
$(a-b)^2$	$a^2 - 2ab + b^2$	3	$-$
$(a-b)(a+b)$	$a^2 - b^2$	2	brak

Zauważ: w obu kwadratach ostatni wyraz jest dodatni, bo to kwadrat liczby. Różni je tylko znak środkowego wyrazu.

Stosowanie wzorów w praktyce

Przykłady z liczbami i literami:

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

$(x - 4)(x + 4) = x^2 - 16$

Gdy przed literą stoi współczynnik

Gdy przed literą stoi współczynnik, do wzoru wchodzi cały wyraz:

2x3

2x4x²6x

36x9

= 4x² + 12x + 9

Kwadrat o boku 2x + 3 — w rogu siedzi 4x², bo do kwadratu idzie też dwójka

$(2x + 3)^2$

Tu $a = 2x$ i $b = 3$ , więc:

- $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$ — kwadratujemy też dwójkę!
- $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$
- $b^2 = 9$

Wynik: $4x^2 + 12x + 9$

Rachunki pamięciowe ze wzorami

1
Rachunki pamięciowe to najładniejsze zastosowanie wzorów. Rozbijamy 102 na okrągłą setkę plus dwa i stosujemy kwadrat sumy.
$102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 2 \cdot 100 \cdot 2 + 4 = 10404$
2
Dla liczby tuż poniżej setki wygodniejszy jest kwadrat różnicy.
$98^2 = (100 - 2)^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$
3
A gdy obie liczby leżą symetrycznie wokół okrągłej, wchodzi różnica kwadratów — jedno odejmowanie zamiast mnożenia pisemnego.
$103 \cdot 97 = (100+3)(100-3) = 10000 - 9 = 9991$

Wszystkie kroki za Tobą!

Wzory działają też w drugą stronę

Rozpoznanie postaci $a^2 - b^2$ pozwala rozłożyć wyrażenie na czynniki:

$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$

$x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$

To przyda się w klasie ósmej i w liceum przy równaniach.

x5

xx²5x

−5−5x−25

= x² − 25

Iloczyn (x − 5)(x + 5): pola 5x i −5x znoszą się, zostają dwa kwadraty

Kwadrat sumy ze współczynnikiem

1
Zadanie: rozwiń wyrażenie korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
$(3x + 2)^2$
2
Rozpoznajemy wzór: to kwadrat sumy, więc $a$ to cały wyraz $3x$ , a $b$ to dwójka.
$a = 3x, \quad b = 2$
3
Pierwszy składnik to $a$ do kwadratu. Uwaga — kwadratujemy CAŁY wyraz, razem ze współczynnikiem.
$(3x)^2 = 9x^2$
4
Drugi składnik to podwojony iloczyn. Mnożymy: dwa razy $3x$ razy dwa.
$2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x$
5
Trzeci składnik to $b$ do kwadratu.
$2^2 = 4$
6
Składamy wynik — trzy wyrazy, środkowy dodatni, bo to kwadrat SUMY.
$9x^2 + 12x + 4$
7
Sprawdzenie zwykłym mnożeniem: $(3x+2)(3x+2) = 9x^2 + 6x + 6x + 4$ . Po redukcji to samo.
$9x^2 + 12x + 4 \; \checkmark$
8
Sprawdzenie liczbowe dla $x = 1$ . Pierwotne: $5^2 = 25$ . Wynik: $9 + 12 + 4 = 25$ . Zgadza się.
$25 = 25 \; \checkmark$
Wskazówka
Kwadratuj CAŁY wyraz. Trzy iks do kwadratu to dziewięć iks kwadrat, nie trzy iks kwadrat.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Rozwiń $(x + 6)^2$ . Podaj współczynnik przy $x$ (środkowy wyraz).

(x + 6)^2

Pułapka! Kwadrat sumy to nie suma kwadratów

Absolutnie najczęstszy błąd w całej algebrze szkolnej.

$(a + b)^2$ NIE równa się $a^2 + b^2$ .

Brakuje środkowego wyrazu $2ab$ .

Sprawdź na liczbach: $(3 + 4)^2 = 49$ , a $3^2 + 4^2 = 25$ . Różnica to dokładnie $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ .

Wyrażenie	Poprawnie	Częsty błąd
$(x+3)^2$	$x^2 + 6x + 9$	$x^2 + 9$
$(x-2)^2$	$x^2 - 4x + 4$	$x^2 - 4$
$(2x+1)^2$	$4x^2 + 4x + 1$	$2x^2 + 1$

Zapamiętaj: kwadrat sumy ma TRZY wyrazy. Jeśli wyszły ci dwa — zgubił się środek.

Błąd drugi: niekwadratowanie współczynnika

Drugim błędem jest niekwadratowanie współczynnika.

$(2x)^2 = 4x^2$ , a nie $2x^2$ . Do kwadratu podnosimy cały wyraz, więc dwójka też.

Błąd trzeci: zły znak ostatniego wyrazu

Trzeci błąd to zły znak ostatniego wyrazu w kwadracie różnicy.

$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ . Ostatni wyraz jest dodatni, bo $(-3)^2 = +9$ . Minus dotyczy tylko środkowego wyrazu.

Błąd czwarty: mylenie wzorów

Zapis $(x-4)(x+4)$ to różnica kwadratów — wynik ma dwa wyrazy: $x^2 - 16$ . Nie ma tu środkowego wyrazu, bo iloczyny mieszane się zniosły.

Wyrażenie	Ile wyrazów	Wynik
$(x-4)^2$	3	$x^2 - 8x + 16$
$(x-4)(x+4)$	2	$x^2 - 16$

Te dwa zapisy wyglądają podobnie, a dają zupełnie inne wyniki. Czytaj uważnie.

Liczenie w pamięci ze wzorami

1
Zadanie: oblicz w pamięci $\;51^2$ . Mnożenie pisemne zajęłoby chwilę — wzór jest szybszy.
$51^2$
2
Rozbijamy 51 na okrągłą pięćdziesiątkę plus jeden i stosujemy kwadrat sumy.
$(50 + 1)^2$
3
Trzy składniki: kwadrat pięćdziesiątki, podwojony iloczyn, kwadrat jedynki.
$2500 + 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1$
4
Sumujemy.
$2500 + 100 + 1 = 2601$
5
Drugi przykład: $\;99^2$ . Tutaj wygodniej użyć kwadratu różnicy.
$(100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1$
6
Wynik.
$= 9801$
7
Trzeci przykład, najefektowniejszy: $\;104 \cdot 96$ . Obie liczby leżą symetrycznie wokół setki, więc to różnica kwadratów.
$(100+4)(100-4) = 10000 - 16$
8
Jedno odejmowanie i gotowe.
$= 9984$
Wskazówka
Szukaj okrągłej liczby w pobliżu. Sto, pięćdziesiąt, dwadzieścia — wtedy wzór robi całą robotę.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz $(x - 3)(x + 3)$ . Podaj wyraz wolny (samą liczbę ze znakiem).

(x - 3)(x + 3)

Ściąga do zapamiętania

Trzy wzory skróconego mnożenia — i czym kwadrat sumy różni się od różnicy kwadratów?

• Kwadrat sumy: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .
• Kwadrat różnicy: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .
• Różnica kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ .
Kwadraty dają trzy wyrazy, różnica kwadratów tylko dwa. Kwadrat sumy to nie suma kwadratów — brakowałoby wtedy podwojonego iloczynu.
• W obu kwadratach ostatni wyraz jest dodatni; minus dotyczy wyłącznie środka.
• Do kwadratu idzie cały wyraz: $(2x)^2 = 4x^2$ .
• W pamięci: $102^2 = (100+2)^2 = 10404$ .

Pierwszy wzór zobaczysz na rysunku

Dwa pozostałe wzory — z mnożenia każdy z każdym

Stosowanie wzorów w praktyce

Gdy przed literą stoi współczynnik

Rachunki pamięciowe ze wzorami

Wzory działają też w drugą stronę

Kwadrat sumy ze współczynnikiem

Pułapka! Kwadrat sumy to nie suma kwadratów

Błąd drugi: niekwadratowanie współczynnika

Błąd trzeci: zły znak ostatniego wyrazu

Błąd czwarty: mylenie wzorów

Liczenie w pamięci ze wzorami

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!