VAT, lokaty i oprocentowanie

1. 1

   Cena netto wynosi 200 zł, a stawka VAT 23 procent. Z netto na brutto mnożymy przez mnożnik.

   $$200 \cdot 1{,}23 = 246 \text{ zl}$$
2. 2

   Teraz droga powrotna: cena brutto 246 zł przy tej samej stawce. Cofając zmianę, dzielimy przez ten sam mnożnik.

   $$246 : 1{,}23 = 200 \text{ zl}$$
3. 3

   Sam podatek liczymy jako różnicę ceny brutto i netto.

   $$246 - 200 = 46 \text{ zl}$$
4. 4

   Sprawdzenie: podatek to 23 procent ceny netto. Zgadza się.

   $$0{,}23 \cdot 200 = 46 \; \checkmark$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Podstawowa stawka VAT wynosi 23 procent i to ona pojawia się w większości zadań.

   $$1 + 0{,}23 = 1{,}23$$
2. 2

   Stawka obniżona 8 procent obejmuje na przykład niektóre usługi budowlane.

   $$1 + 0{,}08 = 1{,}08$$
3. 3

   Najniższa stawka, 5 procent, dotyczy podstawowej żywności i książek.

   $$1 + 0{,}05 = 1{,}05$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Rok pierwszy: kapitał na początku 1000 zł, odsetki 50 zł.

   $$1000 \cdot 1{,}05 = 1050 \text{ zl}$$
2. 2

   Rok drugi: kapitał na początku 1050 zł, odsetki 52,50 zł.

   $$1050 \cdot 1{,}05 = 1102{,}50 \text{ zl}$$
3. 3

   Rok trzeci: kapitał na początku 1102,50 zł, odsetki 55,13 zł.

   $$1102{,}50 \cdot 1{,}05 = 1157{,}63 \text{ zl}$$
4. 4

   Za każdym razem mnożymy przez ten sam mnożnik, więc po $n$ latach wystarczy jeden wzór.

   $$K = K_0 \cdot 1{,}05^n$$
5. 5

   Po dziesięciu latach z tysiąca złotych zrobi się około 1629 zł — czyli o ponad 60 procent więcej, choć roczne oprocentowanie to zaledwie 5 procent.

   $$1000 \cdot 1{,}05^{10} \approx 1629 \text{ zl}$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie pierwsze: sklep sprzedaje krzesło w cenie netto 350 zł. Stawka VAT wynosi 23 procent. Ile zapłaci klient i ile wyniesie sam podatek?

   $$\text{netto} = 350 \text{ zl}$$
2. 2

   Krok pierwszy: cena brutto to netto pomnożone przez mnożnik VAT.

   $$350 \cdot 1{,}23 = 430{,}50 \text{ zl}$$
3. 3

   Krok drugi: sam podatek to różnica między brutto a netto.

   $$430{,}50 - 350 = 80{,}50 \text{ zl}$$
4. 4

   Sprawdzenie drugą drogą: podatek to 23 procent ceny netto.

   $$0{,}23 \cdot 350 = 80{,}50 \; \checkmark$$
5. 5

   Zadanie drugie: wpłacamy 2000 zł na lokatę o oprocentowaniu 4 procent rocznie. Ile będzie na koncie po dwóch latach?

   $$K_0 = 2000, \; p = 4\%$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A2080 złB2160 złC2163,20 zł

6. 6

   Po pierwszym roku mnożymy przez 1,04.

   $$2000 \cdot 1{,}04 = 2080 \text{ zl}$$
7. 7

   Po drugim roku mnożymy jeszcze raz — tym razem od nowej kwoty.

   $$2080 \cdot 1{,}04 = 2163{,}20 \text{ zl}$$
8. 8

   Zauważ, że w pierwszym roku odsetki wyniosły 80 zł, a w drugim 83,20 zł. Różnica to odsetki od odsetek — właśnie tak działa procent składany.

   $$83{,}20 > 80$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Cena brutto wynosi 123 zł, stawka VAT 23 procent. Ile wynosi netto?

   $$\text{brutto} = 123 \text{ zl}$$
2. 2

   Tak liczy ten, kto odejmuje procent — i dostaje wynik błędny.

   $$123 \cdot 0{,}77 = 94{,}71 \text{ zl}$$
3. 3

   Poprawnie dzielimy przez mnożnik VAT.

   $$123 : 1{,}23 = 100 \text{ zl}$$
4. 4

   Sprawdzenie obala błędną odpowiedź natychmiast: gdyby netto wynosiło 94,71 zł, to brutto byłoby 116,49 zł, a nie 123.

   $$94{,}71 \cdot 1{,}23 = 116{,}49 \text{ zl}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: dwie osoby wpłacają po 1000 zł na lokatę oprocentowaną 6 procent rocznie. Pierwsza wypłaca odsetki co roku, druga zostawia wszystko na koncie. Kto zarobi więcej po 10 latach?

   $$K_0 = 1000, \; p = 6\%$$
2. 2

   Osoba pierwsza: odsetki liczone zawsze od tysiąca, czyli 60 zł rocznie. To procent prosty.

   $$10 \cdot 60 = 600 \text{ zl odsetek}$$
3. 3

   Po dziesięciu latach ma więc 1600 zł.

   $$1000 + 600 = 1600 \text{ zl}$$
4. 4

   Osoba druga: co roku mnożymy przez 1,06. Po dziesięciu latach mnożnik podnosimy do dziesiątej potęgi.

   $$1000 \cdot 1{,}06^{10}$$
5. 5

   Liczymy potęgę. Jeden i sześć setnych do dziesiątej to około 1,791.

   $$1{,}06^{10} \approx 1{,}791$$
6. 6

   Czyli na koncie ma około 1791 zł.

   $$1000 \cdot 1{,}791 = 1791 \text{ zl}$$
7. 7

   Różnica to prawie 200 zł — a przecież obie osoby wpłaciły tyle samo i miały to samo oprocentowanie. Cała przewaga wzięła się z tego, że odsetki pracowały dalej.

   $$1791 - 1600 = 191 \text{ zl}$$
8. 8

   Po trzydziestu latach różnica byłaby jeszcze większa: procent prosty dałby 2800 zł, a składany około 5743 zł. To ta sama zasada, która sprawia, że długi z odsetkami rosną tak szybko.

   $$1{,}06^{30} \approx 5{,}74$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.