Wyłącz wspólny czynnik: $8x - 12$

$2(4x - 6)$ i to już postać ostateczna

Mnożenie sumy algebraicznej przez liczbę — matematyka klasa 7

Cześć! Kupujesz 5 zestawów, a w każdym jest zeszyt za $z$ złotych i długopis za $d$ złotych. Ile zapłacisz? Można zapisać $5(z + d)$ albo $5z + 5d$ — i oba zapisy są poprawne, bo opisują tę samą kwotę. To właśnie rozdzielność mnożenia, jedno z najczęściej używanych narzędzi w całej algebrze.

Opuszczanie nawiasu

Rozdzielność mnożenia względem dodawania:

ab

33a3b

= 3a + 3b

Mnożenie sumy przez liczbę

$a(b + c) = ab + ac$

Liczba przed nawiasem mnoży każdy wyraz w środku. To nie jest reguła do zapamiętania — wynika wprost z sensu mnożenia.

Pięć zestawów po zeszycie i długopisie to pięć zeszytów i pięć długopisów. Nic więcej się za tym nie kryje.

$3(x + 4) = 3x + 12$

$2(a - 5) = 2a - 10$

Uwaga na znaki w środku nawiasu. Mnożenie zachowuje je, jeśli liczba przed nawiasem jest dodatnia:

$4(2x - 3) = 8x - 12$

Minus przed nawiasem zmienia wszystkie znaki

$-(x + 5) = -x - 5$

$-2(3a - 4) = -6a + 8$

To jeden z najczęstszych powodów błędów, więc warto na tym zatrzymać się na chwilę. Minus przed nawiasem to tak naprawdę mnożenie przez $-1$ , a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca znaki.

Wyrażenie	Po opuszczeniu nawiasu
$3(x + 2)$	$3x + 6$
$3(x - 2)$	$3x - 6$
$-3(x + 2)$	$-3x - 6$
$-3(x - 2)$	$-3x + 6$

Zauważ ostatni wiersz: minus razy minus dało plus. To ta sama reguła znaków, którą znasz od klasy szóstej.

Wyłączanie czynnika przed nawias

Wzór działa też od prawej do lewej — i wtedy nazywa się wyłączaniem wspólnego czynnika.

2x3

36x9

= 6x + 9

Ten sam prostokąt czytany od drugiej strony: pola 6x i 9 składają się na bok 3 i bok 2x + 3

$ab + ac = a(b + c)$

Szukamy czynnika, który występuje w każdym wyrazie, i wyciągamy go przed nawias.

$6x + 9 = 3(2x + 3)$

Trójka dzieli i szóstkę, i dziewiątkę, więc można ją wyłączyć.

Jak znaleźć wspólny czynnik

To największy wspólny dzielnik współczynników, a jeśli wszystkie wyrazy zawierają tę samą literę — także ona.

Wyrażenie	Wspólny czynnik	Po wyłączeniu
$4x + 8$	$4$	$4(x + 2)$
$6a - 9b$	$3$	$3(2a - 3b)$
$x^2 + 3x$	$x$	$x(x + 3)$
$10y - 15$	$5$	$5(2y - 3)$

Trzeci wiersz pokazuje wyłączanie litery — obie części zawierają $x$ , więc można go wyciągnąć.

Po co to robić

Z trzech powodów:

1. Skraca zapis — $2(a + 2b)$ jest czytelniejsze niż $2a + 4b$ .
2. Ułatwia rachunki — $17 \cdot 4 + 17 \cdot 6$ to $17 \cdot 10 = 170$ , czyli jedno mnożenie zamiast dwóch.
3. Przydaje się w równaniach — wyłączenie czynnika często upraszcza całe zadanie.

Sprawdzenie zawsze jest łatwe: opuść nawias z powrotem. Jeśli wrócisz do wyjściowego wyrażenia, wyłączenie było poprawne.

Upraszczamy wyrażenie z dwoma nawiasami

1
Zadanie: uprość wyrażenie zawierające dwa nawiasy, w tym jeden z minusem przed nim.
$3(2x + 1) - 2(x - 4)$
2
Krok pierwszy: opuszczamy pierwszy nawias. Trójka mnoży oba wyrazy w środku.
$3 \cdot 2x + 3 \cdot 1 = 6x + 3$
3
Krok drugi: opuszczamy drugi nawias. Uwaga — przed nawiasem stoi MINUS dwa, więc mnożymy przez liczbę ujemną i znaki się odwracają.
$-2 \cdot x = -2x, \quad -2 \cdot (-4) = +8$
4
Drugi wyraz wyszedł dodatni, bo minus razy minus daje plus. To najczęstsze miejsce pomyłki w całym temacie.
$-2x + 8$
5
Krok trzeci: przepisujemy całe wyrażenie bez nawiasów.
$6x + 3 - 2x + 8$
6
Krok czwarty: redukujemy wyrazy podobne. Grupa z iksem i grupa liczb.
$6x - 2x = 4x, \quad 3 + 8 = 11$
7
Wynik to cztery iksy plus jedenaście.
$4x + 11$
8
Sprawdzenie przez podstawienie, $x = 2$ . Pierwotne: $3 \cdot 5 - 2 \cdot (-2) = 15 + 4 = 19$ . Uproszczone: $8 + 11 = 19$ . Zgadza się.
$19 = 19 \; \checkmark$
Wskazówka
Przy minusie przed nawiasem sprawdź KAŻDY znak osobno. Tam ginie najwięcej punktów.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Opuść nawias: $5(2x + 3)$ . Podaj wyraz wolny (samą liczbę bez litery).

5(2x + 3)

Pułapka! Mnożenie tylko pierwszego wyrazu

Najczęstszy błąd przy opuszczaniu nawiasu.

$3(x + 4)$ to $3x + 12$ , a nie $3x + 4$ .

Liczba przed nawiasem mnoży każdy wyraz w środku, bez wyjątku.

Sprawdź podstawieniem $x = 1$ : poprawnie $3 \cdot 5 = 15$ , a błędnie $3 + 4 = 7$ . Różnica wyraźna.

Wyrażenie	Poprawnie	Częsty błąd
$3(x + 4)$	$3x + 12$	$3x + 4$
$2(a - 7)$	$2a - 14$	$2a - 7$

Pułapka! Minus przed nawiasem

Błąd drugi, najgroźniejszy: minus przed nawiasem.

$-(x - 3)$ to $-x + 3$ , a nie $-x - 3$ .

Minus przed nawiasem odwraca wszystkie znaki w środku. Ten, który był minusem, staje się plusem.

Wyrażenie	Poprawnie	Częsty błąd
$-(x + 5)$	$-x - 5$	$-x + 5$
$-(x - 5)$	$-x + 5$	$-x - 5$
$-2(a - 3)$	$-2a + 6$	$-2a - 6$

Sposób na uniknięcie tego błędu: potraktuj minus przed nawiasem jako mnożenie przez $-1$ i wykonaj je świadomie dla każdego wyrazu osobno. To zajmuje chwilę dłużej, ale eliminuje pomyłkę.

Pułapka! Wyłączanie czynnika na skróty

Trzeci błąd: przy wyłączaniu czynnika pominięcie któregoś wyrazu. Zapis $6x + 9 = 3(2x + 9)$ jest błędny — dziewiątkę też trzeba było podzielić przez trzy. Kontrola: opuść nawias z powrotem i sprawdź, czy wracasz do wyjścia.

Czwarty: wyłączanie czynnika, który nie dzieli wszystkich wyrazów. Z $6x + 7$ nie da się wyłączyć trójki, bo siódemka się przez nią nie dzieli.

Rozdzielność w rachunkach pamięciowych

1003

770021

= 721

7 · 103 jako prostokąt o bokach 7 i 100 + 3 — rozcięty na dwa łatwe kawałki

1
Rozdzielność nie służy tylko algebrze — świetnie sprawdza się w liczeniu w pamięci. Zadanie: oblicz $7 \cdot 103$ .
$7 \cdot 103$
2
Rozbijamy 103 na sumę okrągłej setki i trójki.
$7 \cdot (100 + 3)$
3
Stosujemy rozdzielność.
$7 \cdot 100 + 7 \cdot 3 = 700 + 21 = 721$
4
Drugi przykład, w drugą stronę: oblicz $23 \cdot 7 + 23 \cdot 3$ . Wprost trzeba by mnożyć dwa razy.
$23 \cdot 7 + 23 \cdot 3$
5
Ale w obu składnikach występuje dwudziestka trójka, więc wyłączamy ją przed nawias.
$23 \cdot (7 + 3) = 23 \cdot 10$
6
A mnożenie przez dziesięć to już rachunek w pamięci.
$= 230$
7
Trzeci przykład, praktyczny: kupujesz 6 zestawów, każdy po 12 zł i 8 zł. Zamiast liczyć osobno, wyłączamy szóstkę.
$6 \cdot 12 + 6 \cdot 8 = 6(12 + 8)$
8
Sześć razy dwadzieścia to 120 zł. Jedno mnożenie zamiast dwóch i dodawania.
$6 \cdot 20 = 120 \text{ zl}$
Wskazówka
Wyłączanie wspólnego czynnika to nie tylko algebra. To najszybsza droga w wielu rachunkach pamięciowych.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Opuść nawias: $-3(x - 2)$ . Podaj wyraz wolny (samą liczbę ze znakiem).

-3(x - 2)

Ściąga do zapamiętania

Jak opuścić nawias i co robi z nim minus stojący z przodu?

Rozdzielność: liczba przed nawiasem mnoży każdy wyraz w środku — $3(x+4) = 3x + 12$ , a nie $3x + 4$ .
• Minus przed nawiasem odwraca wszystkie znaki: $-(x-3) = -x + 3$ . Potraktuj go jak mnożenie przez $-1$ i wykonaj świadomie dla każdego wyrazu.
• Wyłączanie czynnika to ten sam wzór czytany od prawej: $6x + 9 = 3(2x+3)$ . Wspólny czynnik musi dzielić wszystkie wyrazy.
• Kontrola: opuść nawias z powrotem albo podstaw liczbę do obu postaci.

Opuszczanie nawiasu

Minus przed nawiasem zmienia wszystkie znaki

Wyłączanie czynnika przed nawias

Jak znaleźć wspólny czynnik

Po co to robić

Upraszczamy wyrażenie z dwoma nawiasami

Pułapka! Mnożenie tylko pierwszego wyrazu

Pułapka! Minus przed nawiasem

Pułapka! Wyłączanie czynnika na skróty

Rozdzielność w rachunkach pamięciowych

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!