Uczeń zredukował $8a - 3a + 2a$ i otrzymał $13a$. Gdzie popełnił błąd?

Powinien pomnożyć współczynniki

Redukcja wyrazów podobnych — matematyka klasa 7

Cześć! Wyrażenie $7a - 3b + 2a + 5b - 4a$ wygląda na plątaninę liter. Ale po uporządkowaniu zostaje z niego krótkie $5a + 2b$ — i to ta sama liczba, tylko zapisana rozsądniej. Dziś doprowadzimy redukcję do perfekcji, bo bez niej nie ruszysz z równaniami ani ze wzorami skróconego mnożenia.

Dlaczego 7a i 2a wolno połączyć, a 7a i 3b nie

Litera $a$ to jakaś liczba. Zapis $7a + 2a$ znaczy: siedem takich liczb i jeszcze dwie takie same — razem dziewięć:

aaabb

1aaabb

= 3a + 2b

Trzy odcinki jednej długości i dwa innej — zliczyć da się tylko te same

$7a + 2a = (7 + 2) \cdot a = 9a$

To zwykła rozdzielność mnożenia, ta sama co w rachunku $7 \cdot 5 + 2 \cdot 5 = 9 \cdot 5$ .

A $7a + 3b$ ? To jak 7 jabłek i 3 gruszki — nie zrobisz z nich dziesięciu jabłek. Dopóki nie wiadomo, ile wynoszą $a$ i $b$ , tej sumy nie da się skleić w jeden wyraz. Łączyć wolno tylko wyrazy o identycznej części literowej — nazywamy je wyrazami podobnymi.

Trzy kroki redukcji

Redukcja wyrazów podobnych ma zawsze ten sam przebieg:

xxx

1xxx

= 3x

Trzy takie same pola to 3x

Redukujemy wyrażenie z początku lekcji

aaaaabb

1aaaaabb

= 5a + 2b

Po redukcji zostaje pięć odcinków a i dwa odcinki b

1
Bierzemy wyrażenie z początku lekcji.
$7a - 3b + 2a + 5b - 4a$
2
Krok pierwszy: rozdzielamy wyrazy razem ze znakami.
$+7a, \; -3b, \; +2a, \; +5b, \; -4a$
3
Krok drugi: zbieramy grupę z literą $a$ .
$7a + 2a - 4a$
4
Krok trzeci: dodajemy jej współczynniki, literę przepisujemy bez zmian.
$7 + 2 - 4 = 5 \Rightarrow 5a$
5
Teraz to samo z grupą z literą $b$ .
$-3b + 5b$
6
Suma współczynników tej grupy wynosi dwa.
$-3 + 5 = 2 \Rightarrow 2b$
7
Wynik: dwa wyrazy zamiast pięciu.
$5a + 2b$

Wszystkie kroki za Tobą!

Praktyczna wskazówka: podkreślaj grupy różnymi kształtami

Wyrazy z $a$ podkreśl prostą linią, z $b$ falą. W dłuższych wyrażeniach to naprawdę pomaga.

Kolejność zapisu wyniku jest umowna, ale przyjęło się:

- najpierw wyrazy z literami, potem same liczby
- litery w kolejności alfabetycznej
- w obrębie jednej litery — od najwyższej potęgi

Zapis $3x^2 + 2x - 5$ jest uporządkowany, a $-5 + 2x + 3x^2$ zawiera te same wyrazy, tylko w mniej czytelnej kolejności.

Potęgi muszą być identyczne

Im dłuższe wyrażenie, tym ważniejsze staje się precyzyjne rozpoznanie części literowej.

Wyrazy z potęgami są podobne tylko wtedy, gdy potęgi są identyczne:

Wyrazy	Podobne?
$3x^2$ i $5x^2$	tak
$3x^2$ i $5x$	nie
$3x^2$ i $5x^3$	nie

Dlaczego potęga musi się zgadzać? Bo $x^2$ i $x$ to różne wielkości. Dla $x = 10$ wyraz $3x^2$ to $300$ , a $5x$ to $50$ — żaden wspólny zapis $8x$ czy $8x^2$ nie odda ich sumy.

Dlatego wyrażenie $4x^2 + 3x - x^2 + 2x$ redukuje się do dwóch grup:

$(4x^2 - x^2) + (3x + 2x) = 3x^2 + 5x$

Dalej uprościć się go nie da — to odpowiedź końcowa.

Kolejność liter nie ma znaczenia

Wyrazy z kilkoma literami wymagają uwagi na kolejność, która nie ma znaczenia:

$3ab$ i $5ba$ są podobne, bo $ab = ba$ .

Ale uwaga: $3ab$ i $3a^2b$ nie są podobne, bo pierwsza litera występuje w innej potędze.

Redukcja do zera

Czasem grupa znika całkowicie:

$5x - 5x = 0$

Wtedy po prostu pomijamy ją w wyniku. Wyrażenie $5x + 3y - 5x$ redukuje się do $3y$ .

Sprawdzenie przez podstawienie działa zawsze i warto z niego korzystać, zwłaszcza na początku. Podstaw dowolne liczby (najlepiej różne, na przykład $x = 2$ , $y = 3$ ) do postaci przed i po redukcji. Wyniki muszą być identyczne.

Redukujemy wyrażenie z potęgami

1
Zadanie: zredukuj wyrazy podobne w wyrażeniu zawierającym potęgi i dwie litery.
$5x^2 + 3xy - 2x^2 + 4 - xy - 1$
2
Krok pierwszy: rozdzielamy wyrazy ze znakami. To najważniejszy moment — łatwo tu zgubić minus.
$+5x^2, \; +3xy, \; -2x^2, \; +4, \; -xy, \; -1$
3
Krok drugi: grupujemy. Pierwsza grupa to wyrazy z $x$ do kwadratu.
$5x^2 - 2x^2$
4
Druga grupa to wyrazy z $xy$ . Pamiętaj, że samo $-xy$ oznacza $-1xy$ .
$3xy - 1xy$
5
Trzecia grupa to same liczby.
$+4 - 1$
6
Krok trzeci: redukujemy każdą grupę.
$3x^2, \quad 2xy, \quad 3$
7
Zapisujemy wynik w uporządkowanej postaci — od najwyższej potęgi.
$3x^2 + 2xy + 3$
8
Sprawdzenie przez podstawienie, $x = 2$ i $y = 1$ . Pierwotne: $20 + 6 - 8 + 4 - 2 - 1 = 19$ . Uproszczone: $12 + 4 + 3 = 19$ . Zgadza się.
$19 = 19 \; \checkmark$
Wskazówka
Podstawiaj różne liczby do sprawdzenia. Przy x równym y niektóre błędy się ukrywają.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Zredukuj: $9x - 4x + 2x$ . Podaj współczynnik wyniku.

9x - 4x + 2x

Pułapka! Gubienie znaku przy grupowaniu

Przy przenoszeniu wyrazów do grup najczęściej gubi się minusy.

Wyrażenie $8a - 5a + 3a$ ktoś grupuje jako $8a + 5a + 3a = 16a$ . Poprawnie: $8 - 5 + 3 = 6$ , czyli $6a$ .

Zasada: znak stojący PRZED wyrazem należy do niego i wędruje razem z nim.

W wyrażeniu $7 - 3x$ drugim wyrazem jest $-3x$ , a nie $3x$ .

Pułapka! Redukowanie wyrazów o różnych potęgach

Drugi błąd: redukowanie wyrazów o różnych potęgach.

$4x^2 + 3x$ zostaje bez zmian. To nie jest $7x^2$ ani $7x^3$ .

Sprawdź podstawieniem $x = 2$ : poprawnie $16 + 6 = 22$ , a $7x^2$ dałoby $28$ . Różnica widoczna od razu.

Pułapka! Wynik nie musi być jednym wyrazem

Trzeci błąd: przekonanie, że wynik musi być jedną liczbą albo jednym wyrazem. Wyrażenie $3x^2 + 5x - 2$ jest w pełni zredukowane i ma trzy wyrazy. To normalne.

Wyrażenie	Zredukowane	Liczba wyrazów
$3x + 2x$	$5x$	1
$3x + 2y$	$3x + 2y$	2
$x^2 + x + 1$	bez zmian	3

Pułapka! Mnożenie zamiast dodawania współczynników

Czwarty błąd: mnożenie zamiast dodawania współczynników. $3x + 4x$ to $7x$ , a nie $12x$ ani $12x^2$ .

Piąty, drobny: pomijanie grupy, która zredukowała się do zera. Jeśli $5x - 5x = 0$ , po prostu nie zapisujemy jej w wyniku — ale trzeba sprawdzić, czy faktycznie wyszło zero, a nie zgubić wyraz przez nieuwagę.

Redukcja upraszcza obwód figury

1
Zadanie: figura składa się z prostokąta o bokach $a$ i $b$ oraz doklejonego do niego kwadratu o boku $b$ . Zapisz obwód całej figury i uprość zapis.
$\text{prostokat } a \times b + \text{kwadrat } b \times b$
2
Krok pierwszy: obchodzimy figurę dookoła i wypisujemy wszystkie odcinki. Dolna krawędź to $a$ plus $b$ .
$a + b$
3
Prawa krawędź to bok kwadratu.
$+ b$
4
Górna krawędź to znowu $b$ plus $a$ , a lewa to bok prostokąta.
$+ b + a + b$
5
Zapisujemy cały obwód jako sumę odcinków.
$O = a + b + b + b + a + b$
6
Krok drugi: redukujemy. Grupa z literą $a$ ma dwa wyrazy, grupa z $b$ cztery.
$2a + 4b$
7
Zapis skrócił się z sześciu wyrazów do dwóch — i o to właśnie chodzi w redukcji. Można pójść jeszcze dalej i wyłączyć wspólny czynnik.
$2(a + 2b)$
8
Sprawdzenie dla $a = 5$ i $b = 3$ : pierwotny zapis daje $5+3+3+3+5+3 = 22$ , a uproszczony $2 \cdot 5 + 4 \cdot 3 = 22$ . Zgadza się.
$22 = 22 \; \checkmark$
Wskazówka
Redukcja nie zmienia wartości. Zmienia tylko liczbę znaków, które trzeba przepisać.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Zredukuj: $4y^2 + 3y - y^2$ . Podaj współczynnik przy $y^2$ .

4y^2 + 3y - y^2

Ściąga do zapamiętania

Które wyrazy wolno połączyć w jeden i jak to zrobić?

Trzy kroki: rozdziel wyrazy razem ze znakami, zgrupuj te o identycznej części literowej, dodaj współczynniki (litera zostaje bez zmian).
• Podobne są tylko wyrazy z tą samą literą w tej samej potędze — $3x^2$ i $5x$ podobne nie są.
• Kolejność liter nic nie zmienia: $ab = ba$ .
• Samo $x$ to $1x$ , a $-x$ to $-1x$ .
• Wynik może mieć kilka wyrazów i to też jest pełna odpowiedź.
• Porządek zapisu: od najwyższej potęgi, liczby na końcu.
• Sprawdzaj przez podstawienie różnych liczb.

Dlaczego 7a i 2a wolno połączyć, a 7a i 3b nie

Trzy kroki redukcji

Redukujemy wyrażenie z początku lekcji

Praktyczna wskazówka: podkreślaj grupy różnymi kształtami

Potęgi muszą być identyczne

Kolejność liter nie ma znaczenia

Redukcja do zera

Redukujemy wyrażenie z potęgami

Pułapka! Gubienie znaku przy grupowaniu

Pułapka! Redukowanie wyrazów o różnych potęgach

Pułapka! Wynik nie musi być jednym wyrazem

Pułapka! Mnożenie zamiast dodawania współczynników

Redukcja upraszcza obwód figury

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!