Proporcje

1. 1

   Czy $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ jest proporcją? Mnożymy na krzyż i porównujemy iloczyny.

   $$3 \cdot 12 = 36, \qquad 4 \cdot 9 = 36$$
2. 2

   Iloczyny są równe, więc tak — oba paski na rysunku obok są zamalowane w tej samej części.

   $$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$$
3. 3

   Rozwiązywanie proporcji z niewiadomą to właśnie to, po co jej używamy.

   $$\frac{x}{6} = \frac{10}{15} \;\Rightarrow\; 15x = 60 \;\Rightarrow\; x = 4$$
4. 4

   Niewiadoma w liczniku po lewej stronie — najzwyklejszy przypadek.

   $$\frac{x}{4} = \frac{6}{8} \;\Rightarrow\; 8x = 24 \;\Rightarrow\; x = 3$$
5. 5

   Niewiadoma może stać w mianowniku i nic się nie zmienia — nadal mnożymy na krzyż.

   $$\frac{5}{x} = \frac{10}{6} \;\Rightarrow\; 10x = 30 \;\Rightarrow\; x = 3$$
6. 6

   Niewiadoma po prawej stronie zachowuje się tak samo.

   $$\frac{2}{7} = \frac{x}{21} \;\Rightarrow\; 7x = 42 \;\Rightarrow\; x = 6$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: 3 kg jabłek kosztują 12 zł. Ile zapłacimy za 7 kg?

   $$3 \text{ kg} \to 12 \text{ zl}$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A16 złB28 złC84 zł

2. 2

   Krok pierwszy: oznaczamy szukaną wielkość.

   $$x = \text{cena za 7 kg}$$
3. 3

   Krok drugi: układamy proporcję. Kilogramy w licznikach, złotówki w mianownikach — konsekwentnie po obu stronach.

   $$\frac{3 \text{ kg}}{12 \text{ zl}} = \frac{7 \text{ kg}}{x \text{ zl}}$$
4. 4

   Krok trzeci: mnożymy na krzyż. Skrajne to 3 i $x$, środkowe to 12 i 7.

   $$3x = 12 \cdot 7$$
5. 5

   Liczymy prawą stronę.

   $$3x = 84$$
6. 6

   Krok czwarty: dzielimy obie strony przez 3.

   $$x = 28$$
7. 7

   Sprawdzenie sensu: 7 kg to ponad dwa razy więcej niż 3 kg, więc cena powinna być ponad dwa razy większa od 12 zł. 28 zł pasuje.

   $$28 > 2 \cdot 12 = 24 \; \checkmark$$
8. 8

   Sprawdzenie dokładne przez cenę jednostkową: kilogram kosztuje 4 zł, więc siedem kilogramów to 28 zł.

   $$12 : 3 = 4, \quad 7 \cdot 4 = 28 \; \checkmark$$
9. 9

   Odpowiedź: za 7 kg jabłek zapłacimy 28 zł.

   $$\text{Odp.: } 28 \text{ zl}$$

Wszystkie 9 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: 2 cm na mapie to 5 km. Ile to 7 cm?

   $$2\text{ cm} \to 5\text{ km}, \qquad 7\text{ cm} \to x$$
2. 2

   Poprawnie: centymetry na tych samych pozycjach, kilometry na tych samych.

   $$\frac{2}{5} = \frac{7}{x} \;\Rightarrow\; 2x = 35 \;\Rightarrow\; x = 17{,}5$$
3. 3

   Błędnie: tu centymetry raz są w liczniku, raz w mianowniku.

   $$\frac{2}{5} = \frac{x}{7} \;\Rightarrow\; 5x = 14 \;\Rightarrow\; x = 2{,}8$$
4. 4

   Pierwszy zapis daje 17,5 km, drugi 2,8 — a prawidłowa odpowiedź to 17,5.

   $$x = 17{,}5\text{ km}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: przepis na ciasto dla 4 osób wymaga 300 g mąki i 6 jajek. Ile potrzeba dla 10 osób?

   $$4 \text{ osoby} \to 300 \text{ g}, \; 6 \text{ jajek}$$
2. 2

   Sprawdzamy najpierw, czy zależność jest proporcjonalna. Dwa razy więcej osób to dwa razy więcej ciasta — tak, proporcja pasuje.

   $$\text{proporcjonalne} \; \checkmark$$
3. 3

   Mąka: układamy proporcję. Osoby w licznikach, gramy w mianownikach.

   $$\frac{4}{300} = \frac{10}{x}$$
4. 4

   Mnożymy na krzyż.

   $$4x = 3000$$
5. 5

   Dzielimy przez 4.

   $$x = 750 \text{ g maki}$$
6. 6

   Jajka: ta sama metoda.

   $$\frac{4}{6} = \frac{10}{y} \;\Rightarrow\; 4y = 60$$
7. 7

   Wychodzi 15 jajek.

   $$y = 15$$
8. 8

   Sprawdzenie inną drogą — przez jedną osobę. Na osobę przypada 75 g mąki i 1,5 jajka.

   $$300 : 4 = 75, \quad 6 : 4 = 1{,}5$$
9. 9

   Dla dziesięciu osób: 750 g i 15 jajek. Zgadza się z proporcjami.

   $$10 \cdot 75 = 750, \quad 10 \cdot 1{,}5 = 15 \; \checkmark$$

Wszystkie 9 kroków odsłonięte.