Które wielkości są wprost proporcjonalne?

$x = 2, y = 6$ oraz $x = 5, y = 15$

$x = 1, y = 4$ oraz $x = 2, y = 6$

$x = 2, y = 6$ oraz $x = 5, y = 10$

$x = 3, y = 9$ oraz $x = 4, y = 10$

Czy zależność $y = 3x + 2$ jest proporcjonalnością prostą?

Nie — wykres nie przechodzi przez początek układu, a iloraz $\frac{y}{x}$ nie jest stały

Wielkości wprost proporcjonalne — matematyka klasa 7

Cześć! Jedziesz rowerem ze stałą prędkością. Dwa razy dłużej — dwa razy dalej. Trzy razy dłużej — trzy razy dalej. Iloraz drogi przez czas jest stale ten sam i równa się twojej prędkości. Taka zależność nazywa się proporcjonalnością prostą, a jej wykres to zawsze prosta przechodząca przez początek układu.

Definicja i współczynnik

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, jeśli ich iloraz jest stały.

0

10

20

30

40

50

60

2 kg

4 kg

6 kg

Dwa razy więcej towaru to dwa razy wyższa cena

$\frac{y}{x} = a$ , czyli $y = a \cdot x$

Liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności. To ona mówi, ile przypada jednej wielkości na jednostkę drugiej.

Test: podziel każdy $y$ przez odpowiadający mu $x$ . Ta sama liczba za każdym razem — wielkości są wprost proporcjonalne.

Czas $t$ [h]	Droga $s$ [km]	$\frac{s}{t}$
1	15	15
2	30	15
3	45	15
5	75	15

Iloraz jest zawsze równy 15, więc droga jest wprost proporcjonalna do czasu, a współczynnikiem jest prędkość: $s = 15t$ .

Co to znaczy w praktyce

- ile razy zwiększysz $x$ , tyle razy zwiększy się $y$ — podwojenie $x$ podwaja $y$
- gdy $x = 0$ , to $y = 0$ — zero czasu to zero kilometrów

Przetestuj sam. Oto dwie tabele; w jednej jest proporcjonalność, w drugiej nie. Podziel $y$ przez $x$ w każdej kolumnie i porównaj wyniki:

$x$	2	4	6
$y$ (tabela A)	5	10	15
$y$ (tabela B)	5	9	13

Wynik testu dla obu tabel

W tabeli A ilorazy to $2{,}5$ , $2{,}5$ i $2{,}5$ — proporcjonalność prosta o współczynniku $2{,}5$ . W tabeli B wychodzi $2{,}5$ , $2{,}25$ i około $2{,}17$ — iloraz się zmienia, więc to nie jest proporcjonalność, choć $y$ też rośnie równo o 4.

tabela A
tabela B

Obie tabele rosną, ale przedłużenie linii A trafia w zero, a linii B — nie

Wykres proporcjonalności

Wykresem proporcjonalności prostej jest zawsze prosta przechodząca przez punkt $(0, 0)$ .

To naturalne: skoro $y = ax$ , to dla $x = 0$ wychodzi $y = 0$ .

Współczynnik $a$ decyduje o nachyleniu. Im większy, tym prosta bardziej stroma: $y = 2x$ wspina się dwa razy szybciej niż $y = x$ , a $y = 0{,}5x$ dwa razy wolniej.

Jak narysować wykres? Wystarczą dwa punkty: początek układu $(0,0)$ oraz jeden dowolny, na przykład dla $x = 1$ . Przez dwa punkty prowadzimy prostą.

Jak rozpoznać proporcjonalność na wykresie

Muszą być spełnione oba warunki:

Prosta przez początek układu — dla x = 1 odczytujesz a

1. wykres jest prostą
2. prosta przechodzi przez początek układu

Prosta, która przecina oś pionową powyżej zera (na przykład wykres taksówki z opłatą początkową), przedstawia zależność liniową, ale nie proporcjonalną.

Odczytywanie z wykresu. Współczynnik $a$ to po prostu wartość $y$ dla $x = 1$ .

Przykłady wielkości wprost proporcjonalnych

Wielkości	Współczynnik
droga i czas (stała prędkość)	prędkość
cena i liczba sztuk	cena jednostkowa
masa i objętość (jedna substancja)	gęstość
obwód koła i średnica	liczba pi

Ostatni przykład jest szczególnie ładny: ten iloraz jest ten sam dla każdego koła na świecie.

Sprawdzamy i wyznaczamy wzór

1
Zadanie: sklep sprzedaje kawę na wagę. Sprawdź, czy cena jest wprost proporcjonalna do masy, i wyznacz wzór.
$\text{dane: } 200 \text{ g} \to 14 \text{ zl}, \; 500 \text{ g} \to 35 \text{ zl}, \; 800 \text{ g} \to 56 \text{ zl}$
2
Krok pierwszy: liczymy iloraz dla pierwszej pary.
$\frac{14}{200} = 0{,}07$
3
Druga para.
$\frac{35}{500} = 0{,}07$
4
Trzecia para.
$\frac{56}{800} = 0{,}07$
5
Wszystkie ilorazy są równe, więc cena JEST wprost proporcjonalna do masy. Współczynnik to 0,07 zł za gram.
$a = 0{,}07$
6
Krok drugi: zapisujemy wzór, gdzie $m$ to masa w gramach, a $c$ to cena w złotych.
$c = 0{,}07 \cdot m$
7
Sens współczynnika: 7 groszy za gram, czyli 70 zł za kilogram.
$0{,}07 \cdot 1000 = 70 \text{ zl/kg}$
8
Krok trzeci: wykorzystujemy wzór. Ile kosztuje 350 g?
$c = 0{,}07 \cdot 350 = 24{,}5 \text{ zl}$
9
A ile gramów kupimy za 21 zł? Przekształcamy wzór.
$m = \frac{21}{0{,}07} = 300 \text{ g}$
10
Sprawdzenie: 300 g po 7 groszy to dokładnie 21 zł. Zgadza się.
$300 \cdot 0{,}07 = 21 \; \checkmark$
Wskazówka
Współczynnik proporcjonalności zawsze coś znaczy. Tutaj to cena za gram.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Wielkości $x$ i $y$ są wprost proporcjonalne. Dla $x = 4$ mamy $y = 12$ . Ile wynosi $y$ dla $x = 7$ ?

y = a \cdot x

Pułapka! Nie każda zależność rosnąca jest proporcjonalna

Zależność $y = 2x + 3$ rośnie, jej wykres jest prostą — ale nie jest proporcjonalnością, bo iloraz $\frac{y}{x}$ nie jest stały:

$x$	$y = 2x + 3$	$\frac{y}{x}$
1	5	5
2	7	3,5
3	9	3

To zwykła zależność liniowa: wykres jest prostą, ale nie przechodzi przez początek układu — przecina oś pionową w punkcie 3.

Zapamiętaj: proporcjonalność prosta to $y = ax$ , bez żadnego dodatku.

Pułapka! Zależność odwrotna i „o ile” zamiast „ile razy”

Błąd drugi: proporcja tam, gdzie zależność jest odwrotna.

Jeśli 4 osoby malują pokój w 6 godzin, to 8 osób nie potrzebuje 12 godzin, tylko 3. Więcej osób to krócej — iloczyn jest stały, nie iloraz.

Błąd trzeci: mylenie „ile razy więcej” z „o ile więcej”.

W proporcjonalności podwojenie $x$ podwaja $y$ . Nie zwiększa go o tyle samo, co poprzednio.

Pułapka! Współczynnik policzony w złą stronę

Błąd czwarty: liczenie współczynnika w złą stronę.

Jeśli 4 kg kosztuje 12 zł, to $a = \frac{12}{4} = 3$ zł za kilogram, a nie $\frac{4}{12}$ . Współczynnik to iloraz tej wielkości, którą chcesz obliczyć, przez tę, którą znasz.

Błąd piąty: wnioskowanie o proporcjonalności z jednej pary danych. Jedna para zawsze da jakiś iloraz. Do sprawdzenia potrzebne są co najmniej dwie — i muszą dać tę samą liczbę.

Dwie oferty za prąd

1
Zadanie: dwie firmy sprzedają prąd. Firma A liczy 0,80 zł za kilowatogodzinę, bez opłat stałych. Firma B ma 20 zł abonamentu i 0,60 zł za kilowatogodzinę. Która oferta jest proporcjonalna?
$A: 0{,}80 \text{ zl/kWh}, \quad B: 20 + 0{,}60 \text{ zl/kWh}$
2
Firma A: koszt to po prostu stawka razy zużycie. Wzór ma postać y równa się a razy x, więc to proporcjonalność prosta.
$K_A = 0{,}8 \cdot z$
3
Firma B: do iloczynu dochodzi stała opłata, więc wykres przetnie oś pionową w punkcie 20. To zależność liniowa, ale NIE proporcjonalna.
$K_B = 20 + 0{,}6 \cdot z$
4
Sprawdźmy ilorazy dla firmy B. Dla 100 kWh koszt to 80 zł.
$\frac{80}{100} = 0{,}80$
5
Dla 200 kWh koszt to 140 zł, a iloraz jest już inny — potwierdza to brak proporcjonalności.
$\frac{140}{200} = 0{,}70$
6
Która firma jest tańsza? Porównajmy dla 100 kWh. Firma A liczy 80 zł, firma B tyle samo.
$K_A = 80, \quad K_B = 20 + 60 = 80$
7
Dla 100 kWh oferty są identyczne. Sprawdźmy 200 kWh.
$K_A = 160, \quad K_B = 20 + 120 = 140$
8
Przy 200 kWh firma B jest tańsza o 20 zł, a im większe zużycie, tym większa ta przewaga. Przy małym zużyciu, na przykład 50 kWh, tańsza jest firma A.
$K_A = 40, \quad K_B = 20 + 30 = 50$
9
Wniosek: abonament opłaca się dopiero powyżej 100 kWh. To typowa sytuacja przy porównywaniu ofert.
$\text{granica: } 100 \text{ kWh}$
Wskazówka
Opłata stała psuje proporcjonalność, ale przy dużym zużyciu i tak może się opłacać. Licz, nie zgaduj.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Rowerzysta jedzie ze stałą prędkością. W 3 godziny przejechał 45 km. Ile kilometrów przejedzie w 5 godzin?

s = a \cdot t

km

Ściąga do zapamiętania

Po czym poznać proporcjonalność prostą?

Iloraz $\frac{y}{x}$ jest stały, czyli $y = a \cdot x$ . Liczba $a$ to współczynnik proporcjonalności i zawsze coś znaczy — prędkość, cenę za sztukę, gęstość.
• Test: podziel każde $y$ przez odpowiadające mu $x$ . Ta sama liczba za każdym razem to proporcjonalność; potrzebne są co najmniej dwie pary danych.
• Wykres: prosta przechodząca przez początek układu.
• Uwaga: $y = 2x + 3$ to nie jest proporcjonalność — prosta nie przechodzi przez zero.
• Liczba robotników i czas pracy to zależność odwrotna.

Definicja i współczynnik

Co to znaczy w praktyce

Wynik testu dla obu tabel

Wykres proporcjonalności

Jak rozpoznać proporcjonalność na wykresie

Przykłady wielkości wprost proporcjonalnych

Sprawdzamy i wyznaczamy wzór

Pułapka! Nie każda zależność rosnąca jest proporcjonalna

Pułapka! Zależność odwrotna i „o ile” zamiast „ile razy”

Pułapka! Współczynnik policzony w złą stronę

Dwie oferty za prąd

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!