Do czego to się przydaje poza sprawdzianem?

Do wszystkiego, co ma kąt prosty i przekątną: przekątna telewizora podawana w calach, sprawdzenie ekipy budowlanej, czy narożnik jest równy (słynne 3-4-5), drabina oparta o ścianę, skrót na skos przez prostokątne boisko. Domowe zadanie, które dziecko robi z ciekawości: zmierzyć ekran telewizora i porównać wynik z liczbą cali z pudełka.

Skąd wiedzieć, kiedy kwadraty dodać, a kiedy odjąć?

Od pytania: czy szukamy najdłuższego boku? Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i zawsze jest najdłuższa. Gdy szukamy właśnie jej — dodajemy. Gdy jest już dana, a szukamy krótszego boku — odejmujemy. Kontrola na koniec jest prosta: jeśli wyszło, że bok przy kącie prostym jest dłuższy od przeciwprostokątnej, w rachunku dodano zamiast odjąć.

Dziecko zna wzór, ale nie umie ruszyć zadania z rysunkiem. Co pomaga?

Stała kolejność trzech ruchów: najpierw zaznacz kąt prosty, potem podpisz bok leżący naprzeciw niego jako c, a liczby wstawiaj dopiero na końcu. Większość błędów nie bierze się ze wzoru, tylko z tego, że literę c przypisano bokowi narysowanemu poziomo albo takiemu, który na oko wygląda na najdłuższy.

Twierdzenie Pitagorasa

około 15 minut

W tej lekcji1/22

Cześć! To najsłynniejsze twierdzenie w historii matematyki — znali je Babilończycy tysiąc lat przed Pitagorasem, a dziś korzysta z niego twój telefon, gdy oblicza odległość na mapie. Jeden krótki wzór, a bez niego nie działałaby ani nawigacja, ani budownictwo, ani grafika komputerowa.

Twierdzenie i nazwy boków

Twierdzenie Pitagorasa: w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych równa się kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$ .

Przyprostokątne a i b tworzą kąt prosty. Naprzeciw niego leży przeciwprostokątna c — zawsze najdłuższy bok.

Nazwy boków są kluczowe:

Bok	Gdzie leży	Oznaczenie
przyprostokątne	tworzą kąt prosty	$a$ , $b$
przeciwprostokątna	naprzeciw kąta prostego	$c$

Przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego. To wynika bezpośrednio ze wzoru: skoro $c^2$ jest sumą dwóch dodatnich liczb, musi być większe od każdej z nich osobno.

Uwaga: twierdzenie działa TYLKO w trójkątach prostokątnych. W trójkącie o bokach 4, 5, 6 (bez kąta prostego) równość nie zachodzi: $16 + 25 = 41$ , a $36 e 41$ .

Dlaczego to w ogóle jest prawdą

aa·ab·a

ba·bb·b

Kwadrat o boku a + b rozpada się na cztery pola: a², ab, ab i b²

1
Narysuj kwadrat o boku $a + b$ i ułóż w nim cztery kopie naszego trójkąta prostokątnego tak, żeby pośrodku został kwadrat o boku $c$ .
$\text{bok dużego kwadratu} = a + b$
2
Pole dużego kwadratu policz pierwszym sposobem — ze wzoru skróconego mnożenia.
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
3
Drugi sposób: cztery trójkąty plus środkowy kwadrat.
$4 \cdot \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2$
4
Oba zapisy opisują to samo pole, więc muszą być równe.
$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$
5
Po skreśleniu $2ab$ z obu zapisów zostaje twierdzenie Pitagorasa.
$a^2 + b^2 = c^2$

Wszystkie kroki za Tobą!

Kwadraty we wzorze to naprawdę pola kwadratów

Jeśli na każdym boku trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadrat, to pole największego kwadratu równa się sumie pól dwóch mniejszych. Stąd nazwa „kwadraty” we wzorze — to naprawdę pola kwadratów.

Dla trójkąta 3, 4, 5: kwadraty mają pola 9, 16 i 25, a $9 + 16 = 25$ .

Pole kwadratu na przeciwprostokątnej = suma pól kwadratów na przyprostokątnych

Trójki pitagorejskie warto znać na pamięć

Trójki pitagorejskie to zestawy liczb naturalnych spełniających wzór. Warto znać kilka na pamięć:

Trójka	Sprawdzenie
3, 4, 5	$9 + 16 = 25$
5, 12, 13	$25 + 144 = 169$
8, 15, 17	$64 + 225 = 289$
7, 24, 25	$49 + 576 = 625$

Wielokrotności trójek też są trójkami

Skoro 3, 4, 5 działa, to działa też 6, 8, 10 oraz 30, 40, 50.

Obliczanie brakującego boku

Twierdzenie działa w dwie strony — zależnie od tego, którego boku szukamy.

Szukamy	Działanie
przeciwprostokątnej $c$	$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
przyprostokątnej $a$	$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Przypadek 1: szukamy przeciwprostokątnej

1
Przypadek 1: szukamy przeciwprostokątnej. Wtedy po prostu dodajemy. Przyprostokątne mają 6 i 8 cm.
$a = 6, \quad b = 8$
2
Podnosimy oba boki do kwadratu i dodajemy.
$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
3
Na koniec pierwiastkujemy.
$c = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Przypadek 2: szukamy przyprostokątnej

1
Przypadek 2: szukamy przyprostokątnej. Wtedy odejmujemy — i to najczęstsze miejsce pomyłek. Przeciwprostokątna ma 13 cm, jedna przyprostokątna 5 cm.
$5^2 + b^2 = 13^2$
2
Liczymy kwadraty.
$25 + b^2 = 169$
3
Przenosimy dwadzieścia pięć na drugą stronę, czyli odejmujemy.
$b^2 = 169 - 25 = 144$
4
Pierwiastkujemy.
$b = 12 \text{ cm}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Gdy wynik nie jest liczbą całkowitą

, zostawiamy go w postaci pierwiastka — to dokładna odpowiedź.

Dla przyprostokątnych 2 i 3: $c^2 = 4 + 9 = 13$ , więc $c = \sqrt{13}$ cm, czyli w przybliżeniu 3,6 cm.

Kontrola sensu wyniku: przeciwprostokątna musi wyjść większa od każdej przyprostokątnej, ale mniejsza od ich sumy (nierówność trójkąta). Dla boków 6 i 8 wynik musi mieścić się między 8 a 14 — dziesiątka pasuje.

Szukamy przyprostokątnej

Drabina oparta o ścianę

1
Zadanie: drabina o długości 5 m opiera się o ścianę. Jej podstawa stoi 3 m od ściany. Na jakiej wysokości drabina dotyka ściany?
$c = 5 \text{ m}, \quad a = 3 \text{ m}$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy: rozpoznajemy, co jest czym. Drabina to najdłuższy bok, leży naprzeciw kąta prostego między ścianą a ziemią — to PRZECIWPROSTOKĄTNA.
$c = 5 \; \text{(drabina)}$
3
Odległość podstawy od ściany oraz szukana wysokość to przyprostokątne.
$a = 3, \quad b = ?$
4
Krok drugi: zapisujemy twierdzenie Pitagorasa.
$3^2 + b^2 = 5^2$
5
Liczymy kwadraty.
$9 + b^2 = 25$
6
Krok trzeci: szukamy przyprostokątnej, więc ODEJMUJEMY.
$b^2 = 25 - 9 = 16$
7
Krok czwarty: pierwiastkujemy.
$b = \sqrt{16} = 4 \text{ m}$
8
Sprawdzenie: $9 + 16 = 25$ . Zgadza się, a boki 3, 4, 5 to klasyczna trójka pitagorejska.
$9 + 16 = 25 \; \checkmark$
9
Kontrola sensu: wysokość 4 m jest mniejsza od długości drabiny (5 m). Gdyby wyszła większa, byłby to na pewno błąd.
$4 < 5 \; \checkmark$
10
Odpowiedź: drabina dotyka ściany na wysokości 4 metrów.
$\text{Odp.: } 4 \text{ m}$
Wskazówka
Szukasz przyprostokątnej? ODEJMUJESZ. To pierwsza rzecz do sprawdzenia w takim zadaniu.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Przyprostokątne trójkąta mają 9 cm i 12 cm. Oblicz przeciwprostokątną w centymetrach.

c^2 = 9^2 + 12^2

Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem

Przeciwprostokątna ma 10 cm, jedna przyprostokątna 6 cm. Druga musi być krótsza niż 10, więc kwadraty odejmujemy: $b^2 = 100 - 36 = 64$ , czyli $b = 8$ cm.

Bok naprzeciw kąta prostego jest najdłuższy

Pułapka! Dodawanie zamiast odejmowania

Najczęstszy błąd: dodanie kwadratów wtedy, gdy trzeba odjąć.

Przeciwprostokątna ma 10 cm, jedna przyprostokątna 6 cm. Ktoś liczy $10^2 + 6^2 = 136$ i podaje $\sqrt{136} \approx 11{,}7$ cm.

Ale przyprostokątna nie może być dłuższa od przeciwprostokątnej! Poprawnie: $b^2 = 100 - 36 = 64$ , czyli $b = 8$ cm.

Kontrola: przeciwprostokątna zawsze jest najdłuższa

Jeśli obliczona przeciwprostokątna wyszła krótsza od którejś z przyprostokątnych, gdzieś jest błąd rachunkowy — nie ma takiego trójkąta.

Pułapka! Pomylenie boków w rysunku

Błąd drugi: pomylenie boków w rysunku.

Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego — nie jest to koniecznie bok narysowany poziomo czy podpisany literą $c$ . Zawsze najpierw znajdź kąt prosty, a potem bok leżący naprzeciw.

Pułapka! Zapominanie o pierwiastku

Błąd trzeci: zapominanie o pierwiastku.

Z obliczenia $c^2 = 100$ wynika $c = 10$ , a nie $c = 100$ . Wzór daje kwadrat boku, więc trzeba go jeszcze spierwiastkować.

Pułapka! Trójkąt bez kąta prostego

Błąd czwarty: stosowanie twierdzenia w trójkącie bez kąta prostego.

Twierdzenie Pitagorasa działa wyłącznie w trójkątach prostokątnych. W dowolnym innym równość nie zachodzi.

Pułapka! Kwadrat sumy zamiast sumy kwadratów

Błąd piąty: $(a+b)^2$ zamiast $a^2 + b^2$ .

To nie to samo! Dla $a = 3$ , $b = 4$ : $a^2 + b^2 = 25$ , a $(a+b)^2 = 49$ . Każdą przyprostokątną podnosimy do kwadratu osobno.

Zapis	Dla 3 i 4
$a^2 + b^2$	$25$
$(a+b)^2$	$49$

Przekątna telewizora

Połowa ekranu — przekątna jest przeciwprostokątną

1
Zadanie: telewizor ma ekran o wymiarach 120 cm na 68 cm. Producenci podają przekątną w calach — ile cali ma ten telewizor? Jeden cal to 2,54 cm.
$a = 120, \quad b = 68$
2
Przekątna prostokąta dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, w których jest przeciwprostokątną.
$d^2 = a^2 + b^2$
3
Liczymy kwadraty boków.
$120^2 = 14400$
4
Drugi kwadrat.
$68^2 = 4624$
5
Sumujemy.
$d^2 = 14400 + 4624 = 19024$
6
Pierwiastkujemy. Wynik nie jest okrągły, więc podajemy przybliżenie.
$d = \sqrt{19024} \approx 137{,}9 \text{ cm}$
7
Przeliczamy na cale, dzieląc przez 2,54.
$137{,}9 : 2{,}54 \approx 54{,}3$
8
To telewizor reklamowany jako 55-calowy — producenci zaokrąglają w górę do popularnych rozmiarów.
$\approx 55\,''$
9
Kontrola sensu: przekątna musi być dłuższa od 120 cm, ale krótsza od sumy 188 cm. Wynik 137,9 pasuje.
$120 < 137{,}9 < 188 \; \checkmark$
Wskazówka
Przekątna każdego ekranu, kartki i drzwi to Pitagoras. Stąd biorą się cale w sklepie.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Przeciwprostokątna ma 26 cm, jedna przyprostokątna 10 cm. Oblicz drugą przyprostokątną w centymetrach.

10^2 + b^2 = 26^2

Ściąga do zapamiętania

Wzór Pitagorasa — i skąd wiadomo, kiedy dodawać, a kiedy odejmować?

$a^2 + b^2 = c^2$ , gdzie $a$ i $b$ to przyprostokątne (tworzą kąt prosty), a $c$ to przeciwprostokątna — leży naprzeciw kąta prostego i zawsze jest najdłuższa.
• Szukasz przeciwprostokątnej — dodajesz kwadraty: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
• Szukasz przyprostokątnej — odejmujesz od kwadratu najdłuższego boku: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .
• Na końcu zawsze pierwiastkuj. Twierdzenie działa wyłącznie w trójkątach prostokątnych.
• Uwaga: $a^2 + b^2$ to nie to samo co $(a+b)^2$ .
• Trójki pitagorejskie: $3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ ; $7, 24, 25$ oraz ich wielokrotności.
• Kontrola: przyprostokątna musi wyjść mniejsza od przeciwprostokątnej.

Dla rodzica

Jak wytłumaczyć dziecku twierdzenie Pitagorasa?

Do czego to się przydaje poza sprawdzianem?: Do wszystkiego, co ma kąt prosty i przekątną: przekątna telewizora podawana w calach, sprawdzenie ekipy budowlanej, czy narożnik jest równy (słynne 3-4-5), drabina oparta o ścianę, skrót na skos przez prostokątne boisko. Domowe zadanie, które dziecko robi z ciekawości: zmierzyć ekran telewizora i porównać wynik z liczbą cali z pudełka.
Skąd wiedzieć, kiedy kwadraty dodać, a kiedy odjąć?: Od pytania: czy szukamy najdłuższego boku? Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i zawsze jest najdłuższa. Gdy szukamy właśnie jej — dodajemy. Gdy jest już dana, a szukamy krótszego boku — odejmujemy. Kontrola na koniec jest prosta: jeśli wyszło, że bok przy kącie prostym jest dłuższy od przeciwprostokątnej, w rachunku dodano zamiast odjąć.
Dziecko zna wzór, ale nie umie ruszyć zadania z rysunkiem. Co pomaga?: Stała kolejność trzech ruchów: najpierw zaznacz kąt prosty, potem podpisz bok leżący naprzeciw niego jako $c$ , a liczby wstawiaj dopiero na końcu. Większość błędów nie bierze się ze wzoru, tylko z tego, że literę $c$ przypisano bokowi narysowanemu poziomo albo takiemu, który na oko wygląda na najdłuższy.

Sprawdź się!

Przyprostokątne mają 3 cm i 4 cm. Ile ma przeciwprostokątna?

Przeciwprostokątna ma 13 cm, jedna przyprostokątna 5 cm. Ile ma druga?

Który bok trójkąta prostokątnego jest najdłuższy?

Prostokąt ma boki 8 cm i 15 cm. Ile ma jego przekątna?

Uczeń obliczył, że przy przeciwprostokątnej 10 cm i przyprostokątnej 6 cm druga przyprostokątna ma 11,7 cm. Gdzie błąd?

Następny temat

Zastosowania twierdzenia Pitagorasa