Czy trójkąt może mieć dwa kąty rozwarte?

Nie — dwa kąty rozwarte dałyby razem więcej niż 180 stopni

Tak, jeśli trzeci jest bardzo mały

Tak, w trójkącie rozwartokątnym

Tylko w trójkącie równoramiennym

Boki trójkąta mają 6 cm i 10 cm. Jaką długość może mieć trzeci bok?

Więcej niż 4 cm i mniej niż 16 cm

Własności trójkątów — matematyka klasa 7

Cześć! Czy da się zbudować trójkąt z patyczków o długościach 2 cm, 3 cm i 10 cm? Spróbuj w wyobraźni: dwa krótsze razem mają 5 cm, a muszą sięgnąć końców dziesięciocentymetrowego — nie dosięgną. Dziś poznasz reguły, które rządzą każdym trójkątem na świecie.

Suma kątów i nierówność trójkąta

Pierwsza reguła: suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi 180 stopni.

Suma kątów każdego trójkąta to 180°

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Działa dla każdego trójkąta — ostrokątnego, prostokątnego, rozwartokątnego, dużego i małego.

Skąd wiadomo, że zawsze 180°? Narysuj dowolny trójkąt, oderwij trzy rogi i przyłóż je wierzchołkami do jednego punktu. Ułożą się w linię prostą, czyli kąt półpełny — spróbuj z długim i wąskim, i z prawie równobocznym.

Co z tego wynika

Wynika z tego kilka faktów:

- trójkąt ma najwyżej jeden kąt prosty lub rozwarty
- w prostokątnym pozostałe dwa kąty sumują się do $90^\circ$
- każdy trójkąt ma co najmniej dwa kąty ostre

Druga reguła: nierówność trójkąta

Suma dwóch krótszych boków musi być większa od boku najdłuższego.

$a + b > c$

Jeśli warunek nie jest spełniony, trójkąta zbudować się nie da. Przy równości ( $a + b = c$ ) boki układają się w odcinek — figura się „spłaszcza”.

Boki	$a + b$ vs $c$	Trójkąt?
3, 4, 5	$3+4 = 7 > 5$	tak
2, 3, 10	$2+3 = 5 < 10$	nie
5, 5, 10	$5+5 = 10$	nie

Wystarczy sprawdzić najdłuższy bok

Jeśli suma dwóch pozostałych go przewyższa, reszta warunków spełnia się automatycznie.

Trzecia reguła: naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok. Działa też w drugą stronę — naprzeciw najdłuższego boku leży największy kąt. W trójkącie $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ najdłuższy bok leży naprzeciw kąta prostego.

Podział trójkątów ze względu na boki

Podział ze względu na boki:

Trójkąt równoramienny: jedna kreska na każdym ramieniu znaczy, że są równe, a jeden łuczek przy każdym kącie podstawy — że równe są też te kąty

Nazwa	Boki	Kąty
równoboczny	wszystkie równe	wszystkie po $60^\circ$
równoramienny	dwa równe	dwa równe (przy podstawie)
różnoboczny	wszystkie różne	wszystkie różne

Podział ze względu na kąty

Nazwa	Największy kąt
ostrokątny	mniejszy od $90^\circ$
prostokątny	równy $90^\circ$
rozwartokątny	większy od $90^\circ$

Trójkąt równoramienny ma kąty przy podstawie równe, więc znając kąt między ramionami, obliczysz pozostałe od ręki: przy $40^\circ$ zostaje $180 - 40 = 140$ stopni na dwa kąty, czyli po $70^\circ$ .

Kąt zewnętrzny trójkąta

Przedłuż jeden bok trójkąta poza wierzchołek. Kąt między tym przedłużeniem a drugim bokiem to kąt zewnętrzny.

Kąt zewnętrzny przy wierzchołku o kącie 70° — tyle samo, ile dają razem kąty 50° i 60°

W trójkącie $50^\circ$ , $60^\circ$ , $70^\circ$ kąt zewnętrzny przy wierzchołku $70^\circ$ ma $110^\circ$ . A $50 + 60 = 110$ .

To nie przypadek: kąt zewnętrzny dopełnia swój kąt wewnętrzny do $180^\circ$ i pozostałe dwa też, więc muszą dawać tę samą sumę. Stąd reguła: kąt zewnętrzny równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych nieprzyległych do niego.

Wysokość, środkowa, dwusieczna

Trzy odcinki, które łatwo pomylić. Każdy wychodzi z wierzchołka, ale kończy się gdzie indziej:

Z wierzchołka C wychodzą dwa różne odcinki: wysokość CD pada na bok AB prostopadle, a środkowa CS trafia w środek tego boku

Odcinek	Prowadzi od wierzchołka do...
wysokość	prostej zawierającej przeciwległy bok, prostopadle
środkowa	środka przeciwległego boku
dwusieczna	przeciwległego boku, dzieląc kąt na pół

Obliczamy kąty trójkąta równoramiennego

1
Zadanie: w trójkącie równoramiennym kąt między ramionami wynosi 44 stopnie. Oblicz pozostałe kąty.
$\gamma = 44^\circ$
2
Krok pierwszy: korzystamy z własności trójkąta równoramiennego — kąty przy podstawie są równe. Oznaczmy każdy przez $x$ .
$\alpha = \beta = x$
3
Krok drugi: układamy równanie z sumy kątów.
$x + x + 44 = 180$
4
Redukujemy.
$2x + 44 = 180$
5
Przenosimy 44 na prawą stronę.
$2x = 136$
6
Dzielimy przez 2.
$x = 68^\circ$
7
Odpowiedź: kąty przy podstawie mają po 68 stopni.
$\alpha = \beta = 68^\circ$
8
Sprawdzenie sumy.
$68 + 68 + 44 = 180 \; \checkmark$
9
Kontrola sensu: kąt między ramionami jest mały, więc trójkąt jest wysoki i wąski, a kąty przy podstawie duże. Pasuje.
$68^\circ > 44^\circ \; \checkmark$
Wskazówka
W równoramiennym zawsze zaczynaj od tego, że kąty przy podstawie są równe. To upraszcza każde zadanie.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

W trójkącie dwa kąty mają 55 i 65 stopni. Ile stopni ma trzeci kąt?

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

°

Pułapka! Sprawdzanie tylko jednej sumy

Dla boków 2, 3 i 10 ktoś sprawdza $2 + 10 = 12 > 3$ i uznaje, że trójkąt istnieje. Ale kluczowy warunek to $2 + 3 > 10$ , a $5 < 10$ .

Zasada: porównaj sumę dwóch KRÓTSZYCH boków z najdłuższym. To jedyny warunek, który może się nie spełnić.

Pułapka! Równość to jeszcze nie trójkąt

Błąd drugi: przypadek równości. Dla boków 5, 5, 10 mamy $5 + 5 = 10$ — a to nie jest trójkąt: boki układają się wzdłuż jednej prostej, figura ma zerowe pole. Nierówność musi być ostra.

Pułapka! Dwa kąty proste w jednym trójkącie

Błąd trzeci: dwa kąty proste w jednym trójkącie. Dwa kąty proste dają już 180 stopni, więc na trzeci nie zostaje nic.

Pułapka! Ramiona to nie podstawa

Błąd czwarty: mylenie ramion z podstawą w trójkącie równoramiennym. Równe są kąty przy podstawie. Kąt między ramionami to ten trzeci, inny.

Pułapka! Wysokość poza trójkątem

Błąd piąty: założenie, że wysokość leży wewnątrz trójkąta.

Trójkąt	Gdzie wysokości
ostrokątny	wszystkie wewnątrz
prostokątny	dwie to przyprostokątne
rozwartokątny	dwie na zewnątrz

Jakie boki tworzą trójkąt

1
Zadanie: mamy patyczki o długościach 4 cm, 9 cm oraz trzeci o nieznanej długości $x$ . Dla jakich długości $x$ da się zbudować trójkąt?
$a = 4, \quad b = 9, \quad c = x$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Musimy sprawdzić wszystkie trzy nierówności, bo nie wiemy, który bok będzie najdłuższy. Pierwsza.
$4 + 9 > x \;\Rightarrow\; x < 13$
3
Druga nierówność.
$4 + x > 9 \;\Rightarrow\; x > 5$
4
Trzecia nierówność jest spełniona zawsze, bo $9 + x$ na pewno przekroczy 4.
$9 + x > 4 \; \text{(zawsze)}$
5
Łączymy dwa istotne warunki. Trzeci bok musi mieścić się między piątką a trzynastką.
$5 < x < 13$
6
Sprawdzenie skrajnych przypadków. Dla $x = 6$ : boki 4, 6, 9, a suma dwóch krótszych to 10, czyli więcej niż 9. Trójkąt istnieje.
$4 + 6 = 10 > 9 \; \checkmark$
7
Dla $x = 5$ : boki 4, 5, 9, a $4 + 5 = 9$ . Równość, więc trójkąta NIE ma.
$4 + 5 = 9 \; \times$
8
Dla $x = 13$ : boki 4, 9, 13, a $4 + 9 = 13$ . Znowu równość, więc też nie.
$4 + 9 = 13 \; \times$
9
Odpowiedź: trzeci bok musi być dłuższy niż 5 cm i krótszy niż 13 cm. Jeśli szukamy długości całkowitych, jest ich siedem: od 6 do 12 cm.
$x \in \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$
Wskazówka
Gdy nie wiesz, który bok jest najdłuższy, sprawdź wszystkie nierówności. Wyjdzie przedział.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Czy z odcinków o długościach 5 cm, 7 cm i 11 cm można zbudować trójkąt?

5, \; 7, \; 11

Ściąga do zapamiętania

Suma kątów, nierówność trójkąta, kąt zewnętrzny — co o trójkącie trzeba mieć w głowie?

• Suma kątów zawsze $180°$ , więc w trójkącie jest najwyżej jeden kąt prosty albo rozwarty.
• Nierówność trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego; przy równości trójkąta nie ma. Wystarczy sprawdzić najdłuższy bok.
• Naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok.
• Równoramienny: kąty przy podstawie są równe.
• Kąt zewnętrzny równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych nieprzyległych.
• W trójkącie rozwartokątnym dwie wysokości leżą na zewnątrz figury.

Suma kątów i nierówność trójkąta

Co z tego wynika

Druga reguła: nierówność trójkąta

Wystarczy sprawdzić najdłuższy bok

Podział trójkątów ze względu na boki

Podział ze względu na kąty

Kąt zewnętrzny trójkąta

Wysokość, środkowa, dwusieczna

Obliczamy kąty trójkąta równoramiennego

Pułapka! Sprawdzanie tylko jednej sumy

Pułapka! Równość to jeszcze nie trójkąt

Pułapka! Dwa kąty proste w jednym trójkącie

Pułapka! Ramiona to nie podstawa

Pułapka! Wysokość poza trójkątem

Jakie boki tworzą trójkąt

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!