Zadania tekstowe rozwiązywane równaniem

około 15 minut

W tej lekcji1/17

Cześć! „Ojciec jest 3 razy starszy od syna, a razem mają 48 lat”. Brzmi jak zagadka, ale to zwykłe równanie w przebraniu. Sekret tkwi w jednym pytaniu: co oznaczę przez iks? Odpowiedz na nie dobrze, a reszta rozwiąże się sama.

Pięć kroków od tekstu do wyniku

Każde zadanie tekstowe rozwiązuje się według tego samego planu.

x + 12

−x po obu stronach

Niewiadoma po obu stronach

Krok 1: Oznacz niewiadomą. Napisz wyraźnie, co oznacza $x$ — najlepiej tę wielkość, przez którą łatwo wyrazić pozostałe.

Krok 2: Wyraź pozostałe wielkości przez $x$ .

Krok 3: Ułóż równanie na podstawie warunku z zadania.

Krok 4: Rozwiąż równanie.

Krok 5: Sprawdź i odpowiedz pełnym zdaniem.

Przykład z zapowiedzi

Ojciec jest 3 razy starszy od syna, razem mają 48 lat.

- Krok 1: $x$ — wiek syna (mniejsza wielkość, więc wygodniejsza)
- Krok 2: wiek ojca to $3x$
- Krok 3: $x + 3x = 48$
- Krok 4: $4x = 48$ , więc $x = 12$
- Krok 5: syn ma 12 lat, ojciec $3 \cdot 12 = 36$ . Razem 48. Zgadza się.

Dlaczego oznaczamy mniejszą wielkość? Bo wtedy pozostałe wyrażamy przez mnożenie, a nie dzielenie. Gdybyśmy przyjęli $x$ jako wiek ojca, syn miałby $\frac{x}{3}$ i pojawiłby się ułamek. Wynik byłby ten sam, ale rachunek brzydszy.

Słownik: tekst na algebrę

Zadania tekstowe używają stałych zwrotów. Warto znać ich tłumaczenie.

Tekst	Zapis
o 5 więcej niż $x$	$x + 5$
o 5 mniej niż $x$	$x - 5$
3 razy więcej niż $x$	$3x$
3 razy mniej niż $x$	$\frac{x}{3}$
połowa liczby $x$	$\frac{x}{2}$
liczba o 2 większa	$x + 2$
suma liczby i jej podwojenia	$x + 2x$
liczby kolejne	$x$ , $x+1$ , $x+2$
liczby parzyste kolejne	$x$ , $x+2$ , $x+4$

Uwaga na „razy mniej”. W matematyce szkolnej „3 razy mniej niż $x$ ” oznacza $\frac{x}{3}$ . W mowie potocznej bywa używane niedbale, ale w zadaniach trzymamy się tej wersji.

Trzy typowe schematy zadań:

Schemat 1: podział całości

Coś dzielimy na części o znanych proporcjach, a suma części równa się całości.

Przykład: 60 zł podzielono tak, że drugi dostał 2 razy więcej. Równanie: $x + 2x = 60$ .

60 zł podzielone w stosunku x do 2x

pierwszy: x 20 zł
drugi: 2x 40 zł

Schemat 2: wiek

Za $n$ lat wszyscy są starsi o $n$ , ale różnica wieku nigdy się nie zmienia — to najczęściej wykorzystywana własność w tych zadaniach.

Przykład: za 5 lat mama będzie 2 razy starsza od córki. Zapis: $m + 5 = 2(c + 5)$ .

Schemat 3: geometria

Wykorzystujemy wzór na obwód albo pole.

Obwód tego prostokąta to 2x + 2(x + 3)

Przykład: prostokąt o obwodzie 30 cm, którego długość jest o 3 cm większa od szerokości. Równanie: $2x + 2(x+3) = 30$ .

Jednostki muszą się zgadzać. Jeśli w zadaniu są i złote, i grosze — przelicz wszystko na jedno, zanim ułożysz równanie.

Zadanie o prostokącie

1
Zadanie: obwód prostokąta wynosi 34 cm, a jego długość jest o 5 cm większa od szerokości. Oblicz boki.
$O = 34 \text{ cm}$
2
Krok pierwszy: oznaczamy niewiadomą. Wybieramy szerokość, bo to mniejszy bok — długość wyrazimy przez dodawanie.
$x = \text{szerokosc [cm]}$
3
Krok drugi: wyrażamy długość. Jest o 5 cm większa.
$\text{dlugosc} = x + 5$
4
Krok trzeci: układamy równanie ze wzoru na obwód prostokąta.
$2x + 2(x + 5) = 34$
5
Krok czwarty: opuszczamy nawias.
$2x + 2x + 10 = 34$
6
Redukujemy i przenosimy dziesiątkę.
$4x = 24$
7
Dzielimy przez 4.
$x = 6$
8
Wracamy do oznaczeń: szerokość to 6 cm, a długość o 5 więcej.
$6 \text{ cm}, \quad 11 \text{ cm}$
9
Krok piąty: sprawdzenie obwodu.
$2 \cdot 6 + 2 \cdot 11 = 12 + 22 = 34 \; \checkmark$
10
Odpowiedź pełnym zdaniem: prostokąt ma szerokość 6 cm i długość 11 cm.
$\text{Odp.: } 6 \text{ cm} \times 11 \text{ cm}$
Wskazówka
Po rozwiązaniu równania WRÓĆ do oznaczeń. Iks to była szerokość, nie odpowiedź na pytanie zadania.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Suma dwóch liczb wynosi 45, a jedna jest 4 razy większa od drugiej. Podaj mniejszą liczbę.

x + 4x = 45

Pułapka! Odpowiedź na inne pytanie

Najczęstszy błąd w zadaniach tekstowych nie jest rachunkowy.

Rozwiązujesz równanie, wychodzi $x = 6$ — i piszesz „odpowiedź: 6”. Ale zadanie pytało o długość, a iksem była szerokość. Prawidłowa odpowiedź to 11.

Zasada: po rozwiązaniu równania WRÓĆ do zapisu „ $x$ oznacza…” i sprawdź, o co pytano.

Czasem zadanie pyta o sumę, różnicę albo o obie wielkości naraz. Iks rzadko bywa gotową odpowiedzią.

Pułapka! „O ile” to nie „ile razy”

Błąd drugi: pomieszanie „o ile” z „ile razy”.

Tekst	Poprawnie	Częsty błąd
o 3 więcej niż $x$	$x + 3$	$3x$
3 razy więcej niż $x$	$3x$	$x + 3$
3 razy mniej niż $x$	$\frac{x}{3}$	$x - 3$

Pułapka! W zadaniach o wieku starzeją się wszyscy

Błąd trzeci: zapominanie o zmianie u wszystkich osób w zadaniach o wieku.

Za 5 lat starszy jest każdy, nie tylko jedna osoba. Zapis $m + 5 = 2c$ jest błędny — powinno być $m + 5 = 2(c + 5)$ .

Pułapka! Sprawdzenie tylko w równaniu

Błąd czwarty: niesprawdzenie wyniku w treści zadania.

Pułapka! Wynik bez sensu

Błąd piąty: wynik bez sensu fizycznego. Jeśli wyszła ujemna długość boku albo wiek 150 lat, to sygnał, że gdzieś jest błąd. Wróć i sprawdź układ równania.

Zadanie o wieku

1
Zadanie: mama ma 32 lata, a córka 8. Za ile lat mama będzie dokładnie 2 razy starsza od córki?
$\text{mama } 32, \quad \text{corka } 8$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy: oznaczamy niewiadomą. Szukamy liczby LAT, a nie wieku.
$x = \text{liczba lat, ktore uplyna}$
3
Krok drugi: wyrażamy wiek obu osób za $x$ lat. Obie postarzeją się tak samo.
$\text{mama: } 32 + x, \quad \text{corka: } 8 + x$
4
Krok trzeci: układamy równanie. Wiek mamy ma być dwa razy większy od wieku córki.
$32 + x = 2(8 + x)$
5
Krok czwarty: opuszczamy nawias.
$32 + x = 16 + 2x$
6
Porządkujemy — iksy w prawo, żeby uniknąć minusa.
$32 - 16 = 2x - x$
7
Redukujemy.
$16 = x$
8
Krok piąty: sprawdzenie w TREŚCI. Za 16 lat mama będzie miała 48 lat, a córka 24.
$32 + 16 = 48, \quad 8 + 16 = 24$
9
Czy 48 to dwa razy 24? Tak. Odpowiedź: za 16 lat.
$48 = 2 \cdot 24 \; \checkmark$
10
Warto zauważyć: różnica wieku przez cały czas wynosi 24 lata. To ona jest stała, a nie stosunek wieków.
$48 - 24 = 24 = 32 - 8$
Wskazówka
W zadaniach o wieku różnica jest STAŁA, a stosunek się zmienia. To klucz do większości takich zadań.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Obwód trójkąta równoramiennego wynosi 32 cm. Ramię jest o 4 cm dłuższe od podstawy. Podaj długość podstawy w centymetrach.

x + 2(x + 4) = 32

Ściąga do zapamiętania

Pięć kroków zadania tekstowego z równaniem — i w którym miejscu najłatwiej przerwać za wcześnie?

• Oznacz niewiadomą, najlepiej mniejszą wielkość — resztę wyrazisz wtedy mnożeniem.
• Wyraź pozostałe wielkości przez $x$ .
• Ułóż równanie z warunku zadania.
• Rozwiąż je.
• Wróć do oznaczeń, sprawdź w treści i odpowiedz zdaniem.
Słownik: „o $3$ więcej” to $x+3$ , ale „ $3$ razy więcej” to $3x$ . Wiek: za $n$ lat starsi są wszyscy, a różnica wieku jest stała. Uwaga: $x$ rzadko bywa gotową odpowiedzią — zadanie często pyta o inną wielkość. Ujemna długość albo wiek $150$ lat to sygnał błędu.

Sprawdź się!

Suma dwóch liczb wynosi 36, a jedna jest 3 razy większa od drugiej. Jaka jest większa liczba?

Jak zapisać zdanie „liczba o 4 mniejsza od trzykrotności liczby $x$ ”?

Tata ma 40 lat, syn 10. Za ile lat tata będzie 2 razy starszy od syna?

Obwód prostokąta wynosi 28 cm, a długość jest o 2 cm większa od szerokości. Jaka jest szerokość?

W zadaniu oznaczono przez $x$ szerokość prostokąta i wyszło $x = 5$ . Zadanie pytało o długość, która jest o 3 cm większa. Jaka jest odpowiedź?

Następny temat

Proporcje