Wysokości w ostrosłupach — zastosowania Pitagorasa

1. 1

   Znasz $H$ oraz $a$ i szukasz wysokości ściany. To przeciwprostokątna, więc kwadraty dodajesz.

   $$h_b = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$
2. 2

   Znasz $h_b$ oraz $a$ i szukasz wysokości bryły. To przyprostokątna, więc kwadraty odejmujesz.

   $$H = \sqrt{h_b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$
3. 3

   W obu wzorach bierzemy połowę boku podstawy, bo wysokość wpada dokładnie w środek podstawy.

   $$\frac{a}{2}$$
4. 4

   Sprawdźmy to na liczbach. Dla krawędzi podstawy 6 cm i wysokości 4 cm połowa boku wynosi 3 cm.

   $$a = 6, \quad H = 4, \quad \frac{a}{2} = 3$$
5. 5

   Wychodzi znajoma trójka 3, 4, 5. Wysokość ściany jest większa od wysokości bryły i inaczej być nie może, bo przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem.

   $$h_b = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \text{ cm}$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Trójkąt wewnątrz bryły, poprowadzony do środka boku podstawy: przyprostokątne $H$ i $\frac{a}{2}$, przeciwprostokątna to wysokość ściany.

   $$h_b^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$$
2. 2

   Trójkąt wewnątrz bryły, poprowadzony do narożnika podstawy: przyprostokątne $H$ i $\frac{d}{2}$, przeciwprostokątna to krawędź boczna.

   $$b^2 = H^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2$$
3. 3

   Trójkąt na ścianie bocznej: przyprostokątne $h_b$ i $\frac{a}{2}$, przeciwprostokątna to znowu krawędź boczna.

   $$b^2 = h_b^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$$
4. 4

   Odcinek poziomy wybierasz według celu: połowa boku prowadzi do wysokości ściany, połowa przekątnej — do krawędzi bocznej.

   $$\frac{a}{2} \to h_b, \qquad \frac{d}{2} \to b$$
5. 5

   Nie ucz się tego na pamięć — na egzaminie narysuj przekrój, zaznacz trójkąt i zastosuj Pitagorasa. Rysunek zawsze podpowie, co jest przeciwprostokątną: najdłuższy odcinek, naprzeciwko kąta prostego.

   $$\text{rysunek} \to \text{wzór}$$
6. 6

   Ciekawostka do zadań o czworościanie foremnym: jego ściana to trójkąt równoboczny, więc wysokość ściany liczy się znanym wzorem.

   $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 cm i wysokość 4 cm. Oblicz wysokość ściany bocznej.

   $$a = 6, \quad H = 4$$
2. 2

   Krok pierwszy: rysujemy trójkąt prostokątny — wysokość $H$, połowa boku podstawy i szukana $h_b$ jako przeciwprostokątna.

   $$\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
3. 3

   Krok drugi: twierdzenie Pitagorasa. Szukamy przeciwprostokątnej, więc dodajemy kwadraty.

   $$h_b^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 4^2 + 3^2$$
4. 4

   Krok trzeci: liczymy kwadraty.

   $$h_b^2 = 16 + 9 = 25$$
5. 5

   Krok czwarty: pierwiastkujemy.

   $$h_b = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$
6. 6

   Wysokość ściany bocznej to 5 cm. Kontrola sensu: $5 > 4$, czyli $h_b > H$ — tak musi być, bo $h_b$ to przeciwprostokątna. Rozpoznajesz trójkę 3, 4, 5? To najsłynniejszy trójkąt prostokątny świata.

   $$3^2 + 4^2 = 5^2 \; \checkmark$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie pierwsze: ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 10 cm i wysokość ściany bocznej 13 cm. Oblicz jego objętość.

   $$a = 10, \quad h_b = 13$$
2. 2

   Do objętości potrzebujemy wysokości bryły $H$ — a jej nie podano. Wyliczamy ją z Pitagorasa: teraz $H$ jest przyprostokątną, więc odejmujemy.

   $$H^2 = h_b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 13^2 - 5^2$$
3. 3

   Liczymy.

   $$H^2 = 169 - 25 = 144, \quad H = 12 \text{ cm}$$
4. 4

   Kontrola: $12 < 13$, czyli $H < h_b$ — zgadza się. To trójka 5, 12, 13.

   $$5^2 + 12^2 = 13^2 \; \checkmark$$
5. 5

   Teraz objętość — pole podstawy razy wysokość razy jedna trzecia.

   $$V = \frac{1}{3} \cdot 10^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12$$
6. 6

   Objętość wynosi 400 cm sześciennych.

   $$V = 100 \cdot 4 = 400 \text{ cm}^3$$
7. 7

   Zadanie drugie: przekątna podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma 16 cm, a wysokość bryły 6 cm. Oblicz krawędź boczną.

   $$d = 16, \quad H = 6$$
8. 8

   Krawędź boczna to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych $H$ i $\frac{d}{2} = 8$. Dostajemy trójkę 6, 8, 10.

   $$b = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.