Wielokąty foremne

1. 1

   Przykład dla pięciokąta foremnego: najpierw liczymy sumę wszystkich kątów.

   $$(5-2) \cdot 180° = 540°$$
2. 2

   Wszystkie pięć kątów jest równych, więc dzielimy sumę przez pięć.

   $$540° : 5 = 108°$$
3. 3

   Tak samo liczymy pozostałe figury. Trójkąt równoboczny ma sumę $180°$.

   $$180° : 3 = 60°$$
4. 4

   Kwadrat ma sumę $360°$.

   $$360° : 4 = 90°$$
5. 5

   Sześciokąt foremny ma sumę $720°$.

   $$720° : 6 = 120°$$
6. 6

   Ośmiokąt foremny ma sumę $1080°$.

   $$1080° : 8 = 135°$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: ile stopni ma jeden kąt sześciokąta foremnego? To kształt komórki plastra miodu i nakrętki.

   $$n = 6$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A60°B90°C120°

2. 2

   Krok pierwszy: liczymy sumę wszystkich kątów, korzystając ze wzoru z poprzedniej lekcji.

   $$S = (6 - 2) \cdot 180° = 4 \cdot 180°$$
3. 3

   Wykonujemy mnożenie.

   $$S = 720°$$
4. 4

   Krok drugi: figura jest foremna, więc wszystkie sześć kątów jest równych. Dzielimy sumę przez sześć.

   $$720° : 6 = 120°$$
5. 5

   Jeden kąt sześciokąta foremnego ma 120 stopni. Sprawdzenie sensu: to kąt rozwarty, bo większy od 90 stopni — i rzeczywiście, komórki plastra miodu mają rozwarte narożniki.

   $$120° > 90°$$
6. 6

   Sprawdzenie w drugą stronę: sześć kątów po 120 stopni powinno dać sumę 720.

   $$6 \cdot 120 = 720 \; \checkmark$$
7. 7

   A teraz najciekawsze. Wokół jednego punktu mieści się 360 stopni. Ile sześciokątów zejdzie się w jednym wierzchołku?

   $$360 : 120 = 3$$
8. 8

   Dokładnie trzy, bez żadnej szczeliny! Dlatego pszczoły budują plastry z sześciokątów — one idealnie wypełniają płaszczyznę.

   $$3 \cdot 120° = 360°$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: w pewnym pięciokącie suma kątów wynosi $540°$. Ile ma jeden kąt?

   $$S = 540°$$
2. 2

   Odpowiedź $540 : 5 = 108°$ jest poprawna tylko wtedy, gdy pięciokąt jest foremny.

   $$540° : 5 = 108°$$
3. 3

   Jeśli treść tego nie mówi, kąty mogą być zupełnie różne.

   $$90° + 100° + 110° + 120° + 120° = 540°$$
4. 4

   Ich suma nadal wynosi 540, ale żaden z tych kątów nie ma 108 stopni.

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Trzeci błąd to mylenie kąta wewnętrznego z kątem środkowym. Weźmy sześciokąt foremny.

2. 2

   Kąt wewnętrzny leży przy wierzchołku, między dwoma bokami figury.

   $$720° : 6 = 120°$$
3. 3

   Kąt środkowy to ten, pod jakim widać jeden bok ze środka figury. Pełny kąt dzielimy przez liczbę boków.

   $$360° : 6 = 60°$$
4. 4

   To dwie zupełnie różne wielkości, choć obie dotyczą tej samej figury.

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: którymi wielokątami foremnymi da się pokryć płaszczyznę bez luk i nakładania? Sprawdzimy kilka.

   $$\text{wokol punktu: } 360°$$
2. 2

   Warunek jest jeden: kąty schodzące się w jednym punkcie muszą dać dokładnie 360 stopni. Czyli 360 musi się dzielić przez miarę kąta bez reszty. Zaczynamy od trójkąta równobocznego.

   $$360 : 60 = 6 \; \checkmark$$
3. 3

   Sześć trójkątów schodzi się w punkcie idealnie. Trójkąty pokrywają płaszczyznę. Teraz kwadrat.

   $$360 : 90 = 4 \; \checkmark$$
4. 4

   Cztery kwadraty — stąd zwykłe płytki podłogowe. Teraz pięciokąt foremny.

   $$360 : 108 = 3{,}33\ldots$$
5. 5

   Nie dzieli się równo! Trzy pięciokąty dają 324 stopnie, więc zostaje szczelina 36 stopni. Cztery już się nie zmieszczą. Pięciokątami foremnymi NIE da się pokryć płaszczyzny.

   $$3 \cdot 108 = 324 \ne 360$$
6. 6

   Sześciokąt.

   $$360 : 120 = 3 \; \checkmark$$
7. 7

   Trzy sześciokąty pasują idealnie. To odpowiedź na zagadkę plastra miodu — i powód, dla którego sześciokątne płytki są popularne.

   $$3 \cdot 120 = 360$$
8. 8

   Wniosek: płaszczyznę pokryją tylko trójkąty równoboczne, kwadraty i sześciokąty foremne. Żadna inna figura foremna tego nie potrafi.

   $$3, \; 4, \; 6 \text{ boki}$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.