Suma kątów wielokąta

około 15 minut

W tej lekcji1/15

Cześć! Wiesz, że suma kątów trójkąta to $180°$ , a czworokąta $360°$ . A ile wynosi w pięciokącie? W dziesięciokącie? W stukącie? Nie trzeba tego mierzyć ani zgadywać — istnieje wzór, który poda odpowiedź dla dowolnej figury. I co najlepsze, sam go za chwilę odkryjesz, tnąc wielokąty na trójkąty.

Każdy wielokąt to sklejone trójkąty

Oto pomysł, na którym opiera się cała lekcja: każdy wielokąt można podzielić na trójkąty, prowadząc przekątne z jednego wierzchołka.

Dwie przekątne z jednego wierzchołka tną pięciokąt na trzy trójkąty

Spójrz, co się dzieje:

Figura	Liczba boków	Ile trójkątów	Suma kątów
trójkąt	3	1	$180°$
czworokąt	4	2	$360°$
pięciokąt	5	3	$540°$
sześciokąt	6	4	$720°$

Dlaczego trójkątów jest o dwa mniej niż boków

Zauważ prawidłowość w trzeciej kolumnie: liczba trójkątów jest zawsze o dwa mniejsza od liczby boków.

Z wierzchołka A wychodzą tylko dwie przekątne — do B i do E prowadzą już boki

Stąd wzór na sumę kątów

Skoro każdy trójkąt wnosi $180°$ , a wszystkie kąty tych trójkątów składają się dokładnie na kąty wielokąta, dostajemy wzór:

$S = (n - 2) \cdot 180°$

gdzie $n$ to liczba boków.

Sprawdźmy dla czworokąta: $(4 - 2) \cdot 180° = 2 \cdot 180° = 360°$ . Zgadza się z tym, co już wiesz.

Wzór w obie strony

Wzór $S = (n - 2) \cdot 180°$ działa w dwie strony, więc rozwiązuje dwa typy zadań.

Typ pierwszy: znam liczbę boków, szukam sumy kątów. Po prostu podstawiamy.

Dla dziesięciokąta: $S = (10 - 2) \cdot 180° = 8 \cdot 180° = 1440°$

Typ drugi: znam sumę kątów, szukam liczby boków. Przekształcamy wzór.

Suma kątów pewnego wielokąta wynosi $900°$ . Ile ma boków?

$900 : 180 = 5$ , czyli $n - 2 = 5$ , więc $n = 7$ . To siedmiokąt.

Liczba boków $n$	Suma kątów
3	$180°$
4	$360°$
5	$540°$
6	$720°$
8	$1080°$
10	$1440°$

Przydatna obserwacja

Każdy dodatkowy bok zwiększa sumę kątów o dokładnie $180°$ . Dlatego liczby w drugiej kolumnie rosną równomiernie — to postęp o 180.

Dzięki temu, znając jedną wartość, łatwo dojdziesz do sąsiedniej bez liczenia od nowa. Skoro pięciokąt ma $540°$ , to sześciokąt ma $540 + 180 = 720°$ .

pięciokąt: 540°

sześciokąt: 720°

Jeden bok więcej to jeden trójkąt więcej, czyli 180 stopni więcej

Odkrywamy wzór, tnąc pięciokąt

1
Zadanie: ile wynosi suma kątów pięciokąta? Nie użyjemy wzoru — odkryjemy go, tnąc figurę.
$n = 5$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Pięciokąt i wybrany wierzchołek A
Krok pierwszy: wybieramy jeden wierzchołek pięciokąta i prowadzimy z niego przekątne do wszystkich pozostałych wierzchołków, do których się da.
$\text{wybieramy wierzcholek}$
3
Do dwóch sąsiadów przekątnej nie poprowadzimy — łączą nas z nimi boki. Zostają więc dwa wierzchołki, czyli dwie przekątne.
$5 - 3 = 2 \text{ przekatne}$
4
Dwie przekątne z wierzchołka A dzielą pięciokąt na trójkąty
Krok drugi: te dwie przekątne dzielą pięciokąt na trzy trójkąty. Policz je na rysunku.
$3 \text{ trojkaty}$
5
Krok trzeci: każdy trójkąt ma sumę kątów równą 180 stopni.
$3 \cdot 180° = 540°$
6
Suma kątów pięciokąta wynosi 540 stopni. A teraz sprawdźmy wzorem, czy się zgadza.
$S = (5 - 2) \cdot 180° = 540° \; \checkmark$
7
Zwróć uwagę, skąd we wzorze bierze się odejmowanie dwójki: liczba trójkątów zawsze jest o dwa mniejsza od liczby boków. To nie jest przypadkowa liczba w formule.
$n - 2 = \text{liczba trojkatow}$
Wskazówka
Wzory łatwiej zapamiętać, gdy wiesz, skąd się biorą. Ten pochodzi wprost z cięcia na trójkąty.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ile stopni wynosi suma kątów sześciokąta?

S = (6 - 2) \cdot 180°

Pułapka! Mnożenie przez liczbę boków zamiast przez liczbę trójkątów

Najczęstszy błąd polega na zapomnieniu o odjęciu dwójki.

Dla pięciokąta uczeń liczy $5 \cdot 180° = 900°$ . Poprawnie jest $(5-2) \cdot 180° = 540°$ .

Skąd wiadomo, że 900 to za dużo? Bo pięciokąt narysowany na kartce ma kąty, które na oko mają nieco ponad $100°$ każdy. Pięć takich kątów to jakieś $500$ z hakiem, a nie 900. Szybkie oszacowanie na oko wyłapuje ten błąd natychmiast.

Figura	Poprawnie	Częsty błąd
czworokąt	$360°$	$720°$
pięciokąt	$540°$	$900°$
sześciokąt	$720°$	$1080°$

Pułapka! Suma wszystkich kątów to nie jeden kąt

Drugi błąd: mylenie sumy WSZYSTKICH kątów z miarą JEDNEGO kąta. To dwie zupełnie różne rzeczy.

Suma kątów sześciokąta to $720°$ . Ale pojedynczy kąt w sześciokącie foremnym to $720 : 6 = 120°$ . Zadanie zwykle pyta wyraźnie o jedno albo drugie — trzeba tylko uważnie przeczytać.

Pułapka! Dzielenie przez liczbę boków w figurze nieforemnej

Trzeci błąd: dzielenie sumy przez liczbę boków w wielokącie, który nie jest foremny. Podział działa tylko wtedy, gdy wszystkie kąty są równe. W zwykłym pięciokącie jeden kąt może mieć $60°$ , a inny $170°$ — suma i tak wyniesie $540°$ , ale poszczególne kąty będą różne.

Pułapka! Zapomniana dwójka w zadaniu odwrotnym

Czwarty błąd, drobny: przy zadaniu odwrotnym zapominanie o dodaniu dwójki. Z $S = 1080°$ wynika $1080 : 180 = 6$ , ale to jest $n - 2$ , więc $n = 8$ .

Zadanie odwrotne i brakujący kąt

1
Zadanie pierwsze: suma kątów pewnego wielokąta wynosi 1440 stopni. Ile ma on boków?
$S = 1440°$
2
Przekształcamy wzór. Najpierw dzielimy sumę przez 180, żeby dowiedzieć się, ile jest trójkątów.
$1440 : 180 = 8$
3
Osiem trójkątów. Ale to jest $n - 2$ , więc do liczby boków musimy dodać dwa.
$n = 8 + 2 = 10$
4
To dziesięciokąt. Sprawdzenie: $(10-2) \cdot 180 = 8 \cdot 180 = 1440$ . Zgadza się.
$1440 = 1440 \; \checkmark$
5
Zadanie drugie: w czworokącie trzy kąty mają miary 80, 95 i 110 stopni. Ile ma czwarty?
$80° + 95° + 110° + ? = 360°$
6
Suma kątów czworokąta to 360 stopni. Dodajemy znane kąty.
$80 + 95 + 110 = 285$
7
Brakujący kąt to różnica.
$360 - 285 = 75°$
8
Czwarty kąt ma 75 stopni. Kontrola: wszystkie cztery kąty muszą dać razem 360, a $285 + 75 = 360$ . Zgadza się.
$285 + 75 = 360 \; \checkmark$
Wskazówka
Znajdowanie brakującego kąta to zawsze odejmowanie od sumy. Prosty schemat.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Suma kątów pewnego wielokąta wynosi 900 stopni. Ile ma on boków?

(n - 2) \cdot 180 = 900

Ściąga do zapamiętania

Jak obliczyć sumę kątów wielokąta?

WZÓR: S = (n - 2) razy 180 stopni, gdzie n to liczba boków. Bierze się stąd, że wielokąt dzieli się przekątnymi z jednego wierzchołka na (n-2) trójkątów, a każdy wnosi 180 stopni. Trójkąt 180, czworokąt 360, pięciokąt 540, sześciokąt 720 — każdy kolejny bok dodaje 180. ZADANIE ODWROTNE: podziel sumę przez 180 i DODAJ dwa. UWAGA: suma wszystkich kątów to co innego niż miara jednego kąta — dzielić przez n wolno tylko w wielokącie FOREMNYM.

Sprawdź się!

Ile wynosi suma kątów pięciokąta?

Na ile trójkątów przekątne z wierzchołka A podzieliły ten ośmiokąt?

Ośmiokąt z przekątnymi poprowadzonymi z wierzchołka A

W czworokącie trzy kąty mają 70, 100 i 85 stopni. Ile ma czwarty?

Suma kątów wielokąta wynosi 1080 stopni. Ile ma on boków?

O ile stopni rośnie suma kątów wielokąta, gdy dodamy mu jeden bok?

Następny temat

Wielokąty foremne