Skala na planach i mapach — zadania złożone

około 15 minut

W tej lekcji1/15

Cześć! Umiesz już przeliczać odległości ze skali. Ale spróbuj tego: na planie w skali 1:100 pokój ma pole 6 cm kwadratowych. Ile metrów kwadratowych ma naprawdę? Odpowiedź 6 razy 100 jest niestety błędna — i to bardzo. Prawdziwy wynik jest sto razy większy, niż podpowiada intuicja. Dziś zobaczysz dlaczego.

Przypomnienie: skala pomniejszająca

Skala mówi, ile razy rysunek jest mniejszy albo większy od rzeczywistości. Zapis $1:500$ znaczy, że jeden centymetr na planie to 500 cm w rzeczywistości.

100

2 cm

80 m

Skala mówi, ile razy rysunek jest mniejszy

Kierunek	Co robimy
z planu do rzeczywistości	mnożymy przez skalę
z rzeczywistości na plan	dzielimy przez skalę

Przykład: na planie w skali $1:500$ odcinek ma 4 cm. W rzeczywistości:

$4 \cdot 500 = 2000$ cm $= 20$ m

Skala powiększająca — rysunek większy od oryginału

Skala powiększająca działa odwrotnie. Zapis $20:1$ znaczy, że rysunek jest dwadzieścia razy większy od rzeczywistości. Używa się jej do rysowania bardzo małych rzeczy: mrówek, układów scalonych, ziarenek piasku.

Na rysunku w skali $20:1$ mrówka ma 60 mm. Naprawdę ma $60 : 20 = 3$ mm.

Cztery skale i ich zastosowania

Skala	Co znaczy	Przykład użycia
$1:100000$	rysunek 100 tys. razy mniejszy	mapa turystyczna
$1:500$	rysunek 500 razy mniejszy	plan mieszkania
$1:1$	rysunek naturalnej wielkości	wykrój
$20:1$	rysunek 20 razy większy	schemat mikroukładu

Zapamiętaj prosto: liczba przy jedynce z lewej to powiększenie, z prawej to pomniejszenie.

Pole w skali, czyli skąd bierze się kwadrat

Tu jest sedno lekcji i miejsce, w którym myli się większość uczniów.

Gdy długości zmniejszamy $k$ razy, to pole zmniejsza się $k^2$ razy. Bo pole to iloczyn dwóch długości, a każda z nich została podzielona przez $k$ .

Prawdziwy pokój: 4 m na 3 m pole: 12 m²

Sprawdzamy na konkretach, skąd bierze się kwadrat skali

Ten sam pokój na planie w skali 1:100: 4 cm na 3 cm pole: 12 cm²

1
Bierzemy prostokąt 4 m na 3 m. Jego rzeczywiste pole liczymy zwykłym wzorem.
$P = 4 \cdot 3 = 12 \text{ m kw.}$
2
Rysujemy go w skali $1:100$ , czyli w centymetrach: 4 cm na 3 cm. Pole na planie wychodzi liczbowo tak samo, ale w centymetrach kwadratowych.
$P_{\text{planu}} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ cm kw.}$
3
Teraz porównujemy. Rzeczywiste pole zamieniamy na centymetry kwadratowe.
$12 \text{ m kw.} = 120\,000 \text{ cm kw.}$
4
Dzielimy pole rzeczywiste przez pole z planu i patrzymy, co wyjdzie.
$120000 : 12 = 10000 = 100^2$
5
Wyszedł dokładnie kwadrat skali — choć długości zmieniały się tylko sto razy.
$k = 100 \;\Rightarrow\; k^2 = 10000$

Wszystkie kroki za Tobą!

Reguła: pole mnożymy przez kwadrat skali

Wielkość	Ile razy się zmienia
długość	$k$ razy
pole	$k^2$ razy

Dlatego przy zadaniach o polu trzeba mnożyć przez kwadrat skali:

$P_{\text{rzeczywiste}} = P_{\text{planu}} \cdot k^2$

Dla planu w skali $1:100$ i pola 6 cm kwadratowych:

$6 \cdot 100^2 = 6 \cdot 10000 = 60000$ cm kw. $= 6$ m kwadratowych

To dokładnie ta sama zależność, co przy polu koła — gdzie podwojenie promienia dawało czterokrotny wzrost pola.

Powierzchnia mieszkania z planu

1
Zadanie: na planie w skali 1:200 mieszkanie ma pole 15 cm kwadratowych. Jaka jest jego rzeczywista powierzchnia w metrach kwadratowych?
$P_{\text{planu}} = 15 \text{ cm kw.}, \quad 1:200$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy, kluczowy: pytamy o POLE, więc mnożymy przez KWADRAT skali, a nie przez samą skalę.
$k = 200, \quad k^2 = 40000$
3
Krok drugi: mnożymy pole z planu przez kwadrat skali.
$15 \cdot 40000 = 600000 \text{ cm kw.}$
4
Krok trzeci: zamieniamy na metry kwadratowe. Uwaga, tu też przelicznik jest kwadratowy: $1$ m kw. to $10000$ cm kw.
$1 \text{ m kw.} = 100 \cdot 100 = 10000 \text{ cm kw.}$
5
Dzielimy przez dziesięć tysięcy.
$600000 : 10000 = 60 \text{ m kw.}$
6
Mieszkanie ma 60 metrów kwadratowych. Kontrola sensu: to realistyczna wielkość mieszkania, więc wynik jest wiarygodny.
$60 \text{ m kw.}$
7
Zobacz, co dałoby mnożenie przez samą skalę zamiast przez jej kwadrat: $15 \cdot 200 = 3000$ cm kw., czyli zaledwie 0,3 metra kwadratowego. Mieszkanie wielkości kartki papieru — od razu widać, że to bez sensu.
$0{,}3 \text{ m kw.} - \text{bez sensu}$
Wskazówka
Zawsze sprawdzaj, czy wynik jest realistyczny. Mieszkanie nie ma 0,3 metra kwadratowego.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Na planie w skali 1:50 odcinek ma 8 cm. Ile centymetrów ma w rzeczywistości?

8 \cdot 50

Pułapka! Mnożenie pola przez samą skalę

To najczęstszy i najbardziej kosztowny błąd w tym temacie, bo wynik rozjeżdża się nie o kilka procent, ale wielokrotnie.

Zadanie: plan w skali $1:100$ , pole na planie 6 cm kwadratowych.

Błędnie: $6 \cdot 100 = 600$ cm kw. $= 0{,}06$ m kwadratowego.

Poprawnie: $6 \cdot 100^2 = 60000$ cm kw. $= 6$ m kwadratowych.

Różnica stukrotna. A wystarczyło spojrzeć na wynik: pokój o powierzchni 0,06 metra kwadratowego to kwadrat o boku 25 cm. Nikt tam nie wejdzie.

Co liczymy	Mnożnik	Przykład dla $1:100$
długość	$k$	$\cdot 100$
pole	$k^2$	$\cdot 10000$

Pułapka! Przeliczniki jednostek też są kwadratowe

Drugi błąd, blisko spokrewniony: przelicznik jednostek kwadratowych. Metr to 100 cm, ale metr kwadratowy to 10 000 cm kwadratowych, a nie 100. Ta sama zasada — przelicznik podnosimy do kwadratu.

Zamiana	Przelicznik
m na cm	100
m kw. na cm kw.	10 000
km na m	1000
km kw. na m kw.	1 000 000

Pułapka! Przy skali powiększającej dzielimy

Trzeci błąd: mylenie kierunku przy skali powiększającej. W zapisie $20:1$ rysunek jest większy, więc żeby dostać rzeczywistość, trzeba dzielić, a nie mnożyć.

Od planu do zakupów w sklepie

1
Zadanie praktyczne: na planie w skali 1:50 pokój jest prostokątem o wymiarach 8 cm na 10 cm. Ile paneli podłogowych trzeba kupić, jeśli jedno opakowanie starcza na 2 metry kwadratowe?
$8 \times 10 \text{ cm w skali } 1:50$
2
Sposób pierwszy: najpierw przeliczamy wymiary, potem liczymy pole. Zaczynamy od pierwszego boku.
$8 \cdot 50 = 400 \text{ cm} = 4 \text{ m}$
3
Drugi bok.
$10 \cdot 50 = 500 \text{ cm} = 5 \text{ m}$
4
Teraz pole rzeczywistego pokoju.
$4 \cdot 5 = 20 \text{ m kw.}$
5
Sposób drugi, sprawdzający: liczymy pole na planie i mnożymy przez kwadrat skali. Pole na planie to $8 \cdot 10 = 80$ cm kwadratowych.
$80 \cdot 50^2 = 80 \cdot 2500 = 200000 \text{ cm kw.}$
6
Zamieniamy na metry kwadratowe, dzieląc przez 10 000.
$200000 : 10000 = 20 \text{ m kw.} \; \checkmark$
7
Oba sposoby dają 20 metrów kwadratowych. Teraz odpowiadamy na pytanie z zadania: ile opakowań paneli?
$20 : 2 = 10 \text{ opakowan}$
8
Zwróć uwagę, że sposób pierwszy — przeliczyć wymiary, potem liczyć pole — jest zwykle bezpieczniejszy. Nie trzeba w nim pamiętać o kwadracie skali.
$10 \text{ opakowan}$
Wskazówka
Jeśli nie ufasz sobie z kwadratem skali, przelicz najpierw wymiary. Wynik ten sam, mniej pułapek.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Na planie w skali 1:100 pokój ma pole 12 cm kwadratowych. Ile metrów kwadratowych ma w rzeczywistości?

12 \cdot 100^2 : 10000

Ściąga do zapamiętania

Jak przeliczać długość i pole w skali?

• Długość: z planu do rzeczywistości mnożymy przez skalę, w drugą stronę dzielimy.
• Pole: mnożymy przez kwadrat skali, bo pole to iloczyn dwóch długości. Dla $1:100$ długość idzie razy $100$ , ale pole razy $10\,000$ .
• Przeliczniki też są kwadratowe: $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$ (nie $100$ !), $1\ \text{km}^2 = 1\,000\,000\ \text{m}^2$ .
• Skala powiększająca ( $20:1$ ) — rysunek jest większy od oryginału, więc rzeczywistość wychodzi z dzielenia.
• Bezpieczniejsza droga: najpierw przelicz wymiary, dopiero potem licz pole.

Sprawdź się!

Na planie w skali 1:200 odcinek ma 5 cm. Ile metrów ma w rzeczywistości?

Na planie w skali 1:100 pokój ma pole 20 cm kwadratowych. Jaka jest jego rzeczywista powierzchnia?

Ile centymetrów kwadratowych ma jeden metr kwadratowy?

Rysunek mrówki wykonano w skali 20:1. Na rysunku ma ona 80 mm. Ile ma naprawdę?

Uczeń policzył, że pokój z planu 1:100 ma 0,06 m kwadratowego. Jak najszybciej rozpoznać błąd?

Następny temat

Pola figur złożonych