Siatki graniastosłupów

około 12 minut

W tej lekcji1/15

Cześć! Weź pudełko po herbacie i rozetnij je wzdłuż krawędzi, a potem rozłóż na płasko. To, co zostanie na stole, to siatka graniastosłupa. Producenci opakowań robią dokładnie odwrotnie: najpierw drukują siatkę na płaskim kartonie, a potem ją składają. Dziś nauczysz się czytać takie siatki i rysować własne.

Z czego składa się siatka

Siatka graniastosłupa to jego powierzchnia rozłożona na płaszczyźnie. Składa się z dokładnie tych samych ścian, które ma bryła:

Ściany boczne ustawione w rzędzie tworzą jeden prostokąt

- dwie jednakowe podstawy
- prostokąty boczne w liczbie równej liczbie boków podstawy

Graniastosłup	Podstawy	Prostokąty	Razem figur
trójkątny	2 trójkąty	3	5
czworokątny	2 czworokąty	4	6
sześciokątny	2 sześciokąty	6	8

Liczba figur w siatce zawsze równa się liczbie ścian bryły, czyli $n + 2$ .

Ściany boczne w rzędzie to jeden prostokąt: obwód podstawy na wysokość

Każdy prostokąt boczny ma jeden wymiar równy wysokości graniastosłupa, a drugi równy długości odpowiedniego boku podstawy.

Jedna bryła, wiele siatek

Ta sama bryła ma wiele różnych siatek — wszystko zależy od tego, wzdłuż których krawędzi ją rozetniemy.

Sam sześcian ma aż jedenaście różnych siatek. Każda składa się z sześciu kwadratów, ale ułożonych inaczej.

Jedna z jedenastu siatek sześcianu — inne cięcie da inny układ tych samych sześciu kwadratów

Cztery kroki sprawdzania układu

Dlatego przy zadaniach trzeba umieć rozstrzygnąć, czy dany układ figur rzeczywiście się złoży. Oto praktyczna metoda sprawdzania:

1. Policz figury. Musi ich być dokładnie $n + 2$ .
2. Sprawdź rodzaje. Dwie jednakowe podstawy i reszta prostokątów.
3. Sprawdź wymiary. Boki, które mają się skleić, muszą mieć równą długość.
4. Wyobraź sobie składanie. Czy któreś dwie ściany nie trafiają w to samo miejsce?

Punkt czwarty jest najtrudniejszy, ale też najważniejszy. Układ może mieć poprawną liczbę figur i poprawne wymiary, a mimo to się nie złożyć — bo dwie ściany nachodzą na siebie, a gdzie indziej zostaje dziura.

Typowy kontrprzykład

Weź sześć kwadratów ułożonych w prostokąt 2 na 3. Liczba się zgadza, kształty też, ale przy składaniu dwie ściany trafiają na to samo miejsce, a przód i góra zostają puste. Taki układ nie jest siatką sześcianu.

Układ typu pas: trzy prostokąty boczne w rzędzie, a podstawy po przeciwnych stronach

Rysujemy siatkę graniastosłupa trójkątnego

1
Zadanie: narysuj siatkę graniastosłupa o podstawie trójkąta równobocznego o boku 4 cm i wysokości bryły 7 cm. Ustalmy najpierw, z czego będzie się składać.
$\text{bok} = 4, \; h = 7$
2
Krok pierwszy: liczymy figury. Podstawa ma trzy boki, więc siatka ma trzy prostokąty i dwa trójkąty.
$3 + 2 = 5 \text{ figur}$
3
Krok drugi: ustalamy wymiary prostokątów bocznych. Każdy ma szerokość równą bokowi podstawy i wysokość równą wysokości bryły.
$\text{kazdy prostokat: } 4 \times 7$
4
Krok trzeci: rysujemy trzy takie prostokąty jeden obok drugiego, sklejone bokami. Powstaje jeden duży prostokąt.
$12 \times 7$
5
Zwróć uwagę, skąd wzięła się dwunastka: to obwód podstawy, czyli suma trzech boków po 4 cm.
$3 \cdot 4 = 12 \text{ cm}$
6
Krok czwarty: doklejamy trójkąty. Jeden u góry pasa, drugi u dołu — po przeciwnych stronach, żeby po złożeniu trafiły na przeciwległe końce bryły.
$2 \text{ trojkaty po bokach pasa}$
7
Siatka gotowa. Sprawdzenie: pięć figur, dwie jednakowe podstawy, trzy prostokąty o wspólnej wysokości 7 cm. Wszystko się zgadza.
$5 \text{ figur} \; \checkmark$
8
Praktyczna wskazówka: gdyby ktoś doklejił oba trójkąty po tej samej stronie pasa, siatka by się nie złożyła — obie podstawy trafiłyby na ten sam koniec bryły.
$\text{podstawy po przeciwnych stronach}$
Wskazówka
Podstawy zawsze po przeciwnych stronach pasa. Inaczej trafią w to samo miejsce.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Z ilu figur składa się siatka graniastosłupa pięciokątnego?

n = 5

Pułapka! Przekonanie, że siatka jest tylko jedna

W podręczniku widzisz jeden rysunek siatki i łatwo uwierzyć, że to jedyna możliwość. Dlatego w zadaniu „która z tych figur jest siatką sześcianu” poprawnych odpowiedzi może być kilka, a nieznany wcześniej układ wcale nie musi być błędny. Trzeba sprawdzić, a nie porównywać z zapamiętanym obrazkiem.

Drugi błąd: właściwa liczba figur to za mało

Drugi błąd jest przeciwny: przekonanie, że każdy układ o właściwej liczbie figur się złoży. Liczba figur, kształty i pasujące wymiary to dopiero trzy pierwsze kroki sprawdzania — dopiero czwarty, brak nakładania, rozstrzyga.

Trzeci błąd: niedopasowane wymiary prostokątów

Trzeci błąd to niedopasowane wymiary prostokątów. Prostokąt boczny musi mieć jeden bok równy bokowi podstawy, do którego jest doklejony. Jeśli podstawa to prostokąt 3 na 5, to ściany boczne są dwie o szerokości 3 i dwie o szerokości 5 — a nie wszystkie jednakowe.

Czwarty błąd: obie podstawy po tej samej stronie

Czwarty błąd to doklejenie obu podstaw po tej samej stronie pasa. Po złożeniu trafią na ten sam koniec bryły, a drugi zostanie otwarty.

Ile kartonu na pudełko

1
Zadanie praktyczne: ile kartonu potrzeba na pudełko w kształcie graniastosłupa czworokątnego o podstawie 6 na 4 cm i wysokości 10 cm? Siatka podpowie odpowiedź.
$6 \times 4, \quad h = 10$
2
Krok pierwszy: rozkładamy pudełko myślowo na siatkę. Będą dwie podstawy i cztery prostokąty boczne.
$2 + 4 = 6 \text{ figur}$
3
Krok drugi: pole obu podstaw. Każda to prostokąt 6 na 4.
$2 \cdot (6 \cdot 4) = 48 \text{ cm kw.}$
4
Krok trzeci: ściany boczne. Zamiast liczyć cztery prostokąty osobno, korzystamy z obserwacji — ustawione w rzędzie tworzą jeden prostokąt o wymiarach obwód podstawy na wysokość.
$\text{obwod} = 2 \cdot (6 + 4) = 20 \text{ cm}$
5
Pole tego dużego prostokąta.
$20 \cdot 10 = 200 \text{ cm kw.}$
6
Krok czwarty: dodajemy pole podstaw i pole boków.
$48 + 200 = 248 \text{ cm kw.}$
7
Potrzeba 248 cm kwadratowych kartonu. Sprawdźmy drugim sposobem: cztery prostokąty osobno to dwa po $6 \cdot 10 = 60$ i dwa po $4 \cdot 10 = 40$ .
$2 \cdot 60 + 2 \cdot 40 = 200 \; \checkmark$
8
Ten sam wynik. To już jest pole powierzchni graniastosłupa — temat następnej lekcji. Siatka pokazuje, dlaczego wzór wygląda tak, a nie inaczej.
$248 \text{ cm kw.}$
Wskazówka
Siatka to najlepszy sposób, żeby zrozumieć wzór na pole powierzchni. Nie trzeba go wkuwać.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Graniastosłup ma podstawę o obwodzie 15 cm i wysokość 8 cm. Jakie pole (w cm kwadratowych) ma prostokąt utworzony przez wszystkie ściany boczne ustawione w rzędzie?

15 \cdot 8

Ściąga do zapamiętania

Jak wygląda siatka graniastosłupa?

Składa się z DWÓCH JEDNAKOWYCH PODSTAW i tylu PROSTOKĄTÓW, ile boków ma podstawa — razem n+2 figur. Każdy prostokąt boczny ma wysokość równą wysokości bryły, a szerokość równą bokowi podstawy. USTAWIONE W RZĘDZIE tworzą jeden prostokąt: OBWÓD PODSTAWY na WYSOKOŚĆ. Jedna bryła ma WIELE siatek (sześcian aż 11). Sprawdzając układ: policz figury, sprawdź kształty i wymiary, a potem wyobraź sobie składanie — czy nic nie nachodzi. Podstawy dokleja się po PRZECIWNYCH stronach pasa.

Sprawdź się!

Z ilu figur składa się siatka graniastosłupa sześciokątnego?

Jakie wymiary ma prostokąt utworzony przez wszystkie ściany boczne ustawione w rzędzie?

Ile różnych siatek ma sześcian?

Sześć kwadratów ułożono w prostokąt 2 na 3. Czy to siatka sześcianu?

Graniastosłup ma podstawę o obwodzie 20 cm i wysokość 6 cm. Jakie jest pole jego powierzchni bocznej?

Następny temat

Pole powierzchni graniastosłupa