Pole powierzchni graniastosłupa

około 15 minut

W tej lekcji1/15

Cześć! Ile papieru potrzeba na owinięcie prezentu? Ile blachy na wykonanie puszki? Ile farby na pomalowanie słupa? Wszystkie te pytania dotyczą pola powierzchni graniastosłupa. A dzięki siatce, którą już znasz, wzór jest właściwie oczywisty — nie trzeba go wkuwać, wystarczy zrozumieć.

Dwie podstawy plus pas dookoła

Pole powierzchni to suma pól wszystkich ścian. Siatka pokazuje je wszystkie naraz, więc wystarczy je zsumować.

Ściany dzielą się na dwie grupy:

$P_c = 2 \cdot P_p + P_b$

gdzie $P_c$ to pole całkowite, $P_p$ pole jednej podstawy, a $P_b$ pole powierzchni bocznej.

Pole powierzchni to dwie podstawy plus ściany boczne

Pole boczne to jedno mnożenie

Pole boczne liczymy jednym mnożeniem, korzystając z obserwacji z poprzedniej lekcji — wszystkie ściany boczne ustawione w rzędzie tworzą jeden prostokąt:

Sześć ścian bocznych w jednym rzędzie tworzy jeden prostokąt

$P_b = \text{obwod podstawy} \cdot \text{wysokosc}$

To ogromne ułatwienie: zamiast liczyć sześć osobnych prostokątów w graniastosłupie sześciokątnym, robimy jedno mnożenie.

Kolejność pracy, która nigdy nie zawodzi

1. Narysuj albo wyobraź sobie siatkę.
2. Policz pole podstawy.
3. Policz obwód podstawy.
4. Pomnóż obwód przez wysokość — masz pole boczne.
5. Dodaj dwa razy pole podstawy.

Wynik zawsze w jednostkach kwadratowych, bo to powierzchnia.

To samo dla różnych podstaw

Schemat jest zawsze ten sam — zmienia się tylko sposób liczenia pola i obwodu podstawy.

Graniastosłup czworokątny (prostopadłościan) o podstawie $a \times b$ i wysokości $h$ :

$P_p = ab$ , obwód $= 2(a+b)$ , więc $P_c = 2ab + 2(a+b) \cdot h$

Dla wymiarów 5, 4 i 3: $P_c = 2 \cdot 20 + 18 \cdot 3 = 40 + 54 = 94$ cm kwadratowych.

Podstawa	Pole podstawy	Obwód podstawy
prostokąt $a \times b$	$ab$	$2(a+b)$
kwadrat o boku $a$	$a^2$	$4a$
trójkąt o boku $a$ i wys. $h_p$	$\frac{a \cdot h_p}{2}$	suma trzech boków

Ten sam schemat dla podstawy trójkątnej

Graniastosłup trójkątny o podstawie będącej trójkątem o bokach 3, 4 i 5 cm, w którym dwa krótsze boki tworzą kąt prosty (więc są jednocześnie bokiem i wysokością trójkąta), przy wysokości bryły 10:

$P_p = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ , obwód $= 3 + 4 + 5 = 12$

$P_c = 2 \cdot 6 + 12 \cdot 10 = 12 + 120 = 132$ cm kwadratowych.

Siatka graniastosłupa trójkątnego: dwa trójkąty i trzy prostokąty

Uwaga na dwie różne wysokości

W graniastosłupie trójkątnym występuje wysokość bryły (odległość między podstawami) oraz wysokość trójkąta w podstawie. To zupełnie różne odcinki i łatwo je pomylić. Warto oznaczać je różnymi literami.

Ile blachy na puszkę o podstawie kwadratu

1
Zadanie: pojemnik ma kształt graniastosłupa o podstawie kwadratu o boku 6 cm i wysokości 10 cm. Ile blachy potrzeba na jego wykonanie?
$a = 6, \quad h = 10$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy: pole jednej podstawy. To kwadrat, więc bok razy bok.
$P_p = 6 \cdot 6 = 36 \text{ cm kw.}$
3
Krok drugi: obwód podstawy. Kwadrat ma cztery jednakowe boki.
$\text{obwod} = 4 \cdot 6 = 24 \text{ cm}$
4
Krok trzeci: pole boczne. Mnożymy obwód przez wysokość bryły.
$P_b = 24 \cdot 10 = 240 \text{ cm kw.}$
5
Krok czwarty: dodajemy dwie podstawy do pola bocznego.
$P_c = 2 \cdot 36 + 240$
6
Liczymy.
$P_c = 72 + 240 = 312 \text{ cm kw.}$
7
Potrzeba 312 centymetrów kwadratowych blachy. Sprawdzenie przez policzenie wszystkich ścian osobno: dwa kwadraty po 36 i cztery prostokąty po $6 \cdot 10 = 60$ .
$2 \cdot 36 + 4 \cdot 60 = 72 + 240 = 312 \; \checkmark$
8
Oba sposoby dają ten sam wynik. Przy czterech ścianach różnica w nakładzie pracy jest niewielka, ale przy sześciokątnej podstawie skrót z obwodem oszczędza sporo liczenia.
$312 \text{ cm kw.}$
Wskazówka
Skrót z obwodem zastępuje liczenie każdej ściany osobno. Im więcej boków, tym bardziej się opłaca.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Graniastosłup ma podstawę o polu 15 cm kw. i obwodzie 16 cm, a jego wysokość to 5 cm. Ile wynosi pole całkowite (w cm kwadratowych)?

P_c = 2 \cdot 15 + 16 \cdot 5

Pułapka! Jedna podstawa zamiast dwóch

Graniastosłup ma dwie podstawy, więc we wzorze pole podstawy występuje dwa razy. Zapomnienie o tym to najczęstszy błąd w tym temacie.

Dla naszej puszki: $P_c = 36 + 240 = 276$ zamiast $312$ . Wynik za mały o całą jedną podstawę.

Wyjątek: pojemnik bez wieczka

Jest jednak wyjątek, o którym warto wiedzieć: jeśli pojemnik nie ma wieczka, liczymy tylko jedną podstawę. Zadania praktyczne często tak formułują treść — akwarium bez przykrycia, pudełko otwarte u góry, basen. Trzeba uważnie czytać.

Sytuacja	Ile podstaw liczymy
zamknięte pudełko	2
pudełko bez wieczka	1
rura, tunel (bez obu końców)	0

Pułapka! Dwie wysokości i jedno mnożenie za dużo

Drugi błąd: mylenie wysokości bryły z wysokością figury w podstawie. W graniastosłupie trójkątnym oba odcinki nazywają się wysokością, ale służą do zupełnie różnych rzeczy — jedna do pola podstawy, druga do pola bocznego.

Działanie	Co daje
obwód razy wysokość	pole boczne (cm kw.)
pole podstawy razy wysokość	objętość (cm sześc.)

Akwarium bez pokrywy i namiot

1
Zadanie pierwsze: akwarium ma wymiary 50 na 30 cm w podstawie i 40 cm wysokości. Ile szkła potrzeba, jeśli akwarium NIE MA przykrycia?
$50 \times 30, \quad h = 40$
2
Uwaga na słowo bez przykrycia — liczymy tylko JEDNĄ podstawę, czyli dno.
$P_p = 50 \cdot 30 = 1500 \text{ cm kw.}$
3
Obwód podstawy potrzebny do pola bocznego.
$\text{obwod} = 2(50 + 30) = 160 \text{ cm}$
4
Pole boczne, czyli cztery ścianki.
$P_b = 160 \cdot 40 = 6400 \text{ cm kw.}$
5
Dodajemy tylko jedno dno, bez wieczka.
$1500 + 6400 = 7900 \text{ cm kw.}$
6
Potrzeba 7900 cm kwadratowych szkła, czyli 0,79 metra kwadratowego. Gdybyśmy policzyli dwie podstawy, wyszłoby 9400 — o półtora tysiąca za dużo.
$7900 \text{ cm kw.}$
7
Zadanie drugie, na uwagę: namiot ma kształt graniastosłupa trójkątnego. Podstawy to trójkąty o polu 2 m kw. każdy, obwód podstawy to 6 m, a długość namiotu 3 m. Ile materiału potrzeba na cały namiot razem z podłogą?
$P_p = 2, \; \text{obwod} = 6, \; h = 3$
8
Tu liczymy wszystko: dwie trójkątne ścianki plus powierzchnia boczna (dach i podłoga). Zwróć uwagę, że wysokość bryły to długość namiotu, bo podstawy stoją pionowo.
$2 \cdot 2 + 6 \cdot 3 = 4 + 18 = 22 \text{ m kw.}$
Wskazówka
W namiocie wysokość bryły to jego długość. Podstawy stoją pionowo.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Sześcian ma krawędź 4 cm. Ile wynosi pole jego powierzchni całkowitej (w cm kwadratowych)?

P_c = 6 \cdot 4^2

Ściąga do zapamiętania

Jak obliczyć pole powierzchni graniastosłupa?

WZÓR: Pc = 2 razy pole podstawy PLUS pole boczne. POLE BOCZNE = OBWÓD PODSTAWY razy WYSOKOŚĆ bryły (bo ściany boczne w rzędzie tworzą jeden prostokąt) — to skrót zastępujący liczenie każdej ściany osobno. KOLEJNOŚĆ: pole podstawy, obwód podstawy, pomnóż obwód przez wysokość, dodaj dwie podstawy. UWAGA: bez wieczka liczymy TYLKO JEDNĄ podstawę. Nie myl wysokości bryły z wysokością figury w podstawie. Pole podstawy razy wysokość to OBJĘTOŚĆ, nie pole. Wynik w cm kwadratowych.

Sprawdź się!

Jak obliczyć pole powierzchni bocznej graniastosłupa?

Prostopadłościan ma wymiary 5, 4 i 3 cm. Ile wynosi pole jego powierzchni?

Akwarium bez przykrycia ma dno o polu 1200 cm kw. i pole boczne 4800 cm kw. Ile szkła potrzeba?

Sześcian ma krawędź 5 cm. Ile wynosi pole jego powierzchni?

Graniastosłup ma podstawę o polu 8 cm kw. i obwodzie 12 cm oraz wysokość 6 cm. Ile wynosi jego pole całkowite?

Następny temat

Objętość graniastosłupa