Prędkość, droga i czas — zadania złożone

1. 1

   Zamiana km/h na m/s przydaje się w zadaniach z fizyki i przy porównywaniu prędkości.

   $$1 \frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}}$$
2. 2

   Kilometr to 1000 metrów, a godzina to 3600 sekund — dlatego z km/h na m/s dzielimy przez $3{,}6$.

   $$\frac{1000}{3600} = \frac{1}{3{,}6}$$
3. 3

   Przykład: ile metrów na sekundę pokonuje pojazd jadący $72$ km/h?

   $$72 : 3{,}6 = 20 \text{ m/s}$$
4. 4

   W drugą stronę mnożymy przez 3,6: $10$ m/s to $36$ km/h.

   $$10 \cdot 3{,}6 = 36 \text{ km/h}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie z początku lekcji: miasta dzieli 270 km. Z jednego wyjeżdża pociąg jadący 80 km/h, z drugiego naprzeciw niego pociąg 100 km/h. Po ilu godzinach się miną?

   $$s = 270, \; v_1 = 80, \; v_2 = 100$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A1,5 hB2,7 hC13,5 h

2. 2

   Krok pierwszy: sprawdzamy jednostki. Droga w kilometrach, prędkości w km/h — pasują do siebie, więc czas wyjdzie w godzinach.

   $$\text{km i km/h} \; \checkmark$$
3. 3

   Krok drugi: kluczowa obserwacja. Pociągi zbliżają się do siebie, więc odległość między nimi maleje w tempie SUMY ich prędkości.

   $$80 + 100 = 180 \text{ km/h}$$
4. 4

   Możesz to sobie wyobrazić tak: gdyby jeden pociąg stał, a drugi jechał 180 km/h, sytuacja byłaby identyczna.

   $$\text{tempo zblizania} = 180 \text{ km/h}$$
5. 5

   Krok trzeci: liczymy czas, dzieląc odległość przez tempo zbliżania.

   $$t = \frac{270}{180} = 1{,}5 \text{ h}$$
6. 6

   Miną się po półtorej godziny, czyli po godzinie i 30 minutach. Sprawdźmy to, licząc drogi obu pociągów.

   $$1{,}5 \text{ h} = 1 \text{ h } 30 \text{ min}$$
7. 7

   Pierwszy przejedzie $80 \cdot 1{,}5 = 120$ km, drugi $100 \cdot 1{,}5 = 150$ km.

   $$120 + 150 = 270 \; \checkmark$$
8. 8

   Razem dokładnie 270 km, czyli cała odległość między miastami. Wynik się potwierdza.

   $$t = 1{,}5 \text{ h}$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Poprawnie liczymy z definicji — cała droga przez cały czas. Zaczynamy od drogi: 60 km w jedną stronę i tyle samo z powrotem.

   $$s = 60 + 60 = 120 \text{ km}$$
2. 2

   Czas jazdy tam, z prędkością 60 km/h.

   $$t_1 = 60 : 60 = 1 \text{ h}$$
3. 3

   Czas powrotu, z prędkością 30 km/h — dwa razy wolniej, więc dwa razy dłużej.

   $$t_2 = 60 : 30 = 2 \text{ h}$$
4. 4

   Cały czas podróży to suma obu etapów.

   $$t = 1 + 2 = 3 \text{ h}$$
5. 5

   Dopiero teraz dzielimy całą drogę przez cały czas.

   $$v_{sr} = \frac{120}{3} = 40 \text{ km/h}$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie pierwsze: samochód jechał 2 godziny z prędkością 90 km/h, potem stał godzinę na postoju, a następnie jechał jeszcze 1 godzinę z prędkością 60 km/h. Jaka była jego prędkość średnia na całej trasie?

   $$2 \text{ h} \cdot 90, \; \text{postoj}, \; 1 \text{ h} \cdot 60$$
2. 2

   Krok pierwszy: liczymy całą przebytą drogę, etap po etapie.

   $$2 \cdot 90 = 180 \text{ km}$$
3. 3

   Drugi etap to postój — droga zero. Trzeci etap dokłada kolejne kilometry.

   $$1 \cdot 60 = 60 \text{ km}$$
4. 4

   Cała droga to suma obu etapów.

   $$180 + 60 = 240 \text{ km}$$
5. 5

   Krok drugi: cały czas. Uwaga — postój też się liczy, bo prędkość średnia obejmuje całą podróż.

   $$2 + 1 + 1 = 4 \text{ h}$$
6. 6

   Krok trzeci: dzielimy drogę przez czas.

   $$v_{sr} = \frac{240}{4} = 60 \text{ km/h}$$
7. 7

   Zadanie drugie: rowerzysta jedzie 15 km/h, a motocyklista rusza za nim godzinę później z prędkością 45 km/h. Po ilu godzinach go dogoni?

   $$v_1 = 45, \; v_2 = 15$$
8. 8

   Rowerzysta ma przewagę: przez godzinę przejechał 15 km. Motocyklista nadrabia z tempem różnicy prędkości, czyli 30 km/h. Zatem $15 : 30 = 0{,}5$ godziny.

   $$\frac{15}{45 - 15} = 0{,}5 \text{ h}$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.