Graniastosłupy proste

1. 1

   Zanim spojrzysz na jakikolwiek wzór, weź do ręki pudełko po butach i policz jego ściany. Cztery dookoła plus dno i wieko.

   $$4 + 2 = 6 \text{ ścian}$$
2. 2

   Teraz wierzchołki: cztery na dole i cztery na górze.

   $$4 + 4 = 8 \text{ wierzchołków}$$
3. 3

   Na koniec krawędzie: cztery dolne, cztery górne i cztery pionowe.

   $$4 + 4 + 4 = 12 \text{ krawędzi}$$
4. 4

   Wszystkie trzy liczby dało się policzyć palcem, bez sięgania po jakikolwiek wzór.

   $$6, \; 8, \; 12$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Sprawdźmy wzory na prostopadłościanie, którego znasz już dobrze. Jego podstawa to czworokąt.

   $$n = 4$$
2. 2

   Ściany: cztery boczne plus dwie podstawy.

   $$4 + 2 = 6 \; \checkmark$$
3. 3

   Wierzchołki: cztery na dole i cztery na górze.

   $$2 \cdot 4 = 8 \; \checkmark$$
4. 4

   Krawędzie: trzy grupy po cztery.

   $$3 \cdot 4 = 12 \; \checkmark$$
5. 5

   Wszystko się zgadza z tym, co da się policzyć na pudełku.

   $$6, \; 8, \; 12 \; \checkmark$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: graniastosłup ma w podstawie sześciokąt. Ile ma ścian, wierzchołków i krawędzi? To kształt zwykłego ołówka.

   $$n = 6$$
2. 2

   Krok pierwszy: ściany. Sześć ścian bocznych plus dwie podstawy.

   $$6 + 2 = 8 \text{ scian}$$
3. 3

   Krok drugi: wierzchołki. Sześciokąt ma sześć wierzchołków, a mamy dwie podstawy.

   $$2 \cdot 6 = 12 \text{ wierzcholkow}$$
4. 4

   Krok trzeci: krawędzie. Trzy grupy po sześć — dolne, górne i pionowe.

   $$3 \cdot 6 = 18 \text{ krawedzi}$$
5. 5

   Sprawdzenie zdrowym rozsądkiem: weź do ręki sześciokątny ołówek. Policz jego podłużne ścianki — jest ich sześć. Do tego dwa końce, czyli razem osiem ścian. Zgadza się.

   $$8 \text{ scian} \; \checkmark$$
6. 6

   Dorzućmy zadanie o sumie krawędzi. Jeśli bok podstawy ma 1 cm, a wysokość 18 cm, to dwanaście krawędzi podstaw ma po 1 cm.

   $$12 \cdot 1 = 12 \text{ cm}$$
7. 7

   A sześć krawędzi bocznych ma po 18 cm.

   $$6 \cdot 18 = 108 \text{ cm}$$
8. 8

   Razem daje to 120 cm drutu na szkielet takiego ołówka.

   $$12 + 108 = 120 \text{ cm}$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Trzeci błąd, rachunkowy: przy liczeniu sumy krawędzi traktowanie wszystkich jako jednakowych. W graniastosłupie są trzy grupy krawędzi i tylko boczne mają długość równą wysokości bryły.

   $$n + n + n = 3n$$
2. 2

   Krawędzie dolne: jest ich n i każda ma długość boku podstawy.

   $$n \cdot \text{bok podstawy}$$
3. 3

   Krawędzie górne: znowu n sztuk o długości boku podstawy.

   $$n \cdot \text{bok podstawy}$$
4. 4

   Krawędzie boczne: n sztuk, każda równa wysokości bryły.

   $$n \cdot \text{wysokość}$$
5. 5

   Sumę wszystkich krawędzi składamy dopiero z tych trzech grup.

   $$2n \cdot \text{bok podstawy} + n \cdot \text{wysokość}$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: rozpoznaj rodzaj graniastosłupa dla kilku przedmiotów. Zaczynamy od pudełka po butach.

   $$\text{pudelko}$$
2. 2

   Podstawy to dwa jednakowe prostokąty. Czworokąt w podstawie, więc to graniastosłup czworokątny, czyli po prostu prostopadłościan.

   $$n = 4$$
3. 3

   Drugi przedmiot: sześciokątny ołówek. Jego dwa końce to jednakowe sześciokąty.

   $$n = 6$$
4. 4

   Trzeci: namiot o trójkątnym przekroju. Podstawy stoją PIONOWO — to trójkątne ścianki z przodu i z tyłu.

   $$n = 3$$
5. 5

   Czwarty: kostka do gry. Wszystkie ściany są kwadratami, więc dowolna para przeciwległych może być podstawami. To graniastosłup czworokątny, a dokładniej sześcian.

   $$n = 4$$
6. 6

   Piąty, podchwytliwy: piramida egipska. Ma podstawę kwadratową, ale ściany boczne są TRÓJKĄTAMI i schodzą się w jednym wierzchołku.

   $$\text{sciany boczne to trojkaty}$$
7. 7

   To NIE jest graniastosłup — to ostrosłup. Graniastosłup musi mieć DWIE jednakowe podstawy i prostokątne ściany boczne. Piramida ma tylko jedną podstawę.

   $$\text{ostroslup} \ne \text{graniastoslup}$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.