Odcinki w graniastosłupach — przekątne

około 18 minut

W tej lekcji1/16

Cześć! Czy metrowa wędka zmieści się w pudełku 80 na 50 na 40 cm? Na oko wygląda na za dużą — żaden bok nie ma metra. A jednak wejdzie, jeśli ułożyć ją po skosie, przez całą bryłę. Najdłuższy odcinek w prostopadłościanie to jego przekątna, a liczy się ją twierdzeniem Pitagorasa użytym DWA RAZY. To jedno z ulubionych zadań egzaminu ósmoklasisty.

Dwie różne przekątne: ściany i bryły

W graniastosłupie występują dwa rodzaje odcinków, które łatwo pomylić:

Przekątną liczymy Pitagorasem — dwa razy

Pitagoras użyty dwa razy

Drugi trójkąt prostokątny: przekątna ściany, krawędź boczna i przekątna bryły

1
Weź prostopadłościan o wymiarach $a$ , $b$ , $c$ . Przekątna ściany o bokach $a$ i $b$ to zwykły Pitagoras w prostokącie.
$d_{\text{sc}}^2 = a^2 + b^2$
2
Przekątna bryły wymaga Pitagorasa użytego drugi raz. Popatrz na trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna to przekątna podstawy, druga to krawędź boczna $c$ , a przeciwprostokątna to szukana przekątna $d$ .
$d^2 = d_{\text{sc}}^2 + c^2 = (a^2 + b^2) + c^2$
3
Po opuszczeniu nawiasu zostaje najważniejszy wzór tej lekcji.
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
4
To trójwymiarowa wersja twierdzenia Pitagorasa — suma kwadratów trzech wymiarów. Wzór jest symetryczny, więc kolejność liter nie ma znaczenia.
$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Przekątna bryły jest najdłuższa

Odcinek	Wzór	Ile ich jest w prostopadłościanie
przekątna ściany $a \times b$	$\sqrt{a^2+b^2}$	2 na każdej z 6 ścian, razem 12
przekątna bryły	$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$	4 (wszystkie równe)

Przekątna bryły jest najdłuższym odcinkiem o końcach w wierzchołkach — dłuższym od każdej krawędzi i od każdej przekątnej ściany. To wynika ze wzoru: do sumy dochodzi jeszcze jeden dodatni składnik.

Sześcian: obie przekątne warto zapamiętać

Sześcian o krawędzi $a$ to przypadek szczególny, w którym wszystkie trzy wymiary są równe:

Sześcian o krawędzi 5 cm — wszystkie trzy wymiary równe

$d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$ , więc $d = a\sqrt{3}$

A jego przekątna ściany to $d_{\text{sc}} = a\sqrt{2}$ , bo $a^2 + a^2 = 2a^2$ . Warto zapamiętać obie:

Sześcian o krawędzi $a$	Wzór	Dla $a = 5$
przekątna ściany	$a\sqrt{2}$	$5\sqrt{2} \approx 7{,}1$
przekątna bryły	$a\sqrt{3}$	$5\sqrt{3} \approx 8{,}7$

Przybliżenia: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ .

Inna podstawa — wzór trzeba złożyć samemu

W graniastosłupach o innej podstawie wzór $d^2 = a^2+b^2+c^2$ już nie działa — jest zrobiony na miarę prostopadłościanu. Zasada pozostaje jednak ta sama i sprowadza się do dwóch kroków: najpierw przekątna podstawy, potem Pitagoras z wysokością bryły.

Przekątna graniastosłupa sześciokątnego

Podstawa graniastosłupa: sześciokąt foremny o boku 3 cm. Odcinek AD to jego najdłuższa przekątna — biegnie przez środek i obejmuje dwa boki

1
Znajdź przekątną podstawy — wzorem właściwym dla tej figury. Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego to $2a$ : sześciokąt składa się z sześciu trójkątów równobocznych, więc odcinek łączący przeciwległe wierzchołki przechodzi przez środek i obejmuje dwa boki. Dla $a = 3$ :
$d_p = 2a = 2 \cdot 3 = 6$
2
Zastosuj Pitagorasa w trójkącie prostokątnym: przekątna podstawy i wysokość bryły $H$ jako przyprostokątne, szukana przekątna jako przeciwprostokątna.
$d^2 = (\text{przekatna podstawy})^2 + H^2$
3
Podstawiamy $d_p = 6$ oraz $H = 8$ i sumujemy kwadraty.
$d^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
4
Na koniec pierwiastkujemy.
$d = 10$

Wszystkie kroki za Tobą!

Czy wędka zmieści się w pudełku

1
Zadanie: pudełko ma wymiary 80 cm, 50 cm i 40 cm. Czy zmieści się w nim prosty pręt o długości 1 metra?
$a = 80, \quad b = 50, \quad c = 40$
2
Krok pierwszy: najdłuższy odcinek, jaki mieści pudełko, to jego przekątna przestrzenna. Ją liczymy.
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
3
Krok drugi: kwadraty wymiarów. Pierwszy.
$80^2 = 6400$
4
Drugi.
$50^2 = 2500$
5
Trzeci.
$40^2 = 1600$
6
Krok trzeci: sumujemy trzy kwadraty.
$d^2 = 6400 + 2500 + 1600 = 10500$
7
Krok czwarty: pierwiastkujemy. Wynik nie jest okrągły, więc szacujemy — sto do kwadratu to 10 000, a 103 do kwadratu to 10 609.
$d = \sqrt{10500} \approx 102{,}5 \text{ cm}$
8
Krok piąty: porównujemy z długością pręta. Metr to 100 cm.
$102{,}5 > 100$
9
Odpowiedź: tak, pręt się zmieści — ale tylko ułożony po przekątnej, przez wnętrze pudełka. Wzdłuż żadnej krawędzi (80, 50 ani 40 cm) by nie wszedł.
$\text{Odp.: tak, po skosie}$
Wskazówka
Kiedy zadanie pyta „czy zmieści się”, prawie zawsze chodzi o przekątną przestrzenną. To najdłuższy odcinek w bryle.

Wszystkie kroki za Tobą!

Trzy przekątne jednego prostopadłościanu

1
Zadanie egzaminacyjne: prostopadłościan ma wymiary 3 cm, 4 cm i 12 cm. Oblicz przekątną podstawy oraz przekątną bryły.
$a = 3, \quad b = 4, \quad c = 12$
2
Przekątna podstawy: Pitagoras w prostokącie o bokach 3 i 4. To klasyczna trójka.
$d_p^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
3
Pierwiastkujemy.
$d_p = 5 \text{ cm}$
4
Przekątna bryły: teraz trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 (przekątna podstawy) i 12 (wysokość).
$d^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
5
Pierwiastkujemy — znowu trafiła się znana trójka 5, 12, 13.
$d = 13 \text{ cm}$
6
Sprawdzenie wzorem skróconym: suma kwadratów wszystkich trzech wymiarów.
$3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169 \; \checkmark$
7
Kontrola sensu: przekątna bryły (13) jest dłuższa od każdej krawędzi (12) i od przekątnej podstawy (5). Tak być musi.
$13 > 12 > 5 \; \checkmark$
8
Dla porównania przekątna ściany bocznej o bokach 4 i 12: to inny odcinek, o innej długości.
$\sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} \approx 12{,}6 \text{ cm}$
Wskazówka
W jednym prostopadłościanie są przekątne ścian trzech różnych długości i tylko jedna długość przekątnej bryły.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Prostopadłościan ma wymiary 2 cm, 3 cm i 6 cm. Oblicz długość przekątnej bryły (w centymetrach).

d^2 = 2^2 + 3^2 + 6^2

Twoja kolej

Sześcian ma krawędź 4 cm. Ile wynosi kwadrat długości jego przekątnej przestrzennej (czyli $d^2$ )?

d^2 = 3a^2 = 3 \cdot 4^2

Pułapka! Przekątna ściany wzięta za przekątną bryły

Błąd pierwszy — zatrzymanie się po pierwszym Pitagorasie. Zadanie pyta o przekątną prostopadłościanu $3 \times 4 \times 12$ , uczeń liczy $\sqrt{9+16} = 5$ i zapisuje odpowiedź. Ale 5 cm to przekątna podstawy, a nie bryły. Brakuje drugiego kroku: $\sqrt{25 + 144} = 13$ cm. Kontrola: przekątna bryły musi być dłuższa od każdej krawędzi. Jeśli twój wynik (5) jest krótszy od krawędzi 12 cm, na pewno to nie ona.

Pułapka! Dodawanie wymiarów zamiast ich kwadratów

Błąd drugi — dodawanie wymiarów zamiast ich kwadratów. $3 + 4 + 12 = 19$ nie ma nic wspólnego z przekątną. Pitagoras działa na kwadratach: najpierw podnieś każdy wymiar do kwadratu, dopiero potem dodawaj.

Błąd trzeci — zapominanie o pierwiastku. Wzór daje $d^2$ , a nie $d$ . Z $d^2 = 169$ wynika $d = 13$ , nie $169$ .

Pułapka! Wzór z trzech kwadratów w niewłaściwej bryle

Błąd czwarty — wzór $a^2+b^2+c^2$ w bryle, która nie jest prostopadłościanem. W graniastosłupie o podstawie trójkąta czy sześciokąta trzeba najpierw znaleźć przekątną podstawy tą metodą, która pasuje do tej figury, a potem złożyć ją z wysokością.

Cztery różne odcinki w jednej bryle

Błąd piąty — mylenie „przekątnej ściany bocznej” z „przekątną podstawy”. W prostopadłościanie $3 \times 4 \times 12$ to trzy różne odcinki:

Odcinek	Obliczenie	Długość
przekątna podstawy $3 \times 4$	$\sqrt{9+16}$	5 cm
przekątna ściany $3 \times 12$	$\sqrt{9+144}$	$\sqrt{153} \approx 12{,}4$ cm
przekątna ściany $4 \times 12$	$\sqrt{16+144}$	$\sqrt{160} \approx 12{,}6$ cm
przekątna bryły	$\sqrt{9+16+144}$	13 cm

Czytaj treść dokładnie: „przekątna ściany bocznej” i „przekątna graniastosłupa” to dwa różne polecenia.

Ściąga do zapamiętania

Przekątna ściany i przekątna bryły — jak dwa razy użyć Pitagorasa?

• Prostopadłościan o wymiarach $a$ , $b$ , $c$ : przekątna ściany to $\sqrt{a^2 + b^2}$ , a przekątna bryły $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ — Pitagoras użyty dwa razy
• Sześcian o krawędzi $a$ : przekątna ściany $a\sqrt{2}$ , przekątna bryły $a\sqrt{3}$ (przy czym $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , a $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ )
• Inna podstawa: najpierw przekątna podstawy $d_p$ , potem $d^2 = d_p^2 + H^2$
• Kontrola: przekątna bryły jest najdłuższym odcinkiem — dłuższa od każdej krawędzi i od każdej przekątnej ściany
• Nie zapomnij o pierwiastku na samym końcu

Sprawdź się!

Prostopadłościan ma wymiary 1 cm, 2 cm i 2 cm. Ile wynosi jego przekątna przestrzenna?

Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ wyraża się wzorem:

Prostopadłościan ma wymiary 3 cm, 4 cm i 12 cm. Uczeń podał, że jego przekątna ma 5 cm. Co policzył?

Który odcinek w prostopadłościanie jest najdłuższy?

Przekątna ściany sześcianu ma $6\sqrt{2}$ cm. Ile wynosi krawędź tego sześcianu?

Czy pręt długości 1 m zmieści się w pudełku o wymiarach 80 cm, 50 cm i 40 cm?

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy 3 cm i wysokość 8 cm. Najdłuższa przekątna tej bryły ma:

Następny temat

Ostrosłupy — budowa i siatki