Pole powierzchni ostrosłupa

około 15 minut

W tej lekcji1/15

Cześć! Ile blachy trzeba na pokrycie dachu wieży w kształcie ostrosłupa? Ile materiału na namiot tipi? A ile kamiennych płyt na obłożenie piramidy? To pytania o pole powierzchni ostrosłupa. Dobra wiadomość: znasz już siatkę, a pole powierzchni to po prostu pole całej siatki. Zła wiadomość: w zadaniach czai się pułapka z dwiema wysokościami — pokażę ci, jak ją omijać.

Jedna podstawa plus trójkąty

Rozetnij ostrosłup i rozłóż go na płasko — dostaniesz siatkę jak na rysunku: jedna podstawa i wachlarz trójkątów. Pole powierzchni całkowitej to po prostu pole tej siatki:

Siatka ostrosłupa: jedna podstawa i wachlarz trójkątów — pole powierzchni to pole tej siatki

$P_c = P_p + P_b$

gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $P_b$ — pole powierzchni bocznej, czyli suma pól wszystkich trójkątnych ścian. W graniastosłupie podstawy były dwie ( $2P_p$ ) — tu jest tylko jedna, bo druga „skurczyła się” do wierzchołka.

Pole jednej ściany — i której wysokości użyć

Każda ściana boczna to trójkąt, więc jej pole liczymy wzorem na pole trójkąta:

$P_{\text{ściany}} = \frac{a \cdot h_b}{2}$

gdzie $a$ to krawędź podstawy, a $h_b$ to wysokość ściany bocznej — odcinek biegnący po pochyłej ścianie od szczytu do środka krawędzi podstawy. Na siatce z rysunku wyżej widzisz ją wprost: to wysokość każdego trójkąta. Wysokości bryły $H$ na siatce nie zobaczysz — biegnie pionowo w środku ostrosłupa. A że po pochyłości zawsze jest dalej niż w pionie, mamy $h_b > H$ .

Od jednej ściany do całej powierzchni bocznej

1
W ostrosłupie prawidłowym wszystkie ściany boczne są przystające, więc wystarczy policzyć pole jednej z nich.
$P_{\text{sciany}} = \frac{a \cdot h_b}{2}$
2
Potem mnożymy je przez liczbę ścian, czyli przez liczbę boków podstawy.
$P_b = n \cdot \frac{a \cdot h_b}{2}$
3
Wynik zapisujemy zawsze w jednostkach kwadratowych.
$\text{cm}^2, \; \text{m}^2$
Wskazówka
Policz jedną ścianę, pomnóż przez liczbę ścian. Tyle.

Wszystkie kroki za Tobą!

Najważniejsze przypadki: kwadratowa podstawa i czworościan

Ostrosłup prawidłowy czworokątny — ulubieniec autorów zadań egzaminacyjnych. Podstawa to kwadrat o boku $a$ , ściany boczne to cztery jednakowe trójkąty o podstawie $a$ i wysokości $h_b$ :

$P_c = a^2 + 4 \cdot \frac{a \cdot h_b}{2} = a^2 + 2 a h_b$

Podstawa ostrosłupa z przykładu: kwadrat 6 × 6 cm — do tego dojdą 4 trójkątne ściany

Czworościan foremny

Czworościan foremny o krawędzi $a$ ma cztery jednakowe trójkąty równoboczne. Pole trójkąta równobocznego znasz z działu o pierwiastkach:

$P_{\text{trójkąta}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

więc całe pole czworościanu foremnego to:

$P_c = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$

Siatka czworościanu: cztery jednakowe trójkąty

Trzy wzory i pytanie o to, co liczymy

1
Ostrosłup prawidłowy czworokątny: kwadrat podstawy i cztery trójkąty.
$P_c = a^2 + 2ah_b$
2
Ostrosłup prawidłowy trójkątny: pole podstawy i trzy jednakowe trójkąty boczne.
$P_c = P_p + 3 \cdot \frac{a \cdot h_b}{2}$
3
Czworościan foremny: cztery trójkąty równoboczne.
$P_c = a^2\sqrt{3}$
4
W zadaniach praktycznych czytaj uważnie, które ściany liczymy. Dach wieży to sam $P_b$ — podstawy nikt blachą nie kryje. Namiot bez podłogi — też samo $P_b$ .
$\text{dach, namiot} \to P_b$
Wskazówka
Zanim policzysz, sprawdź, czy podstawa w ogóle wchodzi do zadania.

Wszystkie kroki za Tobą!

Pole ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

1
Zadanie: ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 cm, a wysokość ściany bocznej 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.
$a = 6, \quad h_b = 5$
2
Krok pierwszy: pole podstawy. To kwadrat o boku 6.
$P_p = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$
3
Krok drugi: pole jednej ściany bocznej. Trójkąt o podstawie 6 i wysokości 5.
$\frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \text{ cm}^2$
4
Krok trzeci: pole boczne. Ściany są cztery i wszystkie jednakowe.
$P_b = 4 \cdot 15 = 60 \text{ cm}^2$
5
Krok czwarty: dodajemy JEDNĄ podstawę.
$P_c = 36 + 60 = 96 \text{ cm}^2$
6
Sprawdzenie wzorem skróconym: $a^2 + 2ah_b$ .
$36 + 2 \cdot 6 \cdot 5 = 36 + 60 = 96 \; \checkmark$
7
Pole powierzchni całkowitej wynosi 96 centymetrów kwadratowych.
$P_c = 96 \text{ cm}^2$
Wskazówka
Kolejność zawsze ta sama: podstawa, jedna ściana, wszystkie ściany, suma.

Wszystkie kroki za Tobą!

Piramida z płyt i czworościan ze szkła

1
Zadanie pierwsze: piramida pamiątkowa ma podstawę kwadratową o boku 10 cm i wysokość ściany bocznej 13 cm. Ile wynosi pole jej powierzchni całkowitej?
$a = 10, \quad h_b = 13$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Pole podstawy.
$P_p = 10^2 = 100 \text{ cm}^2$
3
Pole jednej ściany bocznej.
$\frac{10 \cdot 13}{2} = 65 \text{ cm}^2$
4
Pole boczne — cztery ściany — i pole całkowite.
$P_b = 4 \cdot 65 = 260, \quad P_c = 100 + 260 = 360 \text{ cm}^2$
5
Zadanie drugie: ozdoba w kształcie czworościanu foremnego ma krawędź 6 cm. Ile szkła potrzeba na wszystkie ściany? Przyjmij $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ .
$a = 6$
6
Pole czworościanu foremnego to $a^2\sqrt{3}$ .
$P_c = 6^2 \cdot \sqrt{3} = 36\sqrt{3} \text{ cm}^2$
7
Przybliżamy.
$36 \cdot 1{,}73 = 62{,}28 \approx 62{,}3 \text{ cm}^2$
8
Potrzeba około 62,3 cm kwadratowych szkła. Wynik dokładny zostawiamy jako $36\sqrt{3}$ — na egzaminie taka postać jest w pełni poprawna.
$P_c = 36\sqrt{3} \approx 62{,}3 \text{ cm}^2$
Wskazówka
Wynik z pierwiastkiem to pełnoprawna odpowiedź. Przybliżaj tylko wtedy, gdy zadanie o to prosi.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 4 cm i wysokość ściany bocznej 7 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej (w cm kwadratowych).

P_c = 4^2 + 4 \cdot \frac{4 \cdot 7}{2}

Pułapka! Zła wysokość we wzorze na pole ściany

Najczęstszy błąd egzaminacyjny w tym temacie: podstawienie wysokości ostrosłupa $H$ do wzoru na pole ściany bocznej zamiast wysokości ściany $h_b$ .

Zadanie podaje: $a = 6$ , wysokość ostrosłupa $H = 4$ , wysokość ściany bocznej $h_b = 5$ . Pole jednej ściany to $\frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ , a nie $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ . Ściana boczna jest nachylona — jej wysokość biegnie po ścianie, nie w pionie, i zawsze $h_b > H$ . Autorzy zadań celowo podają obie liczby.

Pułapka! Druga podstawa i zapomniana dwójka

Drugi błąd: dwie podstawy jak w graniastosłupie. Ostrosłup ma jedną podstawę — wzór to $P_p + P_b$ , nie $2P_p + P_b$ .

Trzeci błąd: zapominanie o dzieleniu przez 2 w polu trójkąta. Ściana boczna to trójkąt, więc $\frac{a \cdot h_b}{2}$ , a nie $a \cdot h_b$ .

Które ściany liczymy w zadaniu z treścią

Zanim podstawisz cokolwiek do wzoru, przeczytaj, o które ściany pyta zadanie:

Sytuacja z zadania	Co liczymy
„pomalowano wszystkie ściany”	$P_c = P_p + P_b$
„dach wieży”, „namiot bez podłogi”	samo $P_b$
„wyłożono płytkami dno”	samo $P_p$

Twoja kolej

Dach wieży ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 8 m i wysokości ściany bocznej 6 m. Ile metrów kwadratowych blachy potrzeba na pokrycie dachu (bez podstawy)?

P_b = 4 \cdot \frac{8 \cdot 6}{2}

Ściąga do zapamiętania

Pole powierzchni ostrosłupa — wzór i której wysokości używasz?

• $P_c = P_p + P_b$ — jedna podstawa, nie dwie jak w graniastosłupie
• Ściana boczna to trójkąt: $\frac{a \cdot h_b}{2}$ , gdzie $h_b$ jest wysokością ściany bocznej, a nie wysokością bryły $H$
• W ostrosłupie prawidłowym ściany są przystające: $P_b = n \cdot \frac{a h_b}{2}$
• Prawidłowy czworokątny: $P_c = a^2 + 2a h_b$ . Czworościan foremny: $P_c = a^2\sqrt{3}$
• Czytaj treść: dach albo namiot bez podłogi to samo $P_b$
• Wynik w jednostkach kwadratowych

Sprawdź się!

Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to:

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 8 cm i wysokość ściany bocznej 6 cm. Pole jego powierzchni całkowitej wynosi:

Do obliczenia pola ściany bocznej ostrosłupa potrzebna jest:

Pole powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi $a$ wynosi:

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy 10 cm i wysokość ściany bocznej 8 cm. Pole powierzchni bocznej wynosi:

W zadaniu podano: krawędź podstawy 6 cm, wysokość ostrosłupa 4 cm, wysokość ściany bocznej 5 cm. Pole jednej ściany bocznej wynosi:

Następny temat

Objętość ostrosłupa