Objętość graniastosłupa o dowolnej podstawie

około 15 minut

W tej lekcji1/21

Cześć! Ile ziemi trzeba wykopać, żeby powstał rów o przekroju trapezu? Ile wosku mieści sześciokątna świeca? Wzór na objętość graniastosłupa znasz od dawna — pole podstawy razy wysokość. W klasie ósmej zmienia się co innego: podstawy robią się ciekawsze. Trapez, trójkąt równoboczny z pierwiastkiem z trzech, sześciokąt foremny. Na egzaminie to jedne z najczęstszych zadań — i jedne z najbardziej opłacalnych, bo schemat jest zawsze ten sam.

Pole podstawy razy wysokość — zawsze

Objętość każdego graniastosłupa liczy jeden wzór:

$V = P_p \cdot H$

gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ — wysokość bryły (odległość między podstawami).

Ta sama zasada przy większych bryłach objętość 90 cm³

Skąd bierze się mnożenie — warstwa po warstwie

Dziesięć warstw po 36 kostek o krawędzi 1 cm objętość 360 cm³

1
Policz to na kostkach. Podstawa 6 na 6 cm to warstwa złożona z kostek o krawędzi 1 cm.
$P_p = 6 \cdot 6 = 36$
2
Kostek w jednej warstwie jest dokładnie tyle, ile wynosi pole podstawy — 36.
$36 \text{ kostek w warstwie}$
3
Bryła o wysokości 10 cm to dziesięć takich warstw ułożonych jedna na drugiej.
$H = 10 \Rightarrow 10 \text{ warstw}$
4
Mnożymy: liczba kostek w warstwie razy liczba warstw.
$36 \cdot 10 = 360 \text{ cm}^3$
5
Pole podstawy mówi, ile kostek mieści jedna warstwa, a wysokość — ile jest warstw. Stąd bierze się mnożenie we wzorze.
$V = P_p \cdot H$
Wskazówka
Warstwa razy liczba warstw — cały wzór na objętość mieści się w tym jednym zdaniu.

Wszystkie kroki za Tobą!

Stare wzory to szczególny przypadek nowego

Dla prostopadłościanu o wymiarach $a$ , $b$ , $c$ wzór przechodzi w znane $V = abc$ , a dla sześcianu w $V = a^3$ . Nowy wzór niczego nie unieważnia — uogólnia stare na dowolną podstawę:

prostokąt

trójkąt

trapez

sześciokąt

Podstawą graniastosłupa może być każdy z tych wielokątów

Podstawa	$P_p$	Objętość
prostokąt $a \times b$	$ab$	$abH$
trójkąt o boku $a$ i wysokości $h$	$\frac{ah}{2}$	$\frac{ah}{2} \cdot H$
trapez o podstawach $a$ , $b$ i wysokości $h$	$\frac{(a+b)h}{2}$	$\frac{(a+b)h}{2} \cdot H$
trójkąt równoboczny o boku $a$	$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$	$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$
sześciokąt foremny o boku $a$	$6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$	$6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$

Jednostka objętości jest sześcienna

Centymetry sześcienne, metry sześcienne. To najszybsza kontrola — wynik pola ma jednostkę kwadratową, wynik objętości sześcienną.

Zadanie odwrotne: dzielimy zamiast mnożyć

Zadanie odwrotne. Egzamin lubi odwracać pytanie: podaje objętość i każe znaleźć wysokość albo pole podstawy. Wtedy dzielisz:

$H = \frac{V}{P_p}$ oraz $P_p = \frac{V}{H}$

Przykład: bryła o objętości 240 cm sześciennych i polu podstawy 30 cm kwadratowych ma wysokość $240 : 30 = 8$ cm.

Podstawy z pierwiastkiem — nowość klasy ósmej

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym podstawą jest trójkąt równoboczny, więc:

$V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$

Podstawa graniastosłupa prawidłowego trójkątnego: trójkąt równoboczny o boku a

Graniastosłup prawidłowy trójkątny — rachunek z pierwiastkiem

1
Dane: krawędź podstawy 4 cm, wysokość bryły 9 cm.
$a = 4, \quad H = 9$
2
Pole trójkąta równobocznego o boku 4 cm.
$P_p = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ cm}^2$
3
Objętość: pole podstawy razy wysokość bryły.
$V = 4\sqrt{3} \cdot 9 = 36\sqrt{3} \text{ cm}^3$
4
Przybliżenie liczymy tylko wtedy, gdy zadanie o nie prosi — z wartości pierwiastka około 1,73.
$36\sqrt{3} \approx 36 \cdot 1{,}73 = 62{,}3 \text{ cm}^3$

Wszystkie kroki za Tobą!

Wynik z pierwiastkiem zostaw w postaci dokładnej

Wynik z pierwiastkiem to dokładna odpowiedź — zostaw go w tej postaci, chyba że zadanie każe podać przybliżenie.

Sześciokąt foremny to sześć trójkątów równobocznych

Sześciokąt foremny rozpada się na sześć trójkątów równobocznych, więc jego pole to $6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ .

Sześciokąt foremny: sześć równych boków, sześć równych trójkątów

Uwaga na jednostki w jednym zadaniu

Zanim cokolwiek pomnożysz, sprawdź, czy wszystkie wymiary są w tej samej jednostce. Dno w centymetrach i wysokość w metrach to przepis na wynik bez sensu — najpierw ujednolić, potem liczyć.

Rów o przekroju trapezu — klasyk egzaminacyjny

Przekrój rowu: trapez o podstawach 3 m i 1 m, głębokość 1,5 m

1
Zadanie: rów melioracyjny ma przekrój w kształcie trapezu o szerokości 3 m u góry i 1 m przy dnie oraz głębokości 1,5 m. Długość rowu to 20 m. Ile metrów sześciennych ziemi wykopano?
$a = 3, \quad b = 1, \quad h = 1{,}5, \quad H = 20$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy: rozpoznajemy bryłę. Rów to graniastosłup leżący na boku — podstawą jest trapezowy przekrój, a wysokością bryły długość rowu.
$V = P_p \cdot H$
3
Krok drugi: pole trapezu. Suma podstaw razy wysokość przez dwa.
$P_p = \frac{(3 + 1) \cdot 1{,}5}{2}$
4
Liczymy: cztery razy półtora to sześć, przez dwa — trzy.
$P_p = \frac{6}{2} = 3 \text{ m}^2$
5
Krok trzeci: objętość — pole przekroju razy długość rowu.
$V = 3 \cdot 20 = 60 \text{ m}^3$
6
Kontrola jednostek: metry kwadratowe razy metry dają metry sześcienne. Zgadza się.
$\text{m}^2 \cdot \text{m} = \text{m}^3 \; \checkmark$
7
Kontrola sensu: 60 m sześciennych to ładunek około dziesięciu wywrotek. Dla rowu długości 20 m — wiarygodne.
$\text{Odp.: } 60 \text{ m}^3$
Wskazówka
Podstawa nie musi leżeć na dole! Tu podstawą jest pionowy przekrój rowu, a wysokością — jego długość.

Wszystkie kroki za Tobą!

Świeca w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego

1
Zadanie: świeca ma kształt graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 10 cm. Oblicz objętość wosku. Podaj wynik dokładny i przybliżony.
$a = 2, \quad H = 10$
2
Podstawa to sześciokąt foremny — sześć trójkątów równobocznych o boku 2 cm.
$P_p = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
3
Pole jednego trójkąta równobocznego.
$\frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \text{ cm}^2$
4
Pole całego sześciokąta: sześć takich trójkątów.
$P_p = 6\sqrt{3} \text{ cm}^2$
5
Objętość: pole podstawy razy wysokość.
$V = 6\sqrt{3} \cdot 10 = 60\sqrt{3} \text{ cm}^3$
6
Wynik dokładny to 60 pierwiastków z trzech. Przybliżenie liczymy z wartości pierwiastka około 1,73.
$60\sqrt{3} \approx 60 \cdot 1{,}73 = 103{,}8 \text{ cm}^3$
7
Kontrola sensu: nieco ponad 100 cm sześciennych, czyli jak mała szklanka — dla świecy wysokości 10 cm to rozsądny wynik.
$\text{Odp.: } 60\sqrt{3} \approx 103{,}8 \text{ cm}^3$
Wskazówka
Zostaw pierwiastek w wyniku dokładnym. Zaokrąglaj dopiero na samym końcu — i tylko gdy zadanie o to prosi.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Graniastosłup ma objętość 180 cm³ i pole podstawy 20 cm². Oblicz jego wysokość (w centymetrach).

H = \frac{V}{P_p} = \frac{180}{20}

Pułapka! Obwód podstawy zamiast pola

Błąd pierwszy — obwód podstawy zamiast pola. Wzory na pole boczne i objętość wyglądają bliźniaczo: obwód razy $H$ kontra pole razy $H$ . Jednostka natychmiast zdradza pomyłkę: objętość musi być sześcienna, a rachunek z obwodem daje wynik kwadratowy.

Pułapka! Zgubione pół w polu trójkąta

Błąd drugi — zgubione pół w polu trójkąta. Zapomniane dzielenie przez 2 podwaja cały wynik objętości, bo pole podstawy wchodzi do rachunku jako czynnik.

Pułapka! Różne jednostki w jednym rachunku

Błąd trzeci — różne jednostki w jednym rachunku. Dno akwarium podane w centymetrach, wysokość w metrach? Najpierw zamień wszystko na jedną jednostkę, dopiero potem mnóż.

Pułapka! Dwie różne wysokości w jednym zadaniu

Błąd czwarty — mylenie dwóch wysokości. W podstawie trójkątnej albo trapezowej występuje wysokość figury $h$ (do pola podstawy) i wysokość bryły $H$ (do mnożenia na końcu). To różne odcinki — w zadaniu z rowem $h = 1{,}5$ m, a $H = 20$ m.

Te same pomyłki pokazane na liczbach

1
Kwadratowa podstawa o boku 6 cm, wysokość bryły 10 cm. Poprawnie: pole podstawy razy wysokość.
$V = 6^2 \cdot 10 = 36 \cdot 10 = 360 \text{ cm}^3$
2
Kto weźmie obwód zamiast pola, policzy pole boczne w centymetrach kwadratowych, a nie objętość.
$4 \cdot 6 \cdot 10 = 24 \cdot 10 = 240 \text{ cm}^2$
3
Podstawa trójkątna o boku 6 i wysokości 4 ma pole 12, nie 24.
$P_p = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12 \text{ cm}^2$
4
Wymiary 40 cm, 30 cm i 0,5 m najpierw sprowadzamy do jednej jednostki.
$0{,}5 \text{ m} = 50 \text{ cm}$
5
Dopiero teraz mnożymy — rachunek na wymieszanych jednostkach dałby wynik sto razy za mały.
$40 \cdot 30 \cdot 50 = 60\,000 \text{ cm}^3$
Wskazówka
Zamiana jednostek to pierwszy krok rozwiązania, a nie poprawka na końcu.

Wszystkie kroki za Tobą!

Cztery pomyłki i sposób na ich wykrycie

Każdą z tych czterech pomyłek da się złapać jeszcze przed zapisaniem odpowiedzi.

Pomyłka	Skutek	Jak wykryć
obwód zamiast pola	wychodzi pole boczne	jednostka kwadratowa zamiast sześciennej
brak $\frac{1}{2}$ w trójkącie	wynik 2 razy za duży	porównaj z prostokątem o tych bokach
cm wymieszane z m	wynik absurdalnie mały lub wielki	kontrola sensu liczby
$h$ zamiast $H$	złe oba czynniki	oznaczaj wysokości różnymi literami

Ściąga do zapamiętania

Objętość graniastosłupa — wzór, pola podstaw i zadanie odwrotne?

• $V = P_p \cdot H$ , czyli pole podstawy razy wysokość bryły — działa dla każdego graniastosłupa
• Prostopadłościan: $V = abc$ ; sześcian: $V = a^3$
• Pola podstaw: trójkąt $\frac{ah}{2}$ (nie zgub połowy!), trapez $\frac{(a+b)h}{2}$ , trójkąt równoboczny $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ , a sześciokąt foremny to sześć takich trójkątów
• Zadanie odwrotne: $H = \frac{V}{P_p}$
• $h$ figury w podstawie to co innego niż $H$ bryły; przed mnożeniem ujednolić jednostki
• Wynik zawsze w jednostkach sześciennych; wynik z pierwiastkiem zostaw dokładny, zaokrąglaj na końcu

Sprawdź się!

Podstawa graniastosłupa ma pole 15 cm², a wysokość bryły to 6 cm. Objętość wynosi:

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 4 cm i wysokość 7 cm. Jego objętość to:

Akwarium w kształcie prostopadłościanu ma wymiary dna 40 cm i 25 cm oraz wysokość 30 cm. Ile litrów wody zmieści maksymalnie?

Objętość graniastosłupa wynosi 240 cm³, a pole podstawy 30 cm². Wysokość bryły to:

Podstawą graniastosłupa o wysokości 10 cm jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 cm i 12 cm. Objętość bryły wynosi:

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 4 cm i wysokości 9 cm wynosi:

Uczeń policzył objętość graniastosłupa o podstawie kwadratu o boku 6 cm i wysokości 10 cm: $4 \cdot 6 \cdot 10 = 240$ . Co poszło nie tak?

Następny temat

Jednostki objętości