Bilans cieplny

1. 1

   Zadanie: do naczynia izolowanego wlewamy 2 kg wody o temperaturze 60°C i 1 kg wody o temperaturze 30°C. Jaka będzie temperatura po wymieszaniu? Zaczynamy od wypisania danych.

   $$m_1 = 2\ \text{kg}, \quad T_1 = 60\ ^{\circ}\text{C}, \quad m_2 = 1\ \text{kg}, \quad T_2 = 30\ ^{\circ}\text{C}$$
2. 2

   Rozstrzygamy, kto komu oddaje energię. Cieplejsza jest porcja pierwsza (60°C), więc to ona stygnie i oddaje ciepło, a porcja druga (30°C) je pobiera. Szukana temperatura końcowa $T_k$ musi wypaść gdzieś między 30 a 60 stopni.

   $$Q_{\text{oddane}} = Q_{\text{pobrane}}$$
3. 3

   Podstawiamy wzór na ciepło pod obie strony. Porcja gorąca stygnie z 60 do $T_k$, więc jej zmiana temperatury to $60 - T_k$. Porcja zimna ogrzewa się z 30 do $T_k$, czyli o $T_k - 30$.

   $$c \cdot 2 \cdot (60 - T_k) = c \cdot 1 \cdot (T_k - 30)$$
4. 4

   Po obu stronach stoi to samo ciepło właściwe wody — mieszamy przecież wodę z wodą. Możemy je skreślić i nie potrzebujemy nawet wiedzieć, że wynosi 4200. Zostaje czysta arytmetyka.

   $$2 \cdot (60 - T_k) = T_k - 30$$
5. 5

   Rozwijamy nawias po lewej stronie: dwa razy 60 to 120, dwa razy $T_k$ to $2T_k$.

   $$120 - 2T_k = T_k - 30$$
6. 6

   Porządkujemy równanie: wszystkie $T_k$ przenosimy na jedną stronę, liczby na drugą. Do obu stron dodajemy $2T_k$ oraz 30. Po lewej zostaje 150, po prawej trzy razy $T_k$.

   $$150 = 3 T_k$$
7. 7

   Dzielimy obie strony przez 3 i mamy odpowiedź: temperatura końcowa mieszaniny to 50°C. Leży między 30 a 60 — zdrowy rozsądek zadowolony.

   $$T_k = 50\ ^{\circ}\text{C}$$
8. 8

   Na koniec sprawdzenie, bo bilans daje je za darmo. Woda gorąca ostygła o 10 stopni, więc oddała $4200 \cdot 2 \cdot 10 = 84000$ J. Woda zimna ogrzała się o 20 stopni, więc pobrała $4200 \cdot 1 \cdot 20 = 84000$ J. Tyle samo — bilans się zgadza.

   $$84000\ \text{J} = 84000\ \text{J}$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Skąd ta rozbieżność? Sprawdźmy uczciwie, co by się stało przy 45 stopniach. Gorąca porcja (2 kg) ostygłaby wtedy o 15 stopni, a zimna (1 kg) ogrzała o 15 stopni.

   $$\Delta T_1 = 60 - 45 = 15\ ^{\circ}\text{C}, \quad \Delta T_2 = 45 - 30 = 15\ ^{\circ}\text{C}$$
2. 2

   Liczymy ciepło oddane przez porcję gorącą: dwa kilogramy stygnące z 60 do 45 stopni.

   $$Q_{\text{oddane}} = 4200 \cdot 2 \cdot 15 = 126000\ \text{J}$$
3. 3

   I ciepło pobrane przez porcję zimną: jeden kilogram ogrzewający się z 30 do 45 stopni. Masa dwa razy mniejsza, więc i ciepła dwa razy mniej.

   $$Q_{\text{pobrane}} = 4200 \cdot 1 \cdot 15 = 63000\ \text{J}$$
4. 4

   Bilans się nie zgadza: gorąca woda oddałaby 126000 J, a zimna przyjęłaby tylko 63000 J. Gdzie miałaby się podziać różnica 63000 J? Nigdzie — układ jest izolowany, energia nie może wyparować.

   $$126000\ \text{J} \neq 63000\ \text{J}$$
5. 5

   Znaczy to, że 45°C nie jest stanem, w którym wymiana się kończy. Zimna woda musi przyjąć całą oddaną energię, a że jest jej mało, ogrzeje się przy tym mocniej — aż do 50°C.

   $$T_k = 50\ ^{\circ}\text{C}$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Cały nasz rachunek opiera się na założeniu, że nic nie ucieka na zewnątrz. W szkolnej pracowni takie warunki robi kalorymetr — naczynie w naczyniu, między nimi warstwa izolacji, do tego pokrywka i termometr wetknięty w otwór. Zwykły termos to jego domowa wersja.

   $$\text{układ izolowany} \rightarrow Q_{\text{oddane}} = Q_{\text{pobrane}}$$
2. 2

   Robimy doświadczenie. Do kalorymetru wlewamy 2 kg wody o 80°C i 2 kg wody o 20°C. Masy są równe, substancja ta sama, więc tym razem średnia jest legalna: przewidujemy 50°C.

   $$T_k = \frac{80 + 20}{2} = 50\ ^{\circ}\text{C}$$
3. 3

   Ile energii ma przepłynąć? Gorąca woda stygnie o 30 stopni, więc oddaje $4200 \cdot 2 \cdot 30$ dżuli. Zimna ogrzewa się o 30 stopni i pobiera dokładnie tyle samo. Na papierze wszystko gra.

   $$Q = 4200 \cdot 2 \cdot 30 = 252000\ \text{J}$$
4. 4

   Mieszamy, czekamy, patrzymy na termometr — i widzimy 48°C. Nie 50. Czy zasada zachowania energii się pomyliła? Nie. To my policzyliśmy zbyt optymistycznie, bo udawaliśmy, że w naczyniu jest tylko woda.

   $$T_{\text{zmierzona}} = 48\ ^{\circ}\text{C}$$
5. 5

   Zobacz, co się stało naprawdę: gorąca woda ostygła o 32 stopnie, oddając $4200 \cdot 2 \cdot 32 = 268800$ J, a zimna ogrzała się tylko o 28 stopni, przyjmując $4200 \cdot 2 \cdot 28 = 235200$ J. Różnica to 33600 J i ona nie zginęła.

   $$268800 - 235200 = 33600\ \text{J}$$
6. 6

   Te 33600 J poszło na ogrzanie samego naczynia, pokrywki i termometru, a trochę uciekło do powietrza — przez izolację, która nigdy nie jest doskonała. Bilans nadal się zgadza co do dżula, tylko po stronie pobierającej trzeba dopisać jeszcze naczynie i otoczenie.

   $$Q_{\text{oddane}} = Q_{\text{wody}} + Q_{\text{naczynia}} + Q_{\text{otoczenia}}$$
7. 7

   Stąd praktyczny wniosek: im lepiej izolowane naczynie, tym bliżej przewidywań ląduje pomiar. W zadaniach szkolnych zwykle czytasz zastrzeżenie, że pomijamy ciepło pobrane przez naczynie — to nie jest oszustwo, tylko uczciwe przyznanie, że model odrobinę upraszcza rzeczywistość.

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.