Zadania tekstowe — ruch, wiek i wspólna praca

1. 1

   W chwili spotkania drogi obu rowerzystów razem pokrywają całą odległość między miastami.

   $$12t + 18t = 90$$
2. 2

   Redukujemy wyrazy podobne, a potem dzielimy obie strony przez 30.

   $$30t = 90 \;\Rightarrow\; t = 3$$
3. 3

   Spotkają się po 3 godzinach. Sprawdzenie: pierwszy przejedzie 36 km, drugi 54 km. Zgadza się.

   $$36 + 54 = 90 \; \checkmark$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: tata ma 40 lat, a syn 10. Za ile lat tata będzie dwa razy starszy od syna?

   $$40 \text{ lat}, \quad 10 \text{ lat}$$
2. 2

   Za $x$ lat tata ma $40 + x$ lat, a syn $10 + x$ — obaj się starzeją o tyle samo.

   $$40 + x, \quad 10 + x$$
3. 3

   Zapisujemy warunek zadania: wiek taty ma być dwa razy większy od wieku syna.

   $$40 + x = 2(10 + x)$$
4. 4

   Opuszczamy nawias i porządkujemy równanie.

   $$40 + x = 20 + 2x \;\Rightarrow\; x = 20$$
5. 5

   Sprawdzenie: za 20 lat tata ma 60, syn 30 — dokładnie dwa razy mniej.

   $$60 = 2 \cdot 30 \; \checkmark$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Dodajemy wydajności: tyle płotu powstaje w ciągu jednej godziny wspólnej pracy.

   $$\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
2. 2

   Skoro w godzinę powstaje połowa płotu, to cały płot zajmie im 2 godziny.

   $$t = 2 \text{ h}$$
3. 3

   Ogólnie: jeśli wspólna praca trwa $t$ godzin, równanie brzmi „część zrobiona razem = 1 całość”.

   $$t \cdot \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \right) = 1$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   „Wyjechali jednocześnie z tego samego miasta w przeciwnych kierunkach…” — odległość rośnie z sumą prędkości, to ten sam schemat co ruch naprzeciw.

   $$s_1 + s_2 = \text{odległość}$$
2. 2

   „Pierwsza rura napełnia basen w… druga w… Ile czasu zajmie napełnianie obiema rurami?”

   $$t \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = 1$$
3. 3

   „Za ile lat ojciec będzie dwa razy starszy od syna?”

   $$a + x = 2(b + x)$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: z miasta wyjeżdża pociąg osobowy z prędkością 60 km/h. Godzinę później rusza za nim ekspres z prędkością 90 km/h. Po ilu godzinach jazdy ekspres dogoni osobowy?

   $$v_1 = 60, \quad v_2 = 90$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A1 hB2 hC3 h

2. 2

   Oznaczamy niewiadomą: $t$ to czas jazdy EKSPRESU do chwili dogonienia (o niego pyta zadanie).

   $$t = \text{czas jazdy ekspresu [h]}$$
3. 3

   Osobowy jedzie o godzinę dłużej — wystartował wcześniej.

   $$\text{czas osobowego: } t + 1$$
4. 4

   Zapisujemy drogi obu pociągów.

   $$s_{\text{eksp}} = 90t, \quad s_{\text{osob}} = 60(t+1)$$
5. 5

   W chwili dogonienia drogi są RÓWNE — oba pociągi są w tym samym miejscu tej samej trasy.

   $$90t = 60(t+1)$$
6. 6

   Opuszczamy nawias.

   $$90t = 60t + 60$$
7. 7

   Porządkujemy i dzielimy.

   $$30t = 60 \;\Rightarrow\; t = 2$$
8. 8

   Sprawdzenie: ekspres w 2 godziny przejedzie 180 km.

   $$90 \cdot 2 = 180$$
9. 9

   Osobowy jedzie wtedy już 3 godziny: także 180 km. Rzeczywiście się spotkali.

   $$60 \cdot 3 = 180 \; \checkmark$$
10. 10

    Odpowiedź: ekspres dogoni osobowy po 2 godzinach jazdy.

    $$t = 2 \text{ h}$$

Wszystkie 10 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: pierwsza rura napełnia basen w 6 godzin, druga w 12 godzin. W ile godzin napełnią basen obie rury naraz?

   $$6 \text{ h}, \quad 12 \text{ h}$$
2. 2

   Wyznaczamy wydajności: jaką część basenu napełnia każda rura w godzinę?

   $$\frac{1}{6}, \quad \frac{1}{12}$$
3. 3

   Oznaczamy niewiadomą: $t$ to czas wspólnego napełniania.

   $$t = \text{czas wspolnej pracy [h]}$$
4. 4

   Równanie: przez $t$ godzin obie rury razem napełniają 1 cały basen.

   $$t \cdot \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{12} \right) = 1$$
5. 5

   Dodajemy wydajności — wspólny mianownik 12.

   $$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$
6. 6

   Równanie robi się jednolinijkowe.

   $$t \cdot \frac{1}{4} = 1$$
7. 7

   Mnożymy obie strony przez 4.

   $$t = 4 \text{ h}$$
8. 8

   Sprawdzenie: w 4 godziny pierwsza rura napełni $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ basenu, druga $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

   $$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 \; \checkmark$$
9. 9

   Test sensowności: 4 h to mniej niż 6 h najszybszej rury — tak ma być.

   $$4 < 6$$

Wszystkie 9 kroków odsłonięte.