Pierścień kołowy i figury złożone z kół

około 15 minut

W tej lekcji1/16

Cześć! Spójrz na pączek z dziurką, płytę CD albo bieżnię wokół boiska. Żadna z tych figur nie jest zwykłym kołem — a każdą da się rozłożyć na koła, półkola i prostokąty. Dziś nauczysz się liczyć pola i obwody takich składanek. To ulubiony typ zadań na egzaminie ósmoklasisty, bo sprawdza dwa wzory naraz. Dobra wiadomość: nie ma tu żadnego nowego wzoru — jest tylko sprytne dodawanie i odejmowanie tego, co już znasz.

Pierścień kołowy — koło z wyciętym środkiem

Pierścień kołowy to obszar między dwoma okręgami o wspólnym środku: większym o promieniu $R$ i mniejszym o promieniu $r$ . Tak wygląda podkładka pod śrubę, płyta CD albo tarcza do rzutek bez środka.

Pole pierścienia to różnica pól obu kół:

$P = \pi R^2 - \pi r^2$

Po wyłączeniu pi przed nawias wzór robi się jeszcze wygodniejszy:

$P = \pi (R^2 - r^2)$

Zewnętrzne koło pierścienia — ze środka wycinamy koło o promieniu r = 4 cm pole ≈ 113,1 cm²

Pierścienie o różnych promieniach

1
Zacznijmy od przykładu z rysunku obok: $R = 6$ cm i $r = 4$ cm. Najpierw kwadraty promieni, dopiero potem odejmowanie.
$P = \pi (36 - 16) = 20\pi \approx 62{,}8 \text{ cm kw.}$
2
Węższy pierścień o promieniach 5 cm i 3 cm.
$P = \pi (25 - 9) = 16\pi$
3
Szeroki pierścień o promieniach 10 cm i 6 cm — widać, jak szybko rośnie pole, bo rosną kwadraty.
$P = \pi (100 - 36) = 64\pi$

Wszystkie kroki za Tobą!

Najważniejsze ostrzeżenie tej lekcji

Odejmujemy kwadraty promieni, a nie promienie! Wzór $\pi (R - r)^2$ jest błędny — dla $R = 6$ i $r = 4$ dałby $\pi \cdot 4 = 4\pi$ zamiast $20\pi$ , czyli pięć razy za mało. Kwadrat różnicy to nie różnica kwadratów.

Figury złożone — rozkładaj na znane kawałki

Figury złożone wyglądają groźnie, ale rozwiązuje się je zawsze tym samym trzykrokowym planem:

Kawałki, których pola umiesz już policzyć

Dwa najczęstsze schematy egzaminacyjne

Prostokąt z dołożonymi półkolami — np. boisko z bieżnią, brama, okno. Dwa półkola o tym samym promieniu to razem jedno pełne koło, więc zamiast liczyć połówki osobno, liczysz jedno pole koła.

Figura z wyciętym kołem — np. kwadratowa blacha z okrągłym otworem. Pole = pole kwadratu minus pole koła.

Do obwodu wchodzi tylko prawdziwy brzeg

Z obwodem figury złożonej jest subtelniej: do obwodu wchodzą tylko linie będące brzegiem figury. Tam, gdzie półkole przylega do prostokąta, bok prostokąta znika we wnętrzu figury i nie liczy się do obwodu. Za to łuk półkola — tak.

Element figury	Czy wchodzi do obwodu?
łuk dołożonego półkola	tak
bok, do którego przyklejono półkole	nie — jest w środku
brzeg wyciętego otworu	tak — to też brzeg figury

Pole metalowej podkładki

1
Zadanie: metalowa podkładka ma kształt pierścienia o promieniu zewnętrznym 5 cm i promieniu wewnętrznym 3 cm. Oblicz jej pole — dokładnie i w przybliżeniu.
$R = 5 \text{ cm}, \quad r = 3 \text{ cm}$
2
Plan: od pola dużego koła odejmiemy pole otworu.
$P = \pi R^2 - \pi r^2$
3
Pole dużego koła.
$\pi \cdot 5^2 = 25\pi$
4
Pole otworu.
$\pi \cdot 3^2 = 9\pi$
5
Odejmujemy. Pi występuje w obu składnikach, więc odejmują się same liczby.
$25\pi - 9\pi = 16\pi \text{ cm}^2$
6
Wersja przybliżona.
$16 \cdot 3{,}14 = 50{,}24 \text{ cm}^2$
7
Kontrola sensu: pole pierścienia musi być mniejsze od pola dużego koła ( $25\pi$ ) i większe od zera. $16\pi$ pasuje. Gdyby ktoś użył błędnego wzoru $\pi(R-r)^2$ , dostałby $4\pi$ — cztery razy mniej niż poprawny wynik.
$\pi(5-3)^2 = 4\pi \ne 16\pi$
Wskazówka
25 minus 9 to 16, ale (5 minus 3) do kwadratu to 4. Różnica kwadratów to nie kwadrat różnicy!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Pierścień ma promień zewnętrzny 10 cm i wewnętrzny 8 cm. Podaj jego DOKŁADNE pole — wynik ma postać liczby pomnożonej przez pi, wpisz samą tę liczbę.

P = \pi \cdot 10^2 - \pi \cdot 8^2

Boisko z bieżnią — pole i jedno okrążenie

Prostokąt terenu — do lewego i prawego boku (40 m) dokładamy półkola o promieniu 20 m

1
Zadanie: teren rekreacyjny składa się z prostokąta o wymiarach 60 m na 40 m oraz dwóch półkoli dobudowanych do krótszych boków. Oblicz pole terenu i długość jednego okrążenia wzdłuż jego brzegu. Przyjmij $\pi \approx 3{,}14$ .
$60 \text{ m} \times 40 \text{ m}$
2
Rysunek obok pokazuje sam prostokąt — półkola dorysuj sobie do jego krótszych boków. Stoją one na bokach długości 40 m, więc średnica każdego półkola to 40 m, a promień — 20 m.
$d = 40 \Rightarrow r = 20$
3
Pole prostokąta.
$60 \cdot 40 = 2400 \text{ m}^2$
4
Dwa półkola o tym samym promieniu to razem jedno pełne koło.
$P_{\text{koła}} = 3{,}14 \cdot 20^2 = 1256 \text{ m}^2$
5
Pole całego terenu: suma.
$2400 + 1256 = 3656 \text{ m}^2$
6
Teraz okrążenie. Uwaga: krótsze boki prostokąta są WEWNĄTRZ figury — brzegiem są tylko dwa długie boki i dwa łuki, które razem dają pełny okrąg.
$2 \cdot 60 + 2\pi \cdot 20$
7
Liczymy.
$120 + 125{,}6 = 245{,}6 \text{ m}$
8
Odpowiedź: pole 3656 m kwadratowych, okrążenie 245,6 m. Częsty błąd to doliczenie do obwodu boków 40 m — ale one zniknęły pod półkolami.
$245{,}6 \text{ m}$
Wskazówka
Obwód to tylko to, po czym naprawdę można przebiec dookoła. Boki schowane w środku nie istnieją dla biegacza.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Brama ma kształt prostokąta o wymiarach 4 m (szerokość) na 3 m (wysokość), zwieńczonego półkolem o średnicy 4 m. Jakie jest pole bramy przy $\pi \approx 3{,}14$ ?

P = 4 \cdot 3 + \frac{3{,}14 \cdot 2^2}{2}

Pułapka! Trzy błędy, które psują zadania złożone

Błąd pierwszy: $\pi (R - r)^2$ zamiast $\pi (R^2 - r^2)$ .

Dla $R = 10$ i $r = 6$ : poprawnie $\pi(100 - 36) = 64\pi$ , błędnie $\pi \cdot 16 = 16\pi$ — cztery razy za mało. Kwadrat różnicy i różnica kwadratów to różne liczby. Sprawdzaj na prostym przykładzie: $10^2 - 6^2 = 64$ , ale $(10-6)^2 = 16$ .

Zapomniana połówka przy półkolu

Błąd drugi: zapomniana połówka przy półkolu.

Pole półkola to $\frac{\pi r^2}{2}$ . W ferworze rachunków dwójka z mianownika lubi znikać i pole okna albo bramy wychodzi dwa razy za duże. Nawyk ochronny: policz najpierw całe koło, a dopiero na końcu podziel przez 2 — osobny, widoczny krok trudniej zgubić.

Obwód liczony „ze wszystkiego”

Błąd trzeci: obwód figury złożonej liczony „ze wszystkiego”.

Sytuacja	Częsty błąd	Poprawnie
półkole doklejone do boku	bok liczony do obwodu	bok znika, liczy się łuk
otwór wycięty w środku	brzeg otworu pominięty	brzeg otworu też jest obwodem
dwa półkola na końcach	liczone jako dwa okręgi	razem to JEDEN okrąg

„Półkole na boku 40” to średnica, nie promień

I jeszcze jedna rzecz, o którą łatwo się potknąć: półkole „na boku długości 40” ma średnicę 40, a nie promień. Zanim cokolwiek policzysz, zapisz $d = 40$ , $r = 20$ .

Ściąga do zapamiętania

Pierścień kołowy i figury złożone z kół — jak liczyć pole i obwód?

• Pierścień: $P = \pi(R^2 - r^2)$ — odejmujesz kwadraty promieni, nie promienie: dla $R = 6$ i $r = 4$ jest $36 - 16 = 20$ , a nie $2^2 = 4$
• Figura złożona: rozłóż na prostokąty, koła i półkola, policz osobno — dołożone dodaj, wycięte odejmij
• Dwa półkola o tym samym $r$ dają jedno całe koło
• Półkole: licz pole całego koła, a dziel przez $2$ dopiero na końcu
• Obwód to tylko prawdziwy brzeg: boki pod dołożonymi półkolami znikają, brzeg wyciętej dziury się dolicza
• „Półkole na boku $40$ ” znaczy $d = 40$ , czyli $r = 20$

Sprawdź się!

Pierścień kołowy ma promień zewnętrzny 7 cm i wewnętrzny 5 cm. Jakie jest jego DOKŁADNE pole?

Który wzór poprawnie opisuje pole pierścienia o promieniach $R$ (zewnętrzny) i $r$ (wewnętrzny)?

Jakie jest pole półkola o promieniu 4 cm (przyjmij $\pi \approx 3{,}14$ )?

Bieżnia składa się z prostokąta 50 m na 20 m i dwóch półkoli na krótszych bokach. Jaką długość ma jedno okrążenie po brzegu (przy $\pi \approx 3{,}14$ )?

Figura składa się z kwadratu o boku 4 i półkola zbudowanego na jednym z boków. Jakie jest jej DOKŁADNE pole?

Z koła o promieniu 10 cm wycięto współśrodkowe koło o promieniu 6 cm. Jakie pole ma powstały pierścień (przy $\pi \approx 3{,}14$ )?

Następny temat

Koło i okrąg w zadaniach egzaminacyjnych