Symetria osiowa

około 12 minut

W tej lekcji1/17

Cześć! Zauważ, że na masce karetki napis AMBULANS jest napisany „na odwrót”. Dlaczego? Bo kierowca przed karetką widzi go we wstecznym lusterku — a lustro odbija. Skrzydła motyla, odbicie gór w jeziorze, twoja twarz w lustrze — wszędzie działa ta sama matematyczna maszyna: symetria osiowa. Dziś rozbierzemy ją na części.

Punkty symetryczne względem prostej

Prostą, względem której odbijamy, nazywamy osią symetrii i zwykle oznaczamy literą $k$ .

Odbicie względem osi x — ta sama odległość po drugiej stronie

Punkty $A$ i $A'$ są symetryczne względem prostej $k$ , gdy spełnione są dwa warunki naraz:

- odcinek $AA'$ jest prostopadły do prostej $k$ ,
- oba punkty leżą w tej samej odległości od prostej $k$ , po jej przeciwnych stronach.

Innymi słowy: prosta $k$ jest symetralną odcinka $AA'$ — przecina go w połowie i pod kątem prostym.

Jak wyznaczyć obraz punktu $A$

1
Poprowadź z punktu $A$ prostą prostopadłą do osi $k$ .
$AA' \perp k$
2
Zmierz odległość od punktu $A$ do osi.
$d = d(A, k)$
3
Odłóż taką samą odległość po drugiej stronie osi — tam leży $A'$ .
$d(A', k) = d$
4
Na kratkowanej kartce to banalnie proste: jeśli $A$ leży 3 kratki na lewo od pionowej osi, to $A'$ leży 3 kratki na prawo, na tej samej wysokości.
$A = (-3;\ 2) \;\longrightarrow\; A' = (3;\ 2)$

Wszystkie kroki za Tobą!

Przypadek szczególny: punkt na osi

Punkt leżący na osi jest obrazem samego siebie. Ma odległość zero od osi po obu stronach, więc nie ma dokąd się przenieść. Takie punkty nazywamy punktami stałymi symetrii.

Oś k to pionowa oś układu: C leży na niej i zostaje w miejscu, a A i A' dzieli podwojona odległość od osi

Z warunku równych odległości wynika ważny wniosek do zadań:

$|AA'| = 2 \cdot d$

gdzie $d$ to odległość punktu $A$ od osi. Punkt i jego obraz dzieli dystans dwa razy większy niż punkt i oś.

Co symetria osiowa zachowuje

Żeby odbić całą figurę, odbijamy każdy jej wierzchołek i łączymy obrazy w tej samej kolejności. Wielokąt zawsze wystarczy odbić po wierzchołkach.

Co symetria osiowa zmienia

Symetria osiowa zmienia położenie figury — poza punktami leżącymi na osi — oraz jej orientację. To drugie jest naprawdę ciekawe.

Orientacja to „kierunek obiegu” figury. Po odbiciu lewa rękawiczka staje się prawą, a napis AMBULANS czyta się wspak. Jeśli wierzchołki trójkąta $A$ , $B$ , $C$ następują po sobie zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to $A'$ , $B'$ , $C'$ następują przeciwnie do ruchu wskazówek.

Zestawienie: co zostaje, a co się odwraca

Najkrócej widać to w zestawieniu: trzy cechy trójkąta zostają bez zmian, a jedna się odwraca.

Cecha	Przed odbiciem	Po odbiciu
długości boków	np. 3, 4, 5	3, 4, 5
kąty	np. $90°$ , $53°$ , $37°$	$90°$ , $53°$ , $37°$
pole	6	6
orientacja	zgodnie z zegarem	przeciwnie do zegara

Dlatego odbicia nie da się zastąpić przesuwaniem ani obracaniem kartki — lustrzanego bliźniaka trzeba by „wyjąć z kartki i obrócić ją na drugą stronę”.

Odbijamy trójkąt względem prostej

Oś k to pionowa oś układu; C leży na niej, więc zostaje w miejscu

1
Zadanie: na kratkowanej kartce narysowano pionową prostą $k$ i trójkąt $ABC$ . Punkt $A$ leży 2 kratki na lewo od $k$ , punkt $B$ — 4 kratki na lewo i 2 kratki niżej, a punkt $C$ leży na prostej $k$ . Narysuj obraz trójkąta w symetrii względem $k$ .
$k \perp \text{poziom}, \quad A, B, C \to A', B', C'$
2
Krok pierwszy: punkt $A$ . Leży 2 kratki od osi, więc jego obraz $A'$ leży 2 kratki po drugiej stronie, na tej samej wysokości.
$d(A, k) = 2 \;\Rightarrow\; d(A', k) = 2$
3
Sprawdzenie dla $A$ : odcinek $AA'$ jest poziomy, czyli prostopadły do pionowej osi, i ma długość $2 + 2 = 4$ kratki.
$|AA'| = 2 \cdot 2 = 4$
4
Krok drugi: punkt $B$ . Leży 4 kratki od osi, więc $B'$ leży 4 kratki na prawo od osi, na wysokości punktu $B$ — wysokość się nie zmienia, bo poruszamy się prostopadle do osi.
$d(B, k) = 4 \;\Rightarrow\; d(B', k) = 4$
5
Krok trzeci: punkt $C$ leży na osi. To punkt stały — jego obrazem jest on sam.
$C' = C$
6
Krok czwarty: łączymy $A'$ , $B'$ , $C'$ w trójkąt. Gotowe — obraz wygląda jak lustrzane odbicie oryginału.
$\triangle A'B'C'$
7
Kontrola: bok $AB$ i bok $A'B'$ muszą mieć równe długości. Na kratkach oba przechodzą 2 kratki w bok i 2 w dół — zgadza się.
$|A'B'| = |AB| \; \checkmark$
Wskazówka
Każdy wierzchołek odbijasz osobno, prostopadle do osi. Punkt na osi zostaje w miejscu.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Punkt $A$ leży w odległości 5 cm od prostej $k$ . Punkt $A'$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem prostej $k$ . Ile centymetrów ma odcinek $AA'$ ?

d(A, k) = 5 \text{ cm}

Pułapka! Przesunięcie zamiast odbicia

Błąd pierwszy: rysowanie obrazu po tej samej stronie osi.

Odległość od prostej mierzymy prostopadle

Błąd drugi: mierzenie odległości na ukos.

Punkt leżący na osi nigdzie się nie przenosi

Błąd trzeci: przenoszenie punktu leżącego na osi.

Punkt na osi symetrii jest swoim własnym obrazem. Nie odbija się nigdzie — zostaje w miejscu.

Symetria osiowa to nie symetria środkowa

Błąd czwarty: mylenie symetrii osiowej ze środkową.

To najważniejsza pułapka całego działu:

	Symetria osiowa	Symetria środkowa
odbijamy względem	prostej	punktu
efekt wygląda jak	lustrzane odbicie	obrót o $180°$
orientacja figury	zmienia się	nie zmienia się

Jeśli w zadaniu odbijasz względem prostej — obraz jest lustrzany. Jeśli względem punktu — obraz jest „do góry nogami”. O symetrii środkowej wszystko w następnej lekcji.

Odbicie nie zmienia rozmiaru figury

Błąd piąty: podejrzewanie, że odbicie zmienia rozmiar.

Odległości w symetrii — zadanie typu egzaminacyjnego

1
Zadanie: punkt $A$ leży w odległości 4 cm od prostej $k$ . Punkt $A'$ jest obrazem $A$ w symetrii względem $k$ , a punkt $B$ leży na prostej $k$ , przy czym $|AB| = 6$ cm. Oblicz $|AA'|$ oraz $|A'B|$ .
$d(A,k) = 4, \quad |AB| = 6$
2
Krok pierwszy: odcinek $AA'$ . Prosta $k$ jest symetralną tego odcinka, więc dzieli go na dwie równe części po 4 cm.
$|AA'| = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm}$
3
Krok drugi: odcinek $A'B$ . Punkt $B$ leży na osi symetrii, więc jest punktem stałym — jego obrazem jest on sam.
$B' = B$
4
Symetria zachowuje odległości: odcinek $AB$ przechodzi na odcinek $A'B'$ , czyli na $A'B$ .
$|A'B| = |A'B'| = |AB|$
5
Stąd wynik.
$|A'B| = 6 \text{ cm}$
6
Wniosek ogólny, który wraca na egzaminie: każdy punkt osi symetrii leży w równych odległościach od punktu i jego obrazu. Dokładnie ta własność definiuje symetralną odcinka.
$|XB| = |X'B| \text{ dla } B \in k$
Wskazówka
Punkt na osi widzi punkt i jego obraz z tej samej odległości. To własność warta zapamiętania!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Odcinek $AB$ ma długość 7 cm. Odbito go w symetrii względem prostej $k$ i otrzymano odcinek $A'B'$ . Ile centymetrów ma odcinek $A'B'$ ?

|AB| = 7 \text{ cm}

Ściąga do zapamiętania

Kiedy punkty są symetryczne względem prostej i co symetria osiowa zachowuje?

• Punkty $A$ i $A'$ są symetryczne względem prostej $k$ , gdy odcinek $AA'$ jest prostopadły do $k$ , a oba punkty leżą w równej odległości od $k$ po przeciwnych stronach — $k$ to symetralna odcinka $AA'$
• Punkt leżący na osi jest swoim własnym obrazem (punkt stały)
• Odległość punktu od obrazu to podwojona odległość od osi
• Zachowuje długości, kąty, obwód i pole (figury są przystające), ale zmienia orientację — obraz jest lustrzany, jak napis „AMBULANS” w lusterku
• Figurę odbijasz wierzchołek po wierzchołku, prostopadle do osi

Sprawdź się!

Punkty $A$ i $A'$ są symetryczne względem prostej $k$ . Która własność prostej $k$ wynika z definicji?

Punkt $A$ leży 6 cm od prostej $k$ , a $A'$ jest jego obrazem w symetrii względem $k$ . Ile wynosi $|AA'|$ ?

Co się dzieje z punktem leżącym na osi symetrii?

Trójkąt o bokach 3 cm, 4 cm i 5 cm odbito w symetrii względem prostej. Jakie boki ma obraz?

Czym różni się figura od swojego obrazu w symetrii osiowej?

Punkt $A$ leży 3 kratki na lewo od pionowej osi symetrii. Gdzie leży jego obraz $A'$ ?

Następny temat

Symetria środkowa

Punkty symetryczne względem prostej

Jak wyznaczyć obraz punktu AAA

Przypadek szczególny: punkt na osi

Co symetria osiowa zachowuje

Co symetria osiowa zmienia

Zestawienie: co zostaje, a co się odwraca

Odbijamy trójkąt względem prostej

Pułapka! Przesunięcie zamiast odbicia

Odległość od prostej mierzymy prostopadle

Punkt leżący na osi nigdzie się nie przenosi

Symetria osiowa to nie symetria środkowa

Odbicie nie zmienia rozmiaru figury

Odległości w symetrii — zadanie typu egzaminacyjnego

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!

Jak wyznaczyć obraz punktu $A$