Zadania na dowodzenie — własności liczb

około 18 minut

W tej lekcji1/14

Cześć! Słowo „udowodnij” brzmi poważnie, ale prawda jest taka: dowody liczbowe na egzaminie ósmoklasisty mają zawsze ten sam szkielet. Zapisujesz liczbę literą, robisz zwykłe przekształcenie i pokazujesz, co z niego wynika. Trzy kroki, ta sama kolejność za każdym razem. Dziś ten szkielet rozłożymy na części — i zobaczysz, że umiesz to od dawna, tylko nikt ci nie powiedział, że to się nazywa dowód.

Czym dowód różni się od obliczenia

W zwykłym zadaniu pytanie brzmi „ile?”. W zadaniu na dowodzenie — „dlaczego zawsze?”.

2·2

2·3

2·5

Każda liczba parzysta to 2 razy coś

Polecenie	Czego oczekuje
„Oblicz sumę liczb 7 i 9”	jednej liczby: 16
„Uzasadnij, że suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta”	rozumowania obejmującego WSZYSTKIE takie pary

Sprawdzenie na przykładach nie jest dowodem

Możesz pokazać, że $7 + 9 = 16$ , $3 + 5 = 8$ i $11 + 21 = 32$ — trzy razy wyszło parzyście. Ale par liczb nieparzystych jest nieskończenie wiele, a ty sprawdziłeś trzy. Egzaminator nie przyzna za to punktów za dowód, bo to nie jest uzasadnienie, tylko ilustracja.

Słownik: jak zapisać liczbę literą

Cała robota w dowodach liczbowych zaczyna się od poprawnego zapisu. Ten słownik warto znać na pamięć — dalej idzie już zwykła algebra.

2n+1

2n+2

Parzyste stoją co drugą kreskę, między nimi nieparzyste

Rodzaj liczby	Zapis (dla $n$ całkowitego)
dowolna liczba	$n$
liczba parzysta	$2n$
liczba nieparzysta	$2n + 1$
kolejne liczby naturalne	$n$ , $n+1$ , $n+2$
kolejne liczby parzyste	$2n$ , $2n+2$ , $2n+4$
kolejne liczby nieparzyste	$2n+1$ , $2n+3$ , $2n+5$
wielokrotność liczby 3	$3n$
liczba o 5 większa od $n$	$n + 5$
liczba dwucyfrowa o cyfrach $a$ i $b$	$10a + b$

Dwie uwagi, które ratują dowody:

Uwaga pierwsza — różne liczby, różne litery

Jeśli w zadaniu występują dwie dowolne liczby nieparzyste, zapisz je $2k+1$ i $2m+1$ . Zapis $2n+1$ dla obu oznaczałby, że są sobie równe — a wtedy dowód obejmuje tylko część przypadków.

Uwaga druga — jak pokazać podzielność. Liczba jest podzielna przez 3 wtedy, gdy da się ją zapisać jako $3 \cdot (\text{coś całkowitego})$ . Dlatego finał dowodu podzielności to zawsze wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias: $6n + 9 = 3(2n + 3)$ — i już widać trójkę.

Schemat dowodu w czterech krokach

1
Zadanie: uzasadnij, że suma dwóch dowolnych liczb nieparzystych jest liczbą parzystą. Idziemy zawsze tym samym schematem.
2
KROK 1 — zapis. Dwie różne liczby nieparzyste, więc dwie różne litery. Ta jedna linijka to już punkt za metodę.
$2k + 1 \quad \text{oraz} \quad 2m + 1$
3
KROK 2 — zbuduj wyrażenie z treści zadania. Mowa o sumie, więc dodajemy.
$(2k + 1) + (2m + 1)$
4
KROK 3 — przekształć. Opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne.
$2k + 2m + 2$
5
KROK 3b — kluczowy ruch: wyłączamy dwójkę przed nawias.
$2(k + m + 1)$
6
KROK 4 — wniosek zapisany słowami. To liczba postaci dwa razy coś całkowitego, a więc parzysta. Koniec dowodu.
$2 \cdot (\text{liczba calkowita}) = \text{liczba parzysta}$
Wskazówka
Zwróć uwagę na krok 4: wniosek trzeba napisać SŁOWAMI. Samo wyrażenie $2(k+m+1)$ bez zdania „a to jest liczba parzysta” to dowód urwany w pół zdania.
7
Kontrola na przykładzie (dla twojego spokoju, nie zamiast dowodu): dla $k = 3$ i $m = 4$ liczby to 7 i 9, suma 16 — parzysta.
$7 + 9 = 16$

Wszystkie kroki za Tobą!

Dwa klasyki arkuszowe

1
KLASYK 1: uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3.
2
Krok 1 — zapis. Najmniejszą z liczb nazywamy $n$ , kolejne są o 1 i o 2 większe.
$n, \quad n+1, \quad n+2$
3
Krok 2 i 3 — suma i redukcja.
$n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3$
4
Krok 3b — wyłączamy trójkę przed nawias.
$3n + 3 = 3(n + 1)$
5
Krok 4 — wniosek: to trzykrotność liczby całkowitej, więc suma dzieli się przez 3. Co należało wykazać.
6
KLASYK 2: liczbę dwucyfrową zapisano cyframi w odwrotnej kolejności. Uzasadnij, że różnica większej i mniejszej z tych liczb jest podzielna przez 9.
7
Krok 1 — zapis liczby dwucyfrowej przez cyfry: $a$ to cyfra dziesiątek, $b$ to cyfra jedności. Zakładamy dodatkowo, że $a > b$ — wtedy pierwsza liczba jest tą większą i wiemy, co od czego odjąć.
$10a + b \quad \text{oraz} \quad 10b + a$
8
Krok 2 i 3 — odejmujemy i redukujemy wyrazy podobne.
$(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b$
9
Krok 3b — wyłączamy dziewiątkę.
$9a - 9b = 9(a - b)$
10
Krok 4 — wniosek: różnica jest dziewięciokrotnością liczby całkowitej, więc dzieli się przez 9. Sprawdźmy na liczbie 72 i jej odwrotności 27.
$72 - 27 = 45 = 9 \cdot 5$
Wskazówka
Ten sam szkielet co poprzednio: zapis, wyrażenie, przekształcenie, wniosek. Zmienia się tylko treść — kolejność nigdy.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Suma pięciu kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest równa $n$ , po uproszczeniu ma postać $5n + k$ . Podaj wartość $k$ .

n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + k

Pułapka! Przykłady zamiast dowodu

Błąd 1: przykłady zamiast dowodu.

Pułapka! Ta sama litera dla dwóch różnych liczb

Błąd 2: ta sama litera dla dwóch różnych liczb.

Zapis $2n+1$ i $2n+1$ dla dwóch dowolnych liczb nieparzystych oznacza, że są identyczne — dowód obejmuje wtedy tylko sumy typu $7 + 7$ , a nie $7 + 9$ . Dwie dowolne liczby to dwie litery: $k$ i $m$ .

Pułapka! Brak wniosku słownego

Błąd 3: brak wniosku słownego.

Uczeń dochodzi do $3(n+1)$ , stawia kropkę i idzie dalej. Egzaminator widzi przekształcenie, ale nie widzi odpowiedzi na pytanie zadania. Dopisz jedno zdanie: „a to jest liczba podzielna przez 3”. Pięć sekund, konkretny punkt.

Pułapka! Wyłączenie przed nawias bez sprawdzenia

Błąd 4: wyłączenie przed nawias, które się nie zgadza.

Po wyłączeniu czynnika zawsze sprawdź, mnożąc z powrotem. $6n + 9 = 3(2n + 3)$ , bo $3 \cdot 2n = 6n$ i $3 \cdot 3 = 9$ . Ale $6n + 9 = 3(2n + 9)$ już nie — i cały dowód się sypie.

I dobra wiadomość na koniec. W zadaniach na dowodzenie punkty przyznaje się etapami. Sam poprawny zapis $2k+1$ i $2m+1$ pokazuje, że rozumiesz problem. Nawet jeśli zablokujesz się dalej — zapisz to, co masz. Puste miejsce to gwarantowane zero, a rozpoczęty dowód to realna szansa na część punktów.

Twoja kolej

Różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych $n+1$ i $n$ ma po uproszczeniu postać $2n + k$ . Podaj wartość $k$ .

(n+1)^2 - n^2 = 2n + k

Ściąga do zapamiętania

Dowód własności liczb — schemat i słownik zapisów?

• Schemat: 1) zapis liczby literą, 2) wyrażenie z treści zadania, 3) przekształcenie i wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias, 4) wniosek słowami
• Słownik: parzysta $2n$ , nieparzysta $2n+1$ , kolejne $n$ , $n+1$ , $n+2$ , kolejne parzyste $2n$ , $2n+2$ , $2n+4$ , kolejne nieparzyste $2n+1$ , $2n+3$ , $2n+5$ , wielokrotność trójki $3n$ , liczba dwucyfrowa $10a+b$
• Podzielność przez $d$ to zapisanie wyniku w postaci $d \cdot (\text{liczba całkowita})$ , np. $3n+3 = 3(n+1)$
• Różne liczby oznaczaj różnymi literami: $k$ i $m$
• Przykłady nie są dowodem, ale jeden kontrprzykład wystarczy, by obalić zdanie
• Punkty idą etapami, więc zawsze zapisz choćby początek

Sprawdź się!

Jak zapisać dowolną liczbę nieparzystą, jeśli $n$ jest liczbą całkowitą?

Oceń prawdziwość zdań. Zdanie I: sprawdzenie własności na dziesięciu przykładach jest wystarczającym dowodem, że zachodzi ona zawsze. Zdanie II: żeby wykazać, że zdanie „każda liczba pierwsza jest nieparzysta” jest fałszywe, wystarczy jeden kontrprzykład.

Suma dwóch kolejnych liczb naturalnych $n$ i $n+1$ jest zawsze:

Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych $2n+1$ , $2n+3$ , $2n+5$ jest równa:

Które przekształcenie poprawnie pokazuje, że liczba $8n + 12$ jest podzielna przez 4?

Chcesz uzasadnić własność sumy dwóch dowolnych liczb parzystych. Jak poprawnie je zapisać?

Liczba dwucyfrowa ma cyfrę dziesiątek $a$ i cyfrę jedności $b$ . Jak zapisać tę liczbę?

Uczeń wykazał, że suma pewnych liczb wynosi $5n + 10$ , i postawił kropkę. Czego brakuje w tym dowodzie?

Następny temat

Zadania na dowodzenie — geometria