Zadania na dowodzenie — geometria

około 18 minut

W tej lekcji1/17

Cześć! Dowód geometryczny wygląda groźnie tylko do momentu, w którym zobaczysz, czym naprawdę jest: łańcuszkiem znanych ci faktów. „Suma kątów trójkąta to 180 stopni”, „kąty przyległe dają 180 stopni”, „przeciwległe boki równoległoboku są równe” — to wszystko już umiesz. Dowód polega na ułożeniu tych klocków w kolejności prowadzącej do tezy. Dziś nauczysz się je układać, a rysunek będzie twoim najlepszym sojusznikiem.

Rysunek to część rozwiązania

Pierwsza rada praktyczna: zawsze rysuj, nawet gdy rysunek jest już w arkuszu. Przerysuj go sobie większy albo dopisz na nim oznaczenia — to nie strata czasu, tylko połowa pracy.

Równe boki — kreska, równe kąty — łuczek. Rysunek mówi, co wiemy

Na rysunku zaznacz:

- dane z treści: równe boki (jedną kreską), równe kąty (łuczkiem), kąt prosty (kwadracikiem),
- oznaczenia literowe kątów: $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ albo po prostu $x$ , $y$ ,
- to, czego szukasz — innym kolorem albo znakiem zapytania.

Co wiem, a co mam pokazać

Drugi nawyk: rozdziel w głowie dwie rzeczy.

Pytanie	Co tam wpisujesz
Co wiem?	dane z treści zadania i z rysunku
Co mam pokazać?	teza, czyli zdanie z polecenia

Za nazwy faktów dostaje się punkty

I rzecz, która odróżnia dowód od zwykłego zadania: każde przejście musisz uzasadnić nazwą faktu. Nie „bo widać”, tylko „bo kąty wierzchołkowe są równe”. To właśnie za te nazwy przyznaje się punkty.

Skrzynka z narzędziami: fakty o kątach

To są klocki, z których buduje się praktycznie każdy dowód geometryczny na egzaminie ósmoklasisty. Najpierw kąty:

Fakt	Zapis
suma kątów trójkąta	$\alpha + \beta + \gamma = 180°$
suma kątów czworokąta	$360°$
kąty przyległe	razem $180°$
kąty wierzchołkowe	są równe
kąty naprzemianległe (proste równoległe)	są równe
kąty odpowiadające (proste równoległe)	są równe
kąty jednostronne wewnętrzne	razem $180°$

Skrzynka z narzędziami: figury, boki i pola

Druga półka tej samej skrzynki to fakty o figurach, bokach i polach:

Twierdzenie Pitagorasa: kwadraty zbudowane na przyprostokątnych mają razem tyle pola, co kwadrat na przeciwprostokątnej

Fakt	Zapis
trójkąt równoramienny	kąty przy podstawie są równe
przeciwległe boki i kąty równoległoboku	są równe
twierdzenie Pitagorasa	$a^2 + b^2 = c^2$
pole trójkąta	$P = \frac{1}{2} a h$
suma kątów wielokąta o $n$ bokach	$(n-2) \cdot 180°$

Dwa fakty, które zwracają najwięcej

Kąt przyległy do niego ma 50°

1
Dwa fakty, które w dowodach zwracają najwięcej, to kąty przyległe i suma kątów trójkąta. Bardzo dużo zadań o kątach da się zrobić samą tą parą.
2
Patrząc na rysunek: skoro jeden z kątów przyległych ma $130°$ , drugi musi mieć resztę do półpełnego. Nie mierzymy — liczymy.
$180° - 130° = 50°$

Wszystkie kroki za Tobą!

Schemat dowodu na przykładzie kąta zewnętrznego

1
Zadanie: w trójkącie o kątach wewnętrznych $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ przedłużono jeden bok, tworząc kąt zewnętrzny $\delta$ przy trzecim wierzchołku. Uzasadnij, że $\delta = \alpha + \beta$ .
2
Trójkąt z oznaczonymi kątami wewnętrznymi
KROK 1 — rysunek i oznaczenia. Rysujemy trójkąt, podpisujemy kąty wewnętrzne, przedłużamy bok i zaznaczamy kąt zewnętrzny obok kąta $\gamma$ .
3
KROK 2 — co wiem? Fakt pierwszy: suma kątów trójkąta.
$\alpha + \beta + \gamma = 180°$
4
Fakt drugi: kąt zewnętrzny i sąsiadujący z nim kąt wewnętrzny są kątami przyległymi.
$\delta + \gamma = 180°$
5
KROK 3 — łączymy fakty. Z pierwszego wyznaczamy sumę dwóch kątów, z drugiego sam kąt delta.
$\alpha + \beta = 180° - \gamma \qquad \delta = 180° - \gamma$
6
KROK 4 — obie wielkości są równe tej samej liczbie, więc są równe sobie.
$\delta = \alpha + \beta$
7
KROK 5 — wniosek słowami: kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które z nim nie sąsiadują. Co należało wykazać.
Wskazówka
Zauważ, że nie zmierzyliśmy ani jednego kąta. Cały dowód to dwa znane fakty połączone jednym rachunkiem — i to jest typowa długość dowodu na egzaminie.
8
Kontrola liczbowa (dla spokoju, nie zamiast dowodu): dla $\alpha = 50°$ i $\beta = 60°$ mamy $\gamma = 70°$ , a kąt zewnętrzny to $180° - 70° = 110°$ — dokładnie tyle, ile $50° + 60°$ .
$110° = 50° + 60°$

Wszystkie kroki za Tobą!

Dowód o polach: przekątna prostokąta

Prostokąt ABCD z przekątną AC — dzieli go na trójkąty ABC i ACD

1
Zadanie: w prostokącie $ABCD$ poprowadzono przekątną $AC$ . Uzasadnij, że powstałe trójkąty $ABC$ i $ACD$ mają równe pola.
2
Krok 1 — rysunek i dane. Boki prostokąta oznaczamy $a$ i $b$ (patrz rysunek). Z własności prostokąta boki przeciwległe są równe.
$AB = CD = a \qquad BC = AD = b$
3
Krok 2 — co wiem o trójkącie $ABC$ ? Jest prostokątny (kąt przy wierzchołku $B$ to kąt prostokąta), więc jego przyprostokątne to $a$ i $b$ .
$P_{ABC} = \frac{1}{2} a b$
4
Krok 3 — tak samo trójkąt $ACD$ : kąt przy wierzchołku $D$ jest prosty, a przyprostokątne mają długości $a$ i $b$ .
$P_{ACD} = \frac{1}{2} a b$
5
Krok 4 — wniosek: oba pola są równe temu samemu wyrażeniu, więc są równe. Przekątna dzieli prostokąt na dwie części o równych polach.
$P_{ABC} = P_{ACD}$
6
Warto zauważyć: każde z tych pól to połowa pola prostokąta, bo razem dają całość.
$\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = ab = P_{ABCD}$
Wskazówka
Dowody o polach prawie zawsze kończą się tak samo: pokazujesz, że oba pola liczą się tym samym wzorem z tych samych danych. Zero magii.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

W trójkącie dwa kąty wewnętrzne mają miary $52°$ i $61°$ . Ile stopni ma kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku?

\delta = \alpha + \beta

Pułapka! Mierzenie zamiast liczenia

„Zmierzyłem kątomierzem — wyszło $90°$ ” nie jest dowodem. Rysunek w arkuszu bywa celowo nie w skali, a nawet gdyby był, pomiar dotyczy jednego przypadku, a nie wszystkich. Linijka służy do rysowania, nie do dowodzenia.

Błąd 2: „bo tak widać na rysunku”

To, że dwa odcinki wyglądają na równe, nic nie znaczy. Równe są tylko te, o których mówi treść zadania albo znany fakt geometryczny. Jeśli w treści nie napisano, że trójkąt jest równoramienny — nie wolno tego założyć.

Błąd 3: założenie tego, co trzeba udowodnić

To najbardziej podstępny błąd. Masz wykazać, że kąty są równe, więc oznaczasz oba przez $\alpha$ — i „wychodzi”, że są równe. Oczywiście, że wychodzi: sam to założyłeś. Teza może się pojawić dopiero na końcu rozumowania, nigdy na starcie.

Błąd 4: brak nazwy faktu

Zapis „ $\delta = 180° - \gamma$ ” bez słowa wyjaśnienia zmusza egzaminatora do zgadywania, skąd to się wzięło. Dopisz trzy słowa: „bo kąty przyległe”. To one są warte punkty.

Błąd 5: rezygnacja po pierwszej minucie

W dowodach geometrycznych punkty przyznaje się etapami. Sam poprawny rysunek z oznaczeniami i wypisanie danych, np. „ $\alpha + \beta + \gamma = 180°$ ”, to już zaczęte rozwiązanie. Nawet jeśli nie widzisz całej drogi — zapisz, co wiesz. Bardzo często drugi zapisany fakt sam pokazuje trzeci.

Twoja kolej

Dwie proste równoległe przecięto trzecią prostą. Jeden z kątów jednostronnych wewnętrznych ma miarę $63°$ . Ile stopni ma drugi kąt jednostronny wewnętrzny?

63° + x = 180°

Ściąga do zapamiętania

Dowód geometryczny — schemat rozwiązania i lista narzędzi?

• Schemat: 1) rysunek z oznaczeniami (równe boki, równe kąty, kąt prosty), 2) co wiem — wypisz fakty, 3) co mam pokazać — teza, 4) łańcuch faktów z nazwami („bo kąty przyległe”, „bo suma kątów trójkąta”), 5) wniosek słowami
• Narzędzia: suma kątów trójkąta $180°$ , czworokąta $360°$ , wielokąta $(n-2) \cdot 180°$ ; kąty przyległe $180°$ ; wierzchołkowe równe
• Przy prostych równoległych: naprzemianległe i odpowiadające są równe, a jednostronne wewnętrzne dają razem $180°$
• Trójkąt równoramienny ma równe kąty przy podstawie; Pitagoras $a^2 + b^2 = c^2$ ; pole trójkąta $\frac{1}{2}ah$
• Kąt zewnętrzny to suma dwóch niesąsiadujących kątów wewnętrznych
• Nie wolno: mierzyć kątomierzem, powoływać się na „bo widać”, zakładać tezy

Sprawdź się!

W trójkącie dwa kąty mają miary $40°$ i $75°$ . Kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku ma miarę:

Oceń prawdziwość zdań. Zdanie I: kąty wierzchołkowe mają równe miary. Zdanie II: kąty przyległe mają równe miary.

Który argument jest poprawnym uzasadnieniem w dowodzie geometrycznym?

W równoległoboku jeden z kątów ma miarę $70°$ . Jaką miarę ma kąt sąsiedni (przy tym samym boku)?

W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma $40°$ . Jaką miarę ma każdy z kątów przy podstawie?

Oceń prawdziwość zdań o prostokącie. Zdanie I: przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty o równych polach. Zdanie II: przekątna prostokąta jest jego osią symetrii.

Dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości opuszczone na tę podstawę. Co z tego wynika?

Masz udowodnić, że dwa kąty w pewnej figurze są równe. Który początek rozwiązania jest błędny?

Następny temat

Praca z arkuszem i zarządzanie czasem