Wartość bezwzględna — wprowadzenie

około 12 minut
W tej lekcji1/17

Cześć! Wyobraź sobie, że idziesz od domu do sklepu — 300 metrów w prawo. Kolega idzie do szkoły — 300 metrów w lewo. Kto pokonał dłuższą drogę? Oczywiście tyle samo. Kierunki są przeciwne, ale ODLEGŁOŚĆ jest ta sama. Matematyka ma na to specjalne narzędzie i nazywa je wartością bezwzględną.

Odległość od zera, zawsze dodatnia

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej.

Zdejmowanie znaku — reguła w dwóch punktach

Działa to jak zdejmowanie znaku. Praktyczna reguła w dwóch punktach:

Liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną

Jeszcze jedna ważna obserwacja: liczby przeciwne mają jednakową wartość bezwzględną. To po prostu inne sformułowanie tego, co widać na osi — leżą symetrycznie względem zera.

Kreski działają jak nawias

Bardzo ważna zasada praktyczna: kreski wartości bezwzględnej zachowują się jak nawias. Jeśli w środku jest działanie, najpierw je liczymy, a dopiero potem zdejmujemy znak.

∣−3−5∣=∣−8∣=8\lvert -3 - 5 \rvert = \lvert -8 \rvert = 8

Najpierw wyszło −8-8, a dopiero potem kreski zamieniły to na 88. Odwrotna kolejność dałaby zupełnie co innego.

Cztery podobne zapisy, dwa różne wyniki

  1. 1

    Zobacz, jak bardzo wynik zależy od miejsca kresek. Kreski wokół każdej liczby osobno, a między nimi dodawanie:

    ∣−7∣+∣3∣=7+3=10\lvert -7 \rvert + \lvert 3 \rvert = 7 + 3 = 10
  2. 2

    Te same kreski, ale między nimi odejmowanie:

    ∣−7∣−∣3∣=7−3=4\lvert -7 \rvert - \lvert 3 \rvert = 7 - 3 = 4
  3. 3

    Teraz kreski obejmują całe dodawanie, więc najpierw liczymy to, co w środku:

    ∣−7+3∣=∣−4∣=4\lvert -7 + 3 \rvert = \lvert -4 \rvert = 4
  4. 4

    I to samo z odejmowaniem w środku kresek:

    ∣−7−3∣=∣−10∣=10\lvert -7 - 3 \rvert = \lvert -10 \rvert = 10
  5. 5

    Cztery bardzo podobne zapisy, a wyniki się różnią. Za każdym razem pytaj: czy kreski obejmują całe działanie, czy tylko pojedynczą liczbę?

Wszystkie kroki za Tobą!

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

Zadanie odwrotne

Czasem znamy wartość bezwzględną i szukamy liczby. Pytanie brzmi: jakie liczby leżą w odległości 4 od zera?

Odpowiedź: dwie — 44 oraz −4-4. Odległość nie mówi nic o kierunku, więc rozwiązania są zawsze dwa (chyba że odległość wynosi zero).

Liczymy wyrażenie z dwiema parami kresek

  1. 1

    Zadanie: oblicz wartość wyrażenia. Są tu dwie osobne pary kresek i działanie między nimi.

    ∣−9∣−∣−4∣\lvert -9 \rvert - \lvert -4 \rvert
  2. 2

    Krok pierwszy: kreski działają jak nawiasy, więc liczymy je jako pierwsze. Zaczynamy od lewej.

    ∣−9∣=9\lvert -9 \rvert = 9
  3. 3

    Krok drugi: druga para kresek. Znów zdejmujemy znak.

    ∣−4∣=4\lvert -4 \rvert = 4
  4. 4

    Krok trzeci: przepisujemy wyrażenie z policzonymi wartościami. Teraz zostało zwykłe odejmowanie.

    9−49 - 4
  5. 5

    Wynik to pięć.

    9−4=59 - 4 = 5
  6. 6

    Porównaj z podobnie wyglądającym zapisem, w którym kreski obejmują całe działanie. Tam wynik jest zupełnie inny.

    ∣−9−4∣=∣−13∣=13\lvert -9 - 4 \rvert = \lvert -13 \rvert = 13
Wszystkie kroki za Tobą!

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.

Twoja kolej

Oblicz wartość wyrażenia:

∣−15∣\lvert -15 \rvert

Pułapka! Zdejmowanie znaku przed policzeniem działania

Najczęstszy błąd polega na potraktowaniu kresek jak polecenia usuń wszystkie minusy, zamiast jak nawiasu.

Minus sześć dodać dwa — co robimy najpierw

  1. 1

    Weź wyrażenie ∣−6+2∣\lvert -6 + 2 \rvert. Błędny tok myślenia: kreski usuwają minus, więc mamy osiem. To jest właśnie pułapka.

    6+2=86 + 2 = 8
  2. 2

    Poprawnie: najpierw liczymy to, co w środku kresek.

    −6+2=−4-6 + 2 = -4
  3. 3

    Dopiero potem zdejmujemy znak. Wynik to 44, a nie 88.

    ∣−4∣=4  ✓\lvert -4 \rvert = 4 \; \checkmark
  4. 4

    Ta sama pułapka w innych liczbach: poprawnie wychodzi siedem, a nie trzynaście.

    ∣−10+3∣=∣−7∣=7\lvert -10 + 3 \rvert = \lvert -7 \rvert = 7
Wszystkie kroki za Tobą!

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

Pułapka! Jedno rozwiązanie zamiast dwóch

Drugi błąd dotyczy zadania odwrotnego. Pytanie brzmi: dla jakiej liczby ∣x∣=6\lvert x \rvert = 6? Uczeń podaje jedną odpowiedź: 66. A rozwiązania są dwa: 66 oraz −6-6, bo obie te liczby leżą sześć kroków od zera.

Pułapka! Wartość bezwzględna nie bywa ujemna

Trzeci błąd to przekonanie, że wartość bezwzględna może wyjść ujemna. Nie może — to odległość. Jeśli w rachunku wyszło Ci ∣cosˊ∣=−3\lvert \text{coś} \rvert = -3, gdzieś jest pomyłka.

Minus przed kreskami to zupełnie co innego

Uwaga na subtelność: samo wyrażenie −∣−3∣-\lvert -3 \rvert jest jak najbardziej ujemne i wynosi −3-3. Ale to minus stojący na zewnątrz kresek, już po zdjęciu znaku w środku.

Do czego to służy: różnica temperatur

  1. 1

    Zadanie: w Zakopanem było −8-8 stopni, a w Gdańsku +3+3. O ile stopni różniły się te temperatury?

    −8°oraz+3°-8° \quad \text{oraz} \quad +3°

    Jak myślisz, ile wyjdzie?

  2. 2

    Różnica to odległość między dwiema liczbami na osi. Odejmujemy je od siebie i bierzemy wartość bezwzględną, żeby kolejność odejmowania nie miała znaczenia.

    ∣−8−3∣\lvert -8 - 3 \rvert
  3. 3

    Liczymy to, co w środku kresek. Odejmowanie liczby dodatniej od ujemnej daje jeszcze mniejszą liczbę.

    −8−3=−11-8 - 3 = -11
  4. 4

    Teraz zdejmujemy znak. Różnica temperatur wynosi 11 stopni.

    ∣−11∣=11\lvert -11 \rvert = 11
  5. 5

    Sprawdźmy, że kolejność naprawdę nie ma znaczenia. Odejmijmy w drugą stronę.

    ∣3−(−8)∣=∣11∣=11\lvert 3 - (-8) \rvert = \lvert 11 \rvert = 11
  6. 6

    Ten sam wynik. I o to właśnie chodzi: różnica temperatur to 11 stopni niezależnie od tego, które miasto wymienimy pierwsze. Wartość bezwzględna zapewnia, że odpowiedź jest zawsze sensowna.

    11 stopni11 \text{ stopni}
Wszystkie kroki za Tobą!

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.

Twoja kolej

Oblicz wartość wyrażenia (uwaga na to, co obejmują kreski):

∣−4−6∣\lvert -4 - 6 \rvert

Ściąga do zapamiętania

Co to jest wartość bezwzględna?

To ODLEGŁOŚĆ LICZBY OD ZERA na osi, zapisywana dwiema pionowymi kreskami. Zawsze dodatnia albo równa zeru. Liczba dodatnia przechodzi bez zmian, ujemna zmienia znak: |5|=5, |-5|=5, |0|=0. Liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną. KRESKI DZIAŁAJĄ JAK NAWIAS — najpierw licz działanie w środku: |-6+2| to |-4| czyli 4, a NIE 8. ZADANIE ODWROTNE ma dwa rozwiązania: jeśli |x|=6, to x równa się 6 albo -6.

Sprawdź się!

Odpowiedziano na 0 z 5 pytań

Skróty klawiszowe quizu: klawisze od 1 do 4 wybierają odpowiedź, Enter sprawdza, a po sprawdzeniu przechodzi do następnego pytania. Każdy przycisk możesz też wybrać Tabem i Spacją.

1

Ile wynosi ∣−23∣\lvert -23 \rvert?

2

Ile wynosi ∣−5+2∣\lvert -5 + 2 \rvert?

3

Dla jakich liczb zachodzi ∣x∣=9\lvert x \rvert = 9?

4

Ile wynosi ∣−8∣−∣−3∣\lvert -8 \rvert - \lvert -3 \rvert?

5

W Warszawie było −4-4 stopnie, a w Krakowie −11-11. O ile stopni różniły się temperatury?

Następny temat
Działania na liczbach mieszanych