Nie da się uprościć — to już wynik

Upraszczanie wyrażeń algebraicznych — matematyka klasa 6

Cześć! Wyobraź sobie koszyk: trzy jabłka, dwie gruszki i jeszcze cztery jabłka. Ile masz owoców? Odpowiadasz od razu: siedem jabłek i dwie gruszki. Nie mówisz dziewięć owocogruszek, bo jabłek nie da się dodać do gruszek. Upraszczanie wyrażeń działa dokładnie tak samo — i to jest cała tajemnica tego tematu.

Wyrazy podobne, czyli jabłka do jabłek

Wyrazy podobne to takie, które mają tę samą literę w tej samej potędze. Tylko je wolno ze sobą łączyć.

xx2

1xx2

= 2x + 2

Jednakowe pola łączymy w jedno

$3x + 5x = 8x$

Dodajemy liczby stojące przy literze, a litera zostaje bez zmian. To dokładnie jak z jabłkami: trzy iksy plus pięć iksów to osiem iksów.

Liczbę stojącą przy literze nazywamy współczynnikiem. W wyrażeniu $3x$ współczynnikiem jest trójka.

Które pary wolno połączyć

Poniższa tabela pokazuje, co z czym wolno połączyć, a co zostaje osobno:

x

xx^2

= x^2

x to długość boku, a x² to pole kwadratu — dwie różne wielkości

Wyrazy	Podobne?	Wynik
$3x$ i $5x$	tak	$8x$
$7a$ i $2a$	tak	$9a$
$3x$ i $2y$	nie	zostaje $3x + 2y$
$x$ i $x^2$	nie	zostaje $x + x^2$
$5$ i $8$	tak (same liczby)	$13$

Dwa ostatnie wiersze są ważne. Litery $x$ i $y$ to różne wielkości — nie da się ich połączyć. Podobnie $x$ i $x^2$ : pierwsze to bok, drugie to pole, zupełnie inne rzeczy.

Uwaga na literę bez liczby

Zapis $x$ oznacza $1x$ , a $-x$ oznacza $-1x$ . Dlatego:

$5x - x = 5x - 1x = 4x$

To częste miejsce pomyłek — wielu uczniów zapisuje tu $5$ , gubiąc literę.

Porządkowanie dłuższych wyrażeń

Gdy wyrazów jest więcej, warto pracować systematycznie:

Trzy kroki na wyrażeniu z czterema wyrazami

1
Przykład: uprość wyrażenie z dwiema literami.
$3x + 2y + 4x - y$
2
Grupa iksów — dodajemy współczynniki, litera zostaje.
$3x + 4x = 7x$
3
Grupa igreków. Samo $y$ to $1y$ , więc odejmujemy jedynkę.
$2y - y = 2y - 1y = 1y = y$
4
Zapisujemy obie grupy obok siebie — dalej uprościć się nie da.
$7x + y$

Wszystkie kroki za Tobą!

Kluczowa zasada: znak wędruje razem z wyrazem

Przenosząc $-y$ , przenosisz go razem z minusem. To ta sama reguła, którą znasz z liczb całkowitych.

Uproszczone wyrażenie to to samo wyrażenie, tylko wygodniejsze w użyciu.

2a + 3 - a + 5

a + 8

obie postacie ważą tyle samo

Uproszczenie nie zmienia wartości wyrażenia — waga zostaje w równowadze

Sprawdzenie sensu upraszczania podstawieniem

1
Upraszczanie ma bardzo praktyczny sens — sprawdź to samodzielnie. Weź wyrażenie z czterema wyrazami i uprość je.
$2a + 3 - a + 5 = a + 8$
2
Teraz podstaw $a = 10$ do postaci pierwotnej.
$2 \cdot 10 + 3 - 10 + 5 = 18$
3
To samo podstawienie do postaci uproszczonej.
$10 + 8 = 18$
4
Ten sam wynik, ale drugi rachunek jest dużo krótszy.
$18 = 18 \; \checkmark$

Wszystkie kroki za Tobą!

Upraszczamy wyrażenie z czterema wyrazami

1
Zadanie: uprość wyrażenie. Zaczynamy od rozpoznania, które wyrazy są podobne.
$5a + 3 - 2a + 7$
2
Krok pierwszy: szukamy wyrazów z literą $a$ . Są dwa — pierwszy i trzeci. Pamiętaj, że minus należy do dwójki.
$5a \quad \text{oraz} \quad -2a$
3
Krok drugi: szukamy samych liczb. Też są dwie.
$+3 \quad \text{oraz} \quad +7$
4
Krok trzeci: liczymy grupę z literą. Odejmujemy współczynniki, litera zostaje.
$5a - 2a = 3a$
5
Krok czwarty: liczymy grupę liczb.
$3 + 7 = 10$
6
Zapisujemy wynik. Zwyczajowo najpierw wyrazy z literami, potem same liczby.
$3a + 10$
7
Sprawdzenie przez podstawienie. Weźmy $a = 2$ i policzmy obie postacie. Pierwotna: $10 + 3 - 4 + 7 = 16$ . Uproszczona: $6 + 10 = 16$ . Zgadza się.
$3 \cdot 2 + 10 = 16 \; \checkmark$
Wskazówka
Zawsze sprawdzaj przez podstawienie. Obie postacie muszą dać ten sam wynik.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Uprość wyrażenie i wybierz poprawną postać wyniku:

7x + 2x

Pułapka! Łączenie wyrazów, które nie są podobne

To najczęstszy błąd w całym dziale i wynika z chęci doprowadzenia wszystkiego do jednej liczby.

Błąd pierwszy: łączenie różnych liter.

$3x + 2y$ to już jest odpowiedź końcowa. Nie da się tego uprościć do $5xy$ ani do $5x$ . To jak z jabłkami i gruszkami — zapis $3x + 2y$ jest kompletny.

Podstawienie demaskuje ten błąd w kilka sekund

1
Sprawdź przez podstawienie. Dla $x = 1$ i $y = 1$ poprawny zapis daje pięć, a błędne $5xy$ też pięć — tu akurat się zgadza.
$3 + 2 = 5, \quad 5 \cdot 1 \cdot 1 = 5$
2
Ale weź $x = 2$ i $y = 3$ . Poprawnie wychodzi dwanaście, a $5xy$ daje trzydzieści. Błąd wychodzi natychmiast.
$6 + 6 = 12 \ne 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30$

Wszystkie kroki za Tobą!

Pułapka! Zgubiona litera i sklejone potęgi

Błąd drugi: gubienie litery przy odejmowaniu.

$5x - x$ to $4x$ , a nie $5$ . Litera bez liczby oznacza $1x$ , więc odejmujemy $5 - 1 = 4$ i litera zostaje.

Błąd trzeci: łączenie różnych potęg.

$x + x^2$ zostaje bez zmian. To nie jest $x^3$ ani $2x^2$ .

Poprawne postacie obok częstych błędów

Zestawienie wszystkich trzech pomyłek w jednym miejscu:

Wyrażenie	Poprawnie	Częsty błąd
$3x + 2y$	$3x + 2y$	$5xy$
$5x - x$	$4x$	$5$
$x + x^2$	$x + x^2$	$x^3$
$2a + 3$	$2a + 3$	$5a$

Ostatni wiersz też jest ważny: liczby nie łączymy z wyrazem literowym. Zapis $2a + 3$ jest gotową odpowiedzią.

Obwód figury zapisany krócej

1
Zadanie: prostokąt ma boki $a$ i $b$ . Zapisz jego obwód, a potem uprość zapis.
$\text{boki: } a, \; b$
2
Obwód to suma wszystkich czterech boków. Zapisujemy je po kolei, dookoła figury.
$O = a + b + a + b$
3
Teraz upraszczamy. Szukamy wyrazów podobnych — dwa razy $a$ i dwa razy $b$ .
$a + a = 2a, \quad b + b = 2b$
4
Zapisujemy uproszczoną postać.
$O = 2a + 2b$
5
To już poprawna odpowiedź, ale można pójść dalej. Oba wyrazy mają wspólny czynnik 2, więc da się go wyłączyć przed nawias.
$O = 2(a + b)$
6
Sprawdzamy obie postacie dla konkretnych boków, na przykład $a = 5$ i $b = 3$ .
$2 \cdot 5 + 2 \cdot 3 = 16$
7
Druga postać: $2(5 + 3) = 2 \cdot 8 = 16$ . Ten sam wynik. Wszystkie trzy zapisy opisują ten sam obwód, ale ostatni jest najkrótszy i najwygodniejszy do liczenia.
$2(a+b) = 16$
Wskazówka
Uproszczone wyrażenie to nie inna liczba, tylko krótsza droga do tej samej odpowiedzi.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Uprość wyrażenie i wybierz poprawną postać wyniku:

6y - y + 4

Ściąga do zapamiętania

Jak upraszczać wyrażenia algebraiczne i czego nie wolno połączyć?

Łącz tylko wyrazy podobne — te z tą samą literą w tej samej potędze. Dodajesz współczynniki, litera zostaje: $3x + 5x = 8x$ .
• Litera bez liczby to $1x$ , więc $5x - x = 4x$ , a nie $5$ .
• Znak wędruje razem ze swoim wyrazem.
• Nie wolno łączyć: $3x + 2y$ zostaje jak jest (to nie $5xy$ ), $x$ i $x^2$ też nie, liczby z wyrazem literowym też nie — $2a + 3$ to gotowa odpowiedź.
• Sprawdzaj przez podstawienie: obie postacie muszą dać ten sam wynik.

Wyrazy podobne, czyli jabłka do jabłek

Które pary wolno połączyć

Uwaga na literę bez liczby

Porządkowanie dłuższych wyrażeń

Trzy kroki na wyrażeniu z czterema wyrazami

Kluczowa zasada: znak wędruje razem z wyrazem

Sprawdzenie sensu upraszczania podstawieniem

Upraszczamy wyrażenie z czterema wyrazami

Pułapka! Łączenie wyrazów, które nie są podobne

Podstawienie demaskuje ten błąd w kilka sekund

Pułapka! Zgubiona litera i sklejone potęgi

Poprawne postacie obok częstych błędów

Obwód figury zapisany krócej

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!