Uczeń rozwiązywał $x + 9 = 20$ i zapisał $x = 29$. Co zrobił źle?

Przeniósł dziewiątkę bez zmiany znaku

Powinien był pomnożyć przez 9

Rozwiązywanie prostych równań — matematyka klasa 6

Cześć! Umiesz już rozwiązywać równania, w których niewiadoma stoi po jednej stronie. Ale co zrobić, gdy iks pojawia się po obu stronach naraz? Tak wygląda zwykłe pytanie z życia: pięć biletów kosztuje tyle samo co dwa bilety i jeszcze 9 zł dopłaty — ile kosztuje jeden bilet? Po zapisaniu to $5x = 2x + 9$ . Albo gdy siedzi w nawiasie? Spokojnie — zasada wagi wciąż obowiązuje. Dziś nauczysz się ją stosować w trudniejszych układach.

Zbierz niewiadome po jednej stronie, liczby po drugiej

Gdy niewiadoma występuje po obu stronach, cel się nie zmienia: chcemy zostawić iksa samego. Trzeba tylko najpierw zebrać wszystkie iksy razem.

3x

12

: 3 po obu stronach

Dzielimy obie strony przez 3

Sposób jest ten sam co zawsze — odejmujemy to samo od obu stron.

Weź równanie $5x = 2x + 9$ . Po prawej stronie przeszkadza nam $2x$ , więc odejmujemy je od obu stron:

$5x - 2x = 2x + 9 - 2x$

$3x = 9$

$x = 3$

Sprawdzenie: $5 \cdot 3 = 15$ oraz $2 \cdot 3 + 9 = 15$ . Obie strony dają 15, więc rozwiązanie jest poprawne.

Ogólny plan działania w czterech krokach

Krok	Co robimy
1	opuść nawiasy, jeśli są
2	zbierz niewiadome po jednej stronie
3	zbierz liczby po drugiej stronie
4	podziel przez współczynnik przy niewiadomej

Praktyczna wskazówka: zbieraj iksy po tej stronie, gdzie jest ich więcej. Wtedy unikniesz liczb ujemnych. W równaniu $2x + 1 = 5x - 8$ wygodniej przenieść wszystko na prawo, bo tam stoi $5x$ .

Nawiasy i skrót zwany przenoszeniem

Nawias w równaniu opuszczamy, mnożąc każdy wyraz w środku przez liczbę stojącą przed nawiasem.

$2(x + 3) = 14$

$2x + 6 = 14$

Dalej idzie już znajomo: $2x = 8$ , więc $x = 4$ .

Uwaga na minus przed nawiasem — wtedy zmieniają się znaki wszystkich wyrazów w środku:

$10 - (x + 2) = 5$ zamienia się w $10 - x - 2 = 5$

Skrót, którego używają wszyscy: przenoszenie na drugą stronę

Zamiast pisać za każdym razem odejmujemy trójkę od obu stron, po prostu przenosimy wyraz na drugą stronę i zmieniamy jego znak:

x + 3

10

− 3 po obu stronach

Przeniesienie trójki to skrót od odjęcia jej po obu stronach

$x + 3 = 10$ → $x = 10 - 3$ → $x = 7$

To nie jest osobna reguła, tylko zapis skrócony tego samego, co robisz dotąd. Dodawanie po jednej stronie zamienia się w odejmowanie po drugiej — bo właśnie odjęliśmy trójkę od obu stron, tylko nie zapisaliśmy tego kroku.

Było	Przenosimy	Wychodzi
$x + 5 = 12$	$+5$ staje się $-5$	$x = 12 - 5$
$x - 3 = 8$	$-3$ staje się $+3$	$x = 8 + 3$
$4x = x + 6$	$x$ staje się $-x$	$4x - x = 6$

Złota zasada przenoszenia: przez znak równości wyraz przechodzi ze zmienionym znakiem.

Równanie z niewiadomą po obu stronach

1
Zadanie: rozwiąż równanie. Iksy stoją po obu stronach, więc najpierw trzeba je zebrać.
$4x + 2 = 2x + 10$
2
Krok pierwszy: nawiasów nie ma, więc od razu zbieramy iksy. Jest ich więcej po lewej, więc tam je zostawiamy — przenosimy $2x$ z prawej na lewo, zmieniając znak.
$4x - 2x + 2 = 10$
3
Redukujemy wyrazy podobne po lewej stronie.
$2x + 2 = 10$
4
Krok drugi: zbieramy liczby po prawej. Przenosimy dwójkę, zmieniając znak na minus.
$2x = 10 - 2$
5
Liczymy prawą stronę.
$2x = 8$
6
Krok trzeci: dzielimy obie strony przez współczynnik przy iksie, czyli przez dwa.
$x = 8 : 2 = 4$
7
Krok czwarty, obowiązkowy: sprawdzenie. Podstawiamy czwórkę do OBU stron pierwotnego równania osobno.
$L = 4 \cdot 4 + 2 = 18$
8
Prawa strona musi dać to samo.
$P = 2 \cdot 4 + 10 = 18 \; \checkmark$
Wskazówka
Sprawdzaj obie strony osobno. Jeśli dają tę samą liczbę, rozwiązanie jest pewne.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Rozwiąż równanie i podaj wartość niewiadomej:

3x - 4 = 11

Pułapka! Przenoszenie bez zmiany znaku

Skrót z przenoszeniem jest wygodny, ale ma jeden warunek: znak musi się zmienić. Zapomnienie o tym to najczęstszy błąd w całym dziale.

Równanie $x + 7 = 12$ . Błędnie: $x = 12 + 7 = 19$ . Sprawdzenie natychmiast to obnaża: $19 + 7 = 26$ , a miało być 12.

Poprawnie: $x = 12 - 7 = 5$ . Sprawdzenie: $5 + 7 = 12$ . Prawda.

Dlaczego znak musi się zmienić? Bo przenoszenie to skrót od odejmowania od obu stron. Skoro po lewej odejmujemy siódemkę, to po prawej też — a odjęcie siódemki od dwunastki daje pięć.

Pułapka! Nawias pomnożony tylko do połowy

Drugi błąd to mnożenie tylko pierwszego wyrazu w nawiasie.

$3(x + 2) = 15$ to $3x + 6 = 15$ , a nie $3x + 2 = 15$ . Liczba przed nawiasem mnoży każdy wyraz w środku.

Zapis	Poprawnie	Częsty błąd
$3(x + 2)$	$3x + 6$	$3x + 2$
$2(x - 5)$	$2x - 10$	$2x - 5$
$-(x + 4)$	$-x - 4$	$-x + 4$

Pułapka! Dzielenie jednej strony i gubienie iksa

Trzeci błąd to dzielenie tylko jednej strony przez współczynnik. Z $3x = 12$ wynika $x = 4$ , ale trzeba podzielić obie strony — po lewej trójki się skracają, po prawej dwanaście dzielimy przez trzy.

Czwarty błąd, drobny: gubienie iksa przy redukcji. $4x - 2x$ to $2x$ , a nie $2$ .

Równanie z nawiasem po obu stronach

1
Zadanie: rozwiąż równanie z nawiasami po obu stronach. Wygląda groźnie, ale plan jest ten sam co zawsze.
$2(x + 3) = 3(x - 1)$
2
Krok pierwszy: opuszczamy nawiasy. Po lewej mnożymy dwójkę przez każdy wyraz w środku.
$2x + 6 = 3(x - 1)$
3
Po prawej trójkę przez każdy wyraz. Uwaga na minus — trzy razy minus jeden daje minus trzy.
$2x + 6 = 3x - 3$
4
Krok drugi: zbieramy iksy. Jest ich więcej po prawej, więc tam zostawiamy — przenosimy $2x$ w prawo ze zmienionym znakiem.
$6 = 3x - 2x - 3$
5
Redukujemy iksy po prawej.
$6 = x - 3$
6
Krok trzeci: zbieramy liczby po lewej. Przenosimy minus trójkę, zmieniając znak na plus.
$6 + 3 = x$
7
Wynik to dziewięć. Współczynnik przy iksie wynosi jeden, więc dzielenia nie trzeba robić.
$x = 9$
8
Sprawdzenie obu stron osobno. Lewa: $2(9 + 3) = 2 \cdot 12 = 24$ . Prawa: $3(9 - 1) = 3 \cdot 8 = 24$ . Zgadza się.
$24 = 24 \; \checkmark$
Wskazówka
Nie bój się, gdy iks wyląduje po prawej stronie. To zupełnie poprawne.