Długość okręgu

1. 1

   Przykład: koło o promieniu 5 cm. Liczymy jego obwód wzorem z promieniem.

   $$L = 2\pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5$$
2. 2

   Wykonujemy mnożenie.

   $$L = 31{,}4 \text{ cm}$$
3. 3

   Sprawdzenie drugim wzorem: średnica to 10 cm, więc liczymy jeszcze raz, tym razem wzorem ze średnicą.

   $$L = \pi d = 3{,}14 \cdot 10 = 31{,}4 \text{ cm}$$
4. 4

   Ten sam wynik. To najlepszy dowód, że oba wzory mówią dokładnie to samo.

   $$2\pi r = \pi d$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: koło rowerowe ma średnicę 70 cm. Jaką drogę pokona rower przy jednym pełnym obrocie koła?

   $$d = 70 \text{ cm}$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A35 cmB109,9 cmC219,8 cm

2. 2

   Zastanówmy się najpierw, dlaczego to w ogóle jest zadanie o obwodzie. Gdy koło robi pełny obrót, styka się z ziemią kolejnymi punktami swojego brzegu — czyli przesuwa się dokładnie o długość swojego okręgu.

   $$\text{droga} = L$$
3. 3

   Szacujemy wynik przed rachunkiem. Obwód to około trzy średnice, czyli mniej więcej 210 cm.

   $$3 \cdot 70 = 210 \text{ cm}$$
4. 4

   Teraz liczymy dokładnie. Mamy średnicę, więc wygodniejszy jest wzór z $d$.

   $$L = \pi d = 3{,}14 \cdot 70$$
5. 5

   Wykonujemy mnożenie.

   $$3{,}14 \cdot 70 = 219{,}8 \text{ cm}$$
6. 6

   Wynik zgadza się z oszacowaniem (210 wobec 219,8), więc jest wiarygodny. Rower przejedzie prawie 2,2 metra na jednym obrocie koła.

   $$219{,}8 \text{ cm} \approx 2{,}2 \text{ m}$$
7. 7

   Dorzućmy pytanie dodatkowe: ile obrotów wykona koło na dystansie 1 km? Zamieniamy kilometr na centymetry i dzielimy przez obwód.

   $$100000 : 219{,}8 \approx 455 \text{ obrotow}$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie podaje średnicę 10 cm. Uczeń bierze wzór $L = 2\pi r$ i wstawia dziesiątkę w miejsce $r$.

   $$L = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10 = 62{,}8 \text{ cm}$$
2. 2

   To jest błąd: w miejsce promienia trafiła średnica, więc wynik wyszedł dwa razy za duży.

   $$d = 10 \ne r$$
3. 3

   Poprawnie: skoro $d = 10$, to $r = 5$.

   $$L = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 = 31{,}4 \text{ cm}$$
4. 4

   Albo prościej, drugim wzorem — tym, który bierze średnicę wprost z treści zadania.

   $$L = \pi d = 3{,}14 \cdot 10 = 31{,}4 \text{ cm}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: okrągły basen ma obwód 31,4 metra. Jaki jest jego promień, a jaka średnica?

   $$L = 31{,}4 \text{ m}$$
2. 2

   Zanim policzymy, oszacujmy. Skoro obwód to około trzy średnice, to średnica powinna wynosić mniej więcej jedną trzecią obwodu.

   $$31{,}4 : 3 \approx 10 \text{ m}$$
3. 3

   Spodziewamy się więc średnicy około 10 m i promienia około 5 m. Teraz liczymy dokładnie, przekształcając wzór.

   $$L = \pi d \Rightarrow d = \frac{L}{\pi}$$
4. 4

   Podstawiamy dane.

   $$d = \frac{31{,}4}{3{,}14} = 10 \text{ m}$$
5. 5

   Promień to połowa średnicy.

   $$r = \frac{10}{2} = 5 \text{ m}$$
6. 6

   Oba wyniki zgadzają się z oszacowaniem. Sprawdzenie w drugą stronę: liczymy obwód z otrzymanego promienia i musimy wrócić do 31,4.

   $$L = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 = 31{,}4 \; \checkmark$$
7. 7

   Ten sam schemat działa dla dowolnych liczb. Przykład: obwód wynosi 62,8 cm. Jaki jest promień?

   $$L = 62{,}8 \text{ cm}$$
8. 8

   Podstawiamy do wzoru przekształconego względem promienia.

   $$r = \frac{62{,}8}{2 \cdot 3{,}14} = \frac{62{,}8}{6{,}28} = 10 \text{ cm}$$
9. 9

   Warto zapamiętać tę parę liczb: promień 5 daje obwód 31,4, a promień 10 — obwód 62,8. Pojawiają się w zadaniach bardzo często.

   $$r = 5 \to L = 31{,}4$$

Wszystkie 9 kroków odsłonięte.