Równania w zadaniach procentowych

około 15 minut

W tej lekcji1/18

Cześć! Bluza po obniżce o 20% kosztuje 96 zł. Ile kosztowała przed obniżką? Podpowiem: NIE 115,20 zł — choć większość ludzi liczy właśnie tak i wpada w pułapkę. Równanie z jedną niewiadomą rozstrzyga sprawę w trzech linijkach. Zobacz jak.

Procent jako mnożenie

Klucz do zadań procentowych: procent z liczby to mnożenie.

0,2x

: 0,2 po obu stronach

Procent też da się zważyć

$p\%$ liczby $x$ to $\frac{p}{100} \cdot x$ . Na przykład $20\%$ liczby $x$ to $0{,}2x$ .

Stąd bierze się najważniejsza tabelka tego działu:

Sytuacja	Zapis
liczba $x$	$x$
$20\%$ liczby $x$	$0{,}2x$
liczba o $20\%$ większa	$1{,}2x$
liczba o $20\%$ mniejsza	$0{,}8x$
liczba o $7\%$ większa	$1{,}07x$
liczba o $45\%$ mniejsza	$0{,}55x$

Skąd te współczynniki

Cena po obniżce o $20\%$ to $100\% - 20\% = 80\%$ ceny wyjściowej, czyli $0{,}8x$ . Po podwyżce o $20\%$ : $100\% + 20\% = 120\%$ , czyli $1{,}2x$ .

Jedno mnożenie zastępuje dwa działania (policz procent, potem odejmij) — a im mniej działań, tym mniej okazji do błędu.

cena wyjściowa: 100% = x

po obniżce o 20%: 80% = 0,8x

sama obniżka: 20% = 0,2x

Od treści zadania do równania

W zadaniach egzaminacyjnych szukana jest zwykle wielkość początkowa: cena przed obniżką, liczba uczniów przed zmianą, kwota przed wpłatą. Wtedy układamy równanie.

Schemat: oznacz wielkość początkową przez $x$ , zapisz zmianę współczynnikiem, przyrównaj do wartości końcowej z zadania.

Bilet przed podwyżką o 15%

1,15x

: 1,15 po obu stronach

Równanie z podwyżką na wadze

1
Po podwyżce o $15\%$ bilet kosztuje 23 zł. Ile kosztował wcześniej?
$x = \text{cena przed podwyzka [zl]}$
2
Cena po podwyżce to $115\%$ ceny wyjściowej, więc przyrównujemy $1{,}15x$ do wartości z zadania.
$1{,}15x = 23$
3
Dzielimy obie strony przez $1{,}15$ .
$x = 23 : 1{,}15 = 20$
4
Sprawdzenie: $15\%$ z 20 zł to 3 zł, a $20 + 3 = 23$ . Zgadza się.
$20 + 3 = 23 \; \checkmark$

Wszystkie kroki za Tobą!

Typowe sformułowania z arkuszy E8

Typowe sformułowania z arkuszy E8 — wszystkie prowadzą do takiego samego równania:

- „Cenę obniżono o $30\%$ i teraz wynosi…” → $0{,}7x = \ldots$
- „Liczba uczniów wzrosła o $10\%$ i wynosi…” → $1{,}1x = \ldots$
- „Po wpłacie stan konta zwiększył się o…” → współczynnik większy od 1

Pytanie „jakim procentem” to dzielenie

1
Osobno stoi pytanie „jakim procentem liczby 40 jest liczba 8?”. Tu nie ma współczynnika do odgadnięcia, tylko dzielenie części przez całość.
$\frac{8}{40} = 0{,}2 = 20\%$
2
Równanie mówi dokładnie to samo — szukamy liczby, przez którą trzeba pomnożyć całość, żeby dostać część.
$40x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 0{,}2$

Wszystkie kroki za Tobą!

Uwaga na kierunek pytania

„O ile procent wzrosła cena z 80 zł do 100 zł?” — wzrost liczymy względem ceny początkowej: $\frac{100-80}{80} = \frac{20}{80} = 25\%$ , a nie względem końcowej.

Bluza z zapowiedzi — cena przed obniżką

1
Zadanie: po obniżce o 20% bluza kosztuje 96 zł. Ile kosztowała przed obniżką?
$96 \text{ zl po obnizce o } 20\%$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Oznaczamy niewiadomą: $x$ to cena PRZED obniżką — bo o nią pyta zadanie.
$x = \text{cena przed obnizka [zl]}$
3
Cena po obniżce o 20% to 80% ceny wyjściowej.
$0{,}8x$
4
Układamy równanie: cena po obniżce równa się 96 zł.
$0{,}8x = 96$
5
Dzielimy obie strony przez $0{,}8$ .
$x = 96 : 0{,}8 = 120$
6
Sprawdzenie w treści: 20% ze 120 zł to 24 zł obniżki.
$0{,}2 \cdot 120 = 24$
7
Nowa cena: 120 minus 24.
$120 - 24 = 96 \; \checkmark$
8
Odpowiedź: przed obniżką bluza kosztowała 120 zł.
$x = 120 \text{ zl}$
Wskazówka
Widzisz, czemu 115,20 zł to błąd? Ktoś doliczył 20% do ceny KOŃCOWEJ. Ale obniżka była liczona od ceny POCZĄTKOWEJ — i to ona jest podstawą procentu.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Po podwyżce o $10\%$ bilet do kina kosztuje 33 zł. Ile złotych kosztował przed podwyżką?

1{,}1x = 33

zł

Pułapka! Procent liczony od złej podstawy

Błąd pierwszy — najgroźniejszy: doliczanie procentu do wartości końcowej.

Bluza po obniżce o $20\%$ kosztuje 96 zł. Błędny tok myślenia: „dodam 20% do 96 zł”, czyli $96 \cdot 1{,}2 = 115{,}20$ zł.

Dlaczego 115,20 zł nie może być poprawne

Dlaczego to złe? Obniżka wynosiła $20\%$ ceny początkowej (czyli 24 zł), a nie $20\%$ ceny końcowej (19,20 zł). Podstawa procentu to zawsze wielkość, od której liczono zmianę.

Kontrola: obniż 115,20 zł o 20% — dostaniesz 92,16 zł, nie 96 zł. Nie zgadza się.

Pułapka! Obniżka i podwyżka o tyle samo procent

Błąd drugi: obniżka i podwyżka o ten sam procent „się znoszą”.

Cena spadła o $20\%$ , potem wzrosła o $20\%$ . Wróciła do początku? Nie!

$x \cdot 0{,}8 \cdot 1{,}2 = 0{,}96x$

Końcowa cena to $96\%$ początkowej — jest o $4\%$ niższa. Podwyżka liczona była od mniejszej kwoty, więc „oddała” mniej, niż zabrała obniżka.

Pułapka! Procenty z dwóch różnych podstaw

Błąd trzeci: procenty dodawane z różnych podstaw.

„W klasie 8a jest o $10\%$ więcej uczniów niż w 8b” nie znaczy, że w 8b jest o $10\%$ mniej niż w 8a.

Obrona przed wszystkimi trzema błędami

Jak się bronić? Zawsze zapisuj, czego procentem jest dana wartość.

Zadanie o oszczędnościach

1
Zadanie: Marek wydał 30% swoich oszczędności na grę. Zostały mu 84 zł. Ile miał oszczędności i ile kosztowała gra?
$\text{wydal } 30\%, \quad \text{zostalo } 84 \text{ zl}$
2
Oznaczamy: $x$ to oszczędności przed zakupem.
$x = \text{oszczednosci [zl]}$
3
Skoro wydał 30%, to zostało mu 70% oszczędności.
$100\% - 30\% = 70\%$
4
Układamy równanie: 70% oszczędności to 84 zł.
$0{,}7x = 84$
5
Dzielimy przez $0{,}7$ .
$x = 84 : 0{,}7 = 120$
6
Miał 120 zł. Gra kosztowała 30% tej kwoty.
$0{,}3 \cdot 120 = 36 \text{ zl}$
7
Sprawdzenie w treści: wydał 36 zł ze 120 zł.
$120 - 36 = 84 \; \checkmark$
8
Odpowiedź: Marek miał 120 zł oszczędności, a gra kosztowała 36 zł.
$x = 120 \text{ zl}, \quad \text{gra: } 36 \text{ zl}$
Wskazówka
Zadanie pytało o DWIE rzeczy. Rozwiązanie równania to dopiero połowa odpowiedzi — nie zapomnij o grze.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ania wydała $45\%$ kieszonkowego na prezent. Zostało jej 66 zł. Ile złotych kieszonkowego miała na początku?

0{,}55x = 66

zł

Ściąga do zapamiętania

Zadanie procentowe na równanie — jak zapisać zmianę i co jest podstawą procentu?

• Procent to mnożenie: o $20\%$ więcej to $1{,}2x$ , o $20\%$ mniej to $0{,}8x$ , wydane $45\%$ zostawia $0{,}55x$
• Schemat: $x$ to wielkość początkowa, zmianę zapisz współczynnikiem, przyrównaj do wartości końcowej
• Podstawa procentu to wielkość, od której liczono zmianę (zwykle początkowa): po obniżce o $20\%$ do $96$ zł cena wyjściowa to $96 : 0{,}8 = 120$ , a nie $96 \cdot 1{,}2$
• Obniżka i podwyżka o ten sam procent nie znoszą się: $0{,}8 \cdot 1{,}2 = 0{,}96$
• Sprawdzenie: wykonaj zmianę „do przodu” od otrzymanego wyniku

Sprawdź się!

Cena $x$ została obniżona o $30\%$ . Które wyrażenie opisuje nową cenę?

Po obniżce o $10\%$ plecak kosztuje 45 zł. Ile kosztował przed obniżką?

Cena wzrosła z 80 zł do 100 zł. O ile procent wzrosła?

Telefon po obniżce o $15\%$ kosztuje 1700 zł. Które równanie pozwala obliczyć cenę $x$ przed obniżką?

Cenę najpierw obniżono o $20\%$ , a potem podwyższono o $20\%$ . Cena końcowa jest:

$8\%$ pewnej liczby wynosi 20. Co to za liczba?

Następny temat

Przekształcanie wzorów — trudniejsze przykłady