Proste prostopadłe i równoległe

około 12 minut

W tej lekcji1/10

Pi-otrek

Spójrz na tory kolejowe. Dwie szyny biegną obok siebie kilometrami i nigdy się nie spotykają. A teraz spójrz na skrzyżowanie ulic — tam dwie drogi krzyżują się dokładnie pod kątem prostym. 🦊 To dwa zupełnie różne układy prostych i każdy ma swoją nazwę.

Proste prostopadłe — przecinają się pod kątem prostym

Dwie proste są prostopadłe, gdy przecinają się pod kątem prostym, czyli pod kątem $90°$ .

Proste prostopadłe tworzą kąt prosty

Zapisujemy to symbolem $\perp$ :

$k \perp l$

Czytamy: prosta $k$ jest prostopadła do prostej $l$ .

Ważne: przy takim przecięciu powstają cztery kąty i każdy z nich ma $90°$ . Wystarczy więc sprawdzić jeden róg.

Prostopadłość widzisz wszędzie: róg kartki, narożnik stołu, słup latarni wbity w chodnik, krawędzie okna.

Proste równoległe — nigdy się nie przetną

Dwie proste są równoległe, gdy nigdy się nie przetną — możesz je przedłużać w nieskończoność i nadal będą biegły obok siebie.

Zapisujemy to symbolem $\parallel$ :

$k \parallel l$

Czytamy: prosta $k$ jest równoległa do prostej $l$ .

Test na równoległość: odległość w poprzek

Jest na to prosty test: odległość między prostymi równoległymi jest wszędzie taka sama. Uwaga — odległość mierzymy zawsze w poprzek, czyli prostopadle do obu prostych. To najkrótsza droga z jednej na drugą; przyłożona ukośnie linijka pokaże więcej, niż wynosi naprawdę. Zmierz w poprzek w jednym miejscu, potem w drugim, potem w trzecim — jeśli za każdym razem wyjdzie tyle samo, proste są równoległe.

Jeśli odległość gdzieś się zmniejsza, to znaczy, że proste się zbiegają i po przedłużeniu w końcu się przetną. Wtedy równoległe nie są.

Pi-otrek

Szyny toru mają wszędzie ten sam rozstaw. Gdyby gdzieś się zwężały, pociąg by wykoleił!

Jak sprawdzić, czy proste są prostopadłe

1
Znajdź punkt, w którym proste się przecinają. Jeśli w zadaniu jeszcze się nie spotykają, przedłuż je linijką aż do spotkania — dopiero wtedy da się zmierzyć kąt.
2
Przyłóż ekierkę jej prostym rogiem do punktu przecięcia. Ekierka ma jeden róg o mierze 90 stopni i to jego używamy.
$\text{rog ekierki} = 90°$
3
Sprawdź, czy obie krawędzie ekierki pokrywają się z prostymi. Jeśli jedna prosta ucieka spod krawędzi, kąt nie jest prosty.
4
Nie masz ekierki? Zmierz kąt kątomierzem. Środek kątomierza połóż na punkcie przecięcia, jedno ramię ustaw na zerze i odczytaj wynik. Jeśli wyszło 90 stopni, proste są prostopadłe.
$\text{kat} = 90° \ \to \ k \perp l$
Pi-otrek
Ekierka jest szybsza, kątomierz dokładniejszy. Ja wolę ekierkę — jeden ruch i wiem. 🦊

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Dwie proste przecinają się, a zmierzony kątomierzem kąt między nimi wynosi 90 stopni. Jakie to proste?

Pułapka! „Nie przecinają się na rysunku” to jeszcze nie „równoległe”

To najczęstszy błąd przy tym temacie. Uczeń widzi na kartce dwa odcinki, które się nie stykają, i od razu mówi: równoległe.

Pi-otrek

Kartka się kończy, prosta nie. Zawsze pytaj: a co dalej, poza kartką?

Prostokąt — jedna figura, oba rodzaje prostych naraz

Prostokąt 8 na 5 — boki przeciwległe równoległe, sąsiednie prostopadłe

1
Weź prostokąt o bokach 8 cm i 5 cm. Nazwijmy jego boki: dwa dłuższe to a i c, dwa krótsze to b i d.
$a = c = 8\,\text{cm}, \quad b = d = 5\,\text{cm}$
2
Boki leżące naprzeciw siebie nigdy się nie przetną, choćbyś je przedłużał bez końca. Odległość między nimi jest wszędzie taka sama i wynosi tyle, ile drugi bok. To boki równoległe.
$a \parallel c, \quad b \parallel d$
3
Boki sąsiednie spotykają się w wierzchołku prostokąta. Każdy róg prostokąta to kąt prosty, więc te boki są prostopadłe.
$a \perp b, \quad b \perp c$
4
Stąd bierze się nazwa: prostokąt to czworokąt, który ma cztery kąty proste. Boki przeciwległe równoległe, sąsiednie prostopadłe — i tak w każdym prostokącie oraz w każdym kwadracie.
Pi-otrek
Prostokąt to ściągawka z całej lekcji. Naprzeciw siebie równoległe, obok siebie prostopadłe. 🏆

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Dwie proste narysowano tak, że odległość między nimi wynosi 3 cm z lewej strony i 3 cm z prawej strony. Jakie to proste?

Ściąga do zapamiętania

Czym różnią się proste prostopadłe od równoległych i jak to sprawdzić?

Prostopadłe przecinają się pod kątem prostym, czyli pod kątem $90°$ — zapis $k \perp l$ . Równoległe nigdy się nie przetną — zapis $k \parallel l$ .
• Przy przecięciu prostopadłym powstają cztery kąty i każdy ma $90°$ , więc wystarczy sprawdzić jeden róg.
• Prostopadłość sprawdzasz ekierką: jej prosty róg przykładasz do punktu przecięcia. Dokładniejszy jest kątomierz.
• Test na równoległość: odległość między prostymi jest wszędzie taka sama. Zmierz w dwóch miejscach — różne wyniki znaczą, że proste gdzieś się przetną.
• Pułapka: „nie przecinają się na rysunku” to jeszcze nie „są równoległe”. Kartka się kończy, prosta nie — przedłuż obie linijką i sprawdź.
• W prostokącie boki przeciwległe są równoległe ( $a \parallel c$ ), a sąsiednie prostopadłe ( $a \perp b$ ).

Sprawdź się!

Pod jakim kątem przecinają się proste prostopadłe?

Który symbol oznacza, że proste są równoległe?

Kasia zmierzyła odległość między dwiema prostymi: z lewej strony wyszło 2 cm, a z prawej 5 cm. Na kartce proste jeszcze się nie spotkały. Czy są równoległe?

Jak najszybciej sprawdzić, czy dwie przecinające się proste są prostopadłe?

W prostokącie ABCD bok AB leży naprzeciw boku CD. Jakie to boki?

Następny temat

Mierzenie długości