Prędkość średnia

około 12 minut

W tej lekcji1/14

Wracasz z rodzinnej wycieczki. Tata mówi: jechaliśmy średnio 45 km/h. Ale zaraz — licznik pokazywał raz 90, raz 60, a na stacji benzynowej staliśmy pół godziny i pokazywał zero! Skąd niby wiadomo, ile wynosiła ta jedna, wspólna prędkość całej podróży?

Jedna liczba dla całej podróży

W prawdziwej podróży prędkość ciągle się zmienia: rozpędzasz się, zwalniasz przed zakrętem, stoisz na światłach. Żeby opisać całą trasę jedną liczbą, fizycy wymyślili prędkość średnią.

po 1 h

po 2 h

Droga w kilometrach. Prędkość średnia 45 km/h znaczy: tak, jakby auto jechało bez przerw równo 45 km w każdej godzinie — te same 90 km w te same 2 h

$v_{\text{śr}} = \frac{s}{t}$

gdzie $s$ to cała przebyta droga, a $t$ to cały czas podróży.

I tu jest sedno: do czasu $t$ wliczamy wszystko — także postoje, przerwy i korki. Prędkość średnia odpowiada na pytanie: z jaką stałą prędkością musiałbym jechać bez zatrzymywania, żeby pokonać tę samą drogę w tym samym czasie?

Dlatego przerwa na stacji obniża prędkość średnią, choć samochód wtedy w ogóle się nie rusza — czas płynie, a droga nie rośnie.

Średnia czy chwilowa? Dwie różne liczby

Prędkość średnią łatwo pomylić z prędkością chwilową — tą, którą ciało ma w jednym konkretnym momencie.

Prędkość chwilowa	Prędkość średnia
dotyczy jednej chwili	dotyczy całej trasy
ciągle się zmienia	jedna liczba na całą podróż
pokazuje ją licznik w aucie	liczymy ją ze wzoru $v_{\text{śr}} = \frac{s}{t}$

Fotoradar kontra odcinkowy pomiar prędkości

Oba rodzaje prędkości spotkasz na drodze. Zwykły fotoradar robi zdjęcie i mierzy prędkość chwilową — wystarczy zwolnić przed nim na moment.

Odcinkowy pomiar: 10 km w 6 minut

1
Kamery zapisały wjazd i zjazd z odcinka o długości 10 km, a przejazd trwał 6 minut. Skoro droga jest w kilometrach, a wynik ma być w km/h, to czas musi wejść w godzinach — dlatego minuty zamieniamy najpierw na godziny.
$s = 10\text{ km},\quad t = 6\text{ min} = 0{,}1\text{ h}$
2
Dzielimy długość odcinka przez czas przejazdu.
$v_{\text{śr}} = \frac{10\text{ km}}{0{,}1\text{ h}} = 100\ \text{km/h}$
3
Porównujemy wynik z limitem. Jeśli limit to 90 km/h, kierowca dostanie mandat — nawet jeśli akurat przy kamerze zwolnił do 70.
Wskazówka
Uwaga na jednostki: podstawione minuty zamiast godzin dałyby 1,67 km na minutę, czyli zupełnie inną liczbę. I zapamiętaj — fizyki nie da się oszukać zwalnianiem na chwilę.

Wszystkie kroki za Tobą!

Podróż z przerwą krok po kroku

1
Rodzina przejechała 90 km. Sama jazda trwała 1,5 h, a po drodze była jeszcze przerwa 0,5 h na stacji. Wypisujemy dane.
$s = 90\text{ km},\quad t_{\text{jazdy}} = 1{,}5\text{ h},\quad t_{\text{przerwy}} = 0{,}5\text{ h}$
2
Liczymy CAŁY czas podróży — przerwa też się liczy, bo zegar podczas niej nie staje.
$t = 1{,}5\text{ h} + 0{,}5\text{ h} = 2\text{ h}$
3
Podstawiamy do wzoru na prędkość średnią: cała droga przez cały czas.
$v_{\text{śr}} = \frac{s}{t} = \frac{90\text{ km}}{2\text{ h}}$
4
Wykres s(t) całej podróży: przez 1,5 h droga rośnie do 90 km, a przez ostatnie pół godziny wykres jest poziomy — auto stoi na stacji, ale zegar idzie dalej i te 0,5 h wchodzi do prędkości średniej
Dzielimy i zapisujemy wynik z jednostką.
$v_{\text{śr}} = 45\ \text{km/h}$
Wskazówka
Gdyby ktoś zapomniał o przerwie, podzieliłby 90 przez 1,5 i dostał 60 km/h. Ale to byłaby średnia prędkość jazdy, a nie całej podróży.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Rowerzystka przejechała 24 km. Jazda zajęła jej 1,5 h, a w połowie trasy odpoczywała 0,5 h. Ile wynosi jej prędkość średnia w km/h?

Pułapka! Średnia z 60 i 40 to NIE 50

Oto najsłynniejsza pułapka całej kinematyki. Samochód jedzie do miasta oddalonego o 120 km z prędkością 60 km/h, a wraca tą samą trasą z prędkością 40 km/h. Jaka jest prędkość średnia?

Kusząca zła odpowiedź: $\frac{60 + 40}{2} = 50\ \text{km/h}$ . Wygląda rozsądnie — i jest błędna.

Wolniejszy odcinek trwa dłużej i waży więcej

Dlaczego zwykła średnia zawodzi? Bo samochód jechał wolniej DŁUŻEJ. Z prędkościami nie wolno robić zwykłej średniej arytmetycznej, gdy trwały różnie długo.

Trzeba wrócić do definicji: cała droga przez cały czas. Dopiero ten rachunek uwzględni, że wolniejszy odcinek zajął więcej godzin.

Ta sama trasa tam i z powrotem — rachunek

1
Liczymy czas jazdy w jedną stronę: 120 km z prędkością 60 km/h.
$t_1 = \frac{120\text{ km}}{60\ \text{km/h}} = 2\text{ h}$
2
Teraz czas powrotu — ta sama trasa, ale wolniej.
$t_2 = \frac{120\text{ km}}{40\ \text{km/h}} = 3\text{ h}$
3
Sumujemy całą drogę i cały czas podróży.
$s = 120 + 120 = 240\text{ km},\quad t = 2 + 3 = 5\text{ h}$
4
Dzielimy całą drogę przez cały czas.
$v_{\text{śr}} = \frac{240\text{ km}}{5\text{ h}} = 48\ \text{km/h}$
Wskazówka
Wynik 48, a nie 50 — bo powrót z prędkością 40 km/h trwał aż 3 z 5 godzin i mocniej ciągnie średnią w dół.

Wszystkie kroki za Tobą!

Dlaczego wolniejsza połowa trasy waży więcej

Na rysunku obok siebie stoją czasy obu odcinków tej samej trasy. Powrót z prędkością 40 km/h trwał 3 godziny, a jazda tam z prędkością 60 km/h tylko 2 godziny.

Z pięciu godzin podróży aż trzy samochód spędził w wolniejszym tempie — dlatego prędkość średnia wypada bliżej 40 niż 60, czyli poniżej średniej arytmetycznej.

2 h

3 h

Cała podróż w trzech etapach

1
Samochód najpierw jedzie 60 km trasą szybkiego ruchu przez 1 h, potem staje na 0,5 h na obiad, a na koniec pokonuje 40 km bocznymi drogami w 0,5 h. Liczymy całą drogę.
$s = 60\text{ km} + 40\text{ km} = 100\text{ km}$
2
Liczymy cały czas — jazda, obiad, jazda. Wszystko.
$t = 1\text{ h} + 0{,}5\text{ h} + 0{,}5\text{ h} = 2\text{ h}$
3
Dzielimy całą drogę przez cały czas.
$v_{\text{śr}} = \frac{100\text{ km}}{2\text{ h}} = 50\ \text{km/h}$
Wskazówka
Zauważ: na pierwszym etapie licznik pokazywał około 60 km/h, na ostatnim 80 km/h, a na parkingu zero. Prędkość średnia, 50 km/h, nie równa się żadnej z nich — i to jest zupełnie w porządku.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Autobus jedzie do sąsiedniego miasta oddalonego o 30 km z prędkością 60 km/h, a wraca tą samą trasą z prędkością 30 km/h. Ile wynosi prędkość średnia całej podróży w km/h? Uwaga: to nie jest 45!

Ściąga do zapamiętania

Prędkość średnia — jak ją liczyć i czym różni się od chwilowej?

v śr = s / t: CAŁA droga podzielona przez CAŁY czas podróży, razem z postojami i przerwami. Nigdy nie licz jej jako średniej arytmetycznej prędkości! Przykład: 120 km tam z prędkością 60 km/h (2 h) i z powrotem z 40 km/h (3 h) daje 240 km : 5 h = 48 km/h, a nie 50. Prędkość chwilowa to prędkość w danym momencie — pokazuje ją licznik w aucie. Prędkość średnią mierzy odcinkowy pomiar prędkości: długość odcinka podzielona przez czas przejazdu.

Sprawdź się!

Wykres pokazuje, jak rosła droga samochodu w czasie całej podróży. Ile wynosi prędkość średnia tej podróży?

Droga samochodu w czasie podróży

Samochód jedzie do miasta oddalonego o 120 km z prędkością 60 km/h, a wraca z prędkością 40 km/h. Ile wynosi prędkość średnia całej podróży?

Które urządzenie wyznacza prędkość ŚREDNIĄ pojazdu?

Wykres pokazuje prędkość pociągu przez całą podróż. Ile wynosi prędkość średnia tej podróży?

Prędkość pociągu w kolejnych godzinach podróży

Rowerzystka wjeżdża pod górę na trasie 12 km z prędkością 12 km/h, a wraca tą samą trasą z prędkością 24 km/h. Ile wynosi prędkość średnia całej wycieczki?

Następny temat

Ruch jednostajnie przyspieszony