Droga w ruchu przyspieszonym

około 15 minut

W tej lekcji1/18

Znak przy szkole każe zwolnić do 30 km/h, a kierowcy narzekają, że to przesada — przecież 60 km/h to tylko dwa razy szybciej. Otóż nie tylko. Auto jadące dwa razy szybciej potrzebuje na zatrzymanie nie dwa razy, tylko CZTERY razy dłuższej drogi. I to nie jest opinia drogówki, tylko wniosek ze wzoru, który dziś sam wyprowadzisz. Zaczniemy od czegoś, co już znasz: od pola pod wykresem prędkości.

Wyprowadzamy wzór z pola pod wykresem v(t)

Na poprzedniej lekcji liczyliśmy prędkość ciała, które rusza z miejsca i przyspiesza jednostajnie: $v = a \cdot t$ . Ale prędkość to nie wszystko — zwykle chcemy wiedzieć, ile metrów ciało przejechało. I tu wraca sztuczka z lekcji o wykresach: drogę odczytuje się jako pole pod wykresem prędkości.

Pod rosnącą prostą leży trójkąt

W ruchu jednostajnym wykres $v(t)$ był linią poziomą, więc pod nią leżał prostokąt — i stąd wychodziło zwykłe $s = v \cdot t$ .

Wykres v(t) roweru o przyspieszeniu 2 m/s². Prosta, oś czasu i przerywana kreska w chwili 3 s zamykają trójkąt o podstawie 3 s i wysokości 6 m/s — jego pole to droga 9 m

Teraz jest ciekawiej. W ruchu jednostajnie przyspieszonym wykres $v(t)$ to prosta rosnąca wychodząca z zera. Pod taką prostą nie ma prostokąta. Jest trójkąt: jego podstawa to czas jazdy $t$ , a jego wysokość to prędkość osiągnięta na końcu, czyli $v = a \cdot t$ .

Od pola trójkąta do wzoru na drogę

1
Pole trójkąta znasz z matematyki: połowa podstawy razy wysokość. Podstawą jest czas $t$ , a wysokością prędkość końcowa $v = a \cdot t$ .
$s = \frac{1}{2} \cdot t \cdot v = \frac{1}{2} \cdot t \cdot a \cdot t$
2
Czas mnoży się tu sam przez siebie, więc $t$ razy $t$ zapisujemy jako $t^2$ . Tak powstaje wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym przy starcie z miejsca.
$s = \frac{a t^2}{2}$
Wskazówka
Trzy litery, a mieści się w nich cała historia rozpędzania.
3
Sprawdzamy wzór na rowerze z poprzedniej lekcji, tym o przyspieszeniu 2 metry na sekundę do kwadratu. Po 3 sekundach ma on prędkość 6 metrów na sekundę.
$v = a \cdot t = 2 \cdot 3 = 6\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$
4
Trójkąt pod wykresem ma więc podstawę 3 sekundy i wysokość 6 metrów na sekundę. Liczymy jego pole.
$s = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9\text{ m}$
5
Ze wzoru wychodzi dokładnie to samo. Zgadza się co do metra.
$s = \frac{2 \cdot 3^2}{2} = \frac{2 \cdot 9}{2} = 9\text{ m}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Uwaga na kolejność działań

We wzorze do kwadratu podnosimy sam czas, nie iloczyn $a \cdot t$ . Najpierw $t^2$ , potem mnożenie przez $a$ , na końcu dzielenie przez 2.

Jednostki też muszą pasować: przyspieszenie w $\frac{m}{s^2}$ , czas w sekundach — wtedy droga wyjdzie w metrach. Prędkość podaną w km/h zamień na m/s (dzieląc przez 3,6), zanim cokolwiek podstawisz.

Drugi sposób: prędkość średnia to połowa końcowej

Ten sam wzór da się dostać zupełnie inaczej, bez rysowania trójkąta. Z lekcji o prędkości średniej wiesz, że

droga $=$ prędkość średnia $\cdot$ czas

Tylko jaka jest prędkość średnia kogoś, kto rusza z zera i równomiernie się rozpędza? Na starcie 0, na końcu $v$ , a po drodze wszystkie wartości pomiędzy — rozłożone równiutko. Średnia z takiej jazdy to po prostu połowa prędkości końcowej.

Ten sam wzór wyprowadzony z prędkości średniej

1
Prędkość średnia przy starcie z zera to połowa prędkości końcowej, a końcowa wynosi $a \cdot t$ .
$v_{\text{śr}} = \frac{v}{2} = \frac{a \cdot t}{2}$
2
Mnożymy prędkość średnią przez czas i znowu wychodzi to samo, co z pola trójkąta.
$s = \frac{a \cdot t}{2} \cdot t = \frac{a t^2}{2}$
3
Ten sposób bywa najszybszy w rachunkach. Rower po 3 sekundach ma 6 metrów na sekundę, więc jechał średnio o połowę wolniej.
$v_{\text{śr}} = \frac{6}{2} = 3\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$
4
Trzy metry na sekundę przez trzy sekundy dają ten sam wynik w dwie sekundy liczenia w głowie.
$s = 3 \cdot 3 = 9\text{ m}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Tabela tego samego roweru

Popatrz teraz na tabelkę tego samego roweru. W lewej kolumnie prędkość, w prawej droga od startu:

Czas od startu	Prędkość $v = a t$	Droga $s = \frac{a t^2}{2}$
1 s	$2 \frac{\text{m}}{\text{s}}$	1 m
2 s	$4 \frac{\text{m}}{\text{s}}$	4 m
3 s	$6 \frac{\text{m}}{\text{s}}$	9 m
4 s	$8 \frac{\text{m}}{\text{s}}$	16 m
5 s	$10 \frac{\text{m}}{\text{s}}$	25 m
6 s	$12 \frac{\text{m}}{\text{s}}$	36 m

Prędkość rośnie równo, droga coraz gwałtowniej

Widzisz różnicę między kolumnami? Prędkość rośnie spokojnie i równo: 2, 4, 6, 8, 10, 12 — za każdym razem o tyle samo. A droga skacze coraz mocniej: 1, 4, 9, 16, 25, 36. W pierwszej sekundzie przybywa 1 metr, w drugiej 3 metry, w trzeciej 5, w czwartej 7. Im dłużej trwa jazda, tym więcej metrów przybywa w każdej kolejnej sekundzie — bo ciało jest wtedy coraz szybsze.

1 m

4 m

9 m

16 m

Motocykl rusza spod świateł

1
Motocykl rusza z miejsca ze stałym przyspieszeniem 4 metry na sekundę do kwadratu. Ile metrów przejedzie przez pierwsze 5 sekund? Wypisujemy dane.
$a = 4\ \frac{m}{s^2}, \quad t = 5\text{ s}, \quad v_0 = 0$
2
Motocykl startuje z miejsca, więc możemy użyć naszego wzoru na drogę.
$s = \frac{a t^2}{2}$
3
Zaczynamy od kwadratu czasu — to zawsze pierwszy krok, zanim cokolwiek pomnożymy.
$t^2 = 5^2 = 25$
4
Teraz mnożymy przez przyspieszenie i dzielimy przez dwa.
$s = \frac{4 \cdot 25}{2} = \frac{100}{2} = 50\text{ m}$
5
Sprawdzamy wynik trójkątem, żeby mieć pewność. Po 5 sekundach prędkość motocykla wynosi 4 razy 5, czyli 20 metrów na sekundę.
$v = a \cdot t = 4 \cdot 5 = 20\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$
6
Wykres v(t) motocykla: trójkąt o podstawie 5 s i wysokości 20 m/s, więc jego pole to 50 m
Trójkąt pod wykresem ma podstawę 5 sekund i wysokość 20 metrów na sekundę. Połowa podstawy razy wysokość daje dokładnie te same 50 metrów. Wzór i rysunek mówią to samo.
$s = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 20 = 50\text{ m}$
Wskazówka
Ja zawsze liczę drugim sposobem na kontrolę: średnia prędkość to połowa z 20, czyli 10 m/s, razy 5 sekund — 50 metrów. Trzy drogi, jeden wynik.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Deskorolka rusza z miejsca z górki ze stałym przyspieszeniem $a = 3 \frac{m}{s^2}$ . Jaką drogę przejedzie w ciągu 4 sekund? Podaj samą liczbę w metrach.

s = \frac{a t^2}{2}

Pułapka! Dwa razy dłużej to CZTERY razy dalej

To najważniejsza rzecz w całej lekcji, a zarazem najczęstsza wpadka. Pytanie brzmi: rower o przyspieszeniu $a = 2 \frac{m}{s^2}$ przejechał w 3 sekundy 9 metrów. Ile przejedzie w 6 sekund?

Odruch podpowiada: czas dwa razy dłuższy, więc droga dwa razy dłuższa — 18 metrów. To błąd. Policzmy:

$s = \frac{2 \cdot 6^2}{2} = \frac{2 \cdot 36}{2} = 36$ m

36 metrów, czyli cztery razy więcej niż 9. Skąd ta czwórka? Bo we wzorze czas siedzi pod kwadratem. Podwajasz czas, a kwadrat podwaja się dwa razy: $2 \cdot 2 = 4$ .

Ten sam rower po 1, 2, 3 i 6 sekundach

1 m

4 m

9 m

36 m

1
Liczymy drogę roweru po pierwszej sekundzie. To będzie nasza miara porównania.
$s = \frac{2 \cdot 1^2}{2} = 1\text{ m}$
2
Po dwóch sekundach droga jest już cztery razy dłuższa niż po jednej, choć czas urósł tylko dwa razy.
$s = \frac{2 \cdot 2^2}{2} = 4\text{ m}$
3
Po trzech sekundach jest dziewięć razy dłuższa.
$s = \frac{2 \cdot 3^2}{2} = 9\text{ m}$
4
A po sześciu sekundach aż trzydzieści sześć razy dłuższa. Czas rośnie 1, 2, 3, 6, a droga 1, 4, 9, 36 — czyli te same liczby podniesione do kwadratu.
$s = \frac{2 \cdot 6^2}{2} = 36\text{ m}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Dwa wzory, dwa zupełnie różne tempa

Pomyłka bierze się z pomieszania dwóch wzorów: tego z poprzedniej lekcji i tego z dzisiejszej.

Wielkość	Wzór	Jak rośnie z czasem
prędkość	$v = a \cdot t$	liniowo: 2 razy dłużej to 2 razy szybciej
droga	$s = \frac{a t^2}{2}$	z kwadratem: 2 razy dłużej to 4 razy dalej

Prędkość naprawdę rośnie liniowo — tu odruch nie kłamie. Ale droga nie, bo w każdej kolejnej sekundzie ciało jest już szybsze i zgarnia więcej metrów niż w poprzedniej.

Odruch, który rozbraja pułapkę

Zanim pomnożysz cokolwiek przez 2, sprawdź, czy liczysz prędkość, czy drogę. Przy drodze mnożnik podnosisz do kwadratu: 2 razy dłużej to 4 razy dalej, 3 razy dłużej to 9 razy dalej, 10 razy dłużej to 100 razy dalej.

Dlaczego droga hamowania rośnie tak strasznie szybko

1
Teraz najważniejsze zastosowanie w twoim życiu, choć jeszcze nie prowadzisz auta. Samochód jedzie 10 metrów na sekundę, czyli 36 km/h, i kierowca hamuje ze stałym opóźnieniem 5 metrów na sekundę do kwadratu. Ile metrów przejedzie, zanim stanie?
$v = 10\ \frac{\text{m}}{\text{s}}, \quad a = 5\ \frac{m}{s^2}$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Najpierw czas hamowania. Prędkość maleje o 5 metrów na sekundę w każdej sekundzie, więc od 10 do zera schodzi w dwie sekundy.
$t = \frac{10}{5} = 2\text{ s}$
3
Wykres v(t) hamowania z 10 m/s. Prosta, oś pionowa i oś czasu zamykają trójkąt o polu 10 m — to droga hamowania
Teraz droga. Prędkość spada równomiernie od 10 do zera, więc średnia prędkość hamowania to jej połowa, czyli 5 metrów na sekundę. Mnożymy przez czas.
$s = 5\ \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 2\text{ s} = 10\text{ m}$
4
Dziesięć metrów, czyli dwie długości auta. A teraz to samo auto jedzie dwa razy szybciej: 20 metrów na sekundę, czyli 72 km/h. Hamulce są te same, więc opóźnienie też. Liczymy czas hamowania.
$t = \frac{20}{5} = 4\text{ s}$
5
Średnia prędkość to znów połowa początkowej, czyli 10 metrów na sekundę. Mnożymy przez cztery sekundy.
$s = 10\ \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 4\text{ s} = 40\text{ m}$
6
- start z 10 m/s: droga 10 m
- start z 20 m/s: droga 40 m
Oba hamowania mają to samo nachylenie, bo hamulce są te same. Ale trójkąt szybszego auta jest dwa razy wyższy i dwa razy szerszy, więc jego pole jest cztery razy większe
Czterdzieści metrów zamiast dziesięciu. Prędkość wzrosła dwa razy, a droga hamowania CZTERY razy. Dlaczego? Bo podwojenie prędkości podwaja jednocześnie dwie rzeczy: czas hamowania i średnią prędkość na tym odcinku. Dwa razy dłużej i dwa razy szybciej to razem cztery razy dalej.
$2 \cdot 2 = 4$
7
Dlatego przy szkole obowiązuje 30 km/h, a nie 60. I dlatego kierowca, który przy 50 km/h zdążyłby stanąć przed przechodzącym dzieckiem, przy 100 km/h wjedzie w nie prawie z pełną prędkością.
$s = \frac{a t^2}{2}$
Wskazówka
Do tego dochodzi jeszcze droga reakcji — te metry, które auto przejeżdża, zanim noga w ogóle dotknie hamulca. Ta akurat rośnie zwyczajnie, dwa razy szybciej to dwa razy dalej. Ale sam odcinek hamowania rośnie z kwadratem i to on decyduje.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Sanki ruszają z miejsca i zjeżdżają ze stoku ze stałym przyspieszeniem. Zmierzono, że przez pierwsze 2 sekundy przejechały 4 metry. Jaką drogę od startu będą miały za sobą po 6 sekundach zjazdu? Podaj samą liczbę w metrach.

s = \frac{a t^2}{2}

Ściąga do zapamiętania

Wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym (start z miejsca) — i jak droga zależy od czasu?

Start z miejsca: $s = \frac{a \cdot t^2}{2}$ .
• Skąd wzór: droga to pole pod wykresem $v(t)$ , a pod rosnącą prostą leży trójkąt o podstawie $t$ i wysokości $v = a \cdot t$ .
• Druga droga do tego samego: droga to prędkość średnia razy czas, a przy starcie z zera średnia to połowa końcowej.
• Kolejność działań: najpierw $t^2$ , potem razy $a$ , na końcu przez $2$ . Dla $a = 2\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ i $t = 3\ \text{s}$ : $s = \frac{2 \cdot 9}{2} = 9\ \text{m}$ .
• Droga rośnie z kwadratem czasu: dwa razy dłużej to cztery razy dalej (po $3\ \text{s}$ jest $9\ \text{m}$ , po $6\ \text{s}$ aż $36\ \text{m}$ , a nie $18$ ), trzy razy dłużej to dziewięć razy dalej. Prędkość $v = a \cdot t$ rośnie zwyczajnie, liniowo — i stąd bierze się pomyłka.
• W życiu: droga hamowania przy dwa razy większej prędkości jest cztery razy dłuższa — z $10\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ auto staje po $10\ \text{m}$ , z $20\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ dopiero po $40\ \text{m}$ .

Sprawdź się!

Ciało rusza z miejsca i porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Którym wzorem policzysz przebytą przez nie drogę?

Wykres pokazuje prędkość samochodu, który rusza z miejsca i przyspiesza jednostajnie. Jaką drogę przejedzie przez pierwsze 5 sekund?

Prędkość samochodu w kolejnych sekundach jazdy; przerywane linie pokazują odczyt w chwili 5 s

Rowerzysta rusza z miejsca ze stałym przyspieszeniem i przez pierwsze 4 sekundy przejeżdża 8 metrów. Jaką drogę od startu będzie miał za sobą po 8 sekundach?

Samochód hamujący z prędkości 50 km/h potrzebuje na zatrzymanie 15 metrów. Ile metrów będzie potrzebował ten sam samochód hamujący z prędkości 100 km/h?

Ciało rusza z miejsca i przyspiesza jednostajnie, więc jego wykres v(t) jest prostą rosnącą wychodzącą z zera. Jaka figura leży pod tym wykresem i co oznacza jej pole?

Wykres v(t) ciała ruszającego z miejsca

Następny temat

Rodzaje i skutki oddziaływań