Monety, kostki i losowanie kul

1. 1

   Dwa orły daje tylko wynik OO — jeden z czterech.

   $$P(\text{dwa orly}) = \frac{1}{4}$$
2. 2

   Dokładnie jednego orła dają OR i RO — dwa z czterech.

   $$P(\text{dokladnie jeden orzel}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
3. 3

   Zauważ: „dokładnie jeden orzeł” jest dwa razy bardziej prawdopodobne niż „dwa orły”, właśnie dlatego, że można je osiągnąć na dwa sposoby.

4. 4

   Co najmniej jednemu orłowi sprzyjają OO, OR i RO.

   $$P(\text{co najmniej jeden orzel}) = \frac{3}{4}$$
5. 5

   Przy trzech monetach wyników jest osiem: OOO, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR. Trzy orły to tylko jeden z nich.

   $$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \; \Rightarrow \; P(\text{trzy orly}) = \frac{1}{8}$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Suma 7: przekątna z siódemkami ma 6 pól.

   $$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$
2. 2

   Suma 12: tylko jedno pole, bo trzeba 6 i 6.

   $$P = \frac{1}{36}$$
3. 3

   Suma 5: pola $1{+}4$, $2{+}3$, $3{+}2$, $4{+}1$ — cztery.

   $$P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$
4. 4

   Na obu kostkach tyle samo oczek: przekątna 1–1, 2–2, ..., 6–6 to 6 pól.

   $$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$
5. 5

   Teraz widać, dlaczego gracze czekają na siódemkę: da się ją uzyskać na sześć sposobów, a dwunastkę tylko na jeden.

   $$6 > 1$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Dodajemy wysokości wszystkich słupków.

   $$1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36$$
2. 2

   To dokładnie tyle, ile jest wszystkich par. Nic nie zginęło i nic nie policzyliśmy dwa razy.

   $$36 = 6 \cdot 6$$
3. 3

   Stąd siódemka jest sześć razy bardziej prawdopodobna niż dwójka.

   $$P(\text{suma } 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}, \quad P(\text{suma } 2) = \frac{1}{36}$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: rzucamy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że suma oczek będzie nie mniejsza niż 10.

   $$\text{suma} \ge 10$$
2. 2

   Krok pierwszy: mianownik. Każdy z 6 wyników pierwszej kostki łączy się z każdym z 6 wyników drugiej.

   $$6 \cdot 6 = 36$$
3. 3

   Krok drugi: wypisujemy pary dające sumę 10.

   $$(4,6), (5,5), (6,4) \Rightarrow 3$$
4. 4

   Pary dające sumę 11.

   $$(5,6), (6,5) \Rightarrow 2$$
5. 5

   Para dająca sumę 12 jest tylko jedna.

   $$(6,6) \Rightarrow 1$$
6. 6

   Krok trzeci: sumujemy wyniki sprzyjające.

   $$3 + 2 + 1 = 6$$
7. 7

   Krok czwarty: wstawiamy do wzoru i skracamy przez 6.

   $$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$
8. 8

   Kontrola z wykresem: słupki dla sum 10, 11 i 12 mają wysokości 3, 2 i 1 — razem 6. Zgadza się.

   $$\frac{1}{6} \; \checkmark$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: w worku jest 6 kul białych i 4 czerwone. Losujemy jedną kulę, zapisujemy kolor i WKŁADAMY ją z powrotem, a potem losujemy drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosujemy kulę czerwoną?

   $$6 \text{ bialych}, \; 4 \text{ czerwone}$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A$\frac{2}{3}$B$\frac{4}{9}$C$\frac{2}{5}$

2. 2

   Skoro kula wróciła do worka, w drugim losowaniu skład jest dokładnie taki sam jak na początku. Wszystkich kul jest 10, czerwonych 4.

   $$P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$
3. 3

   Teraz wersja BEZ zwracania: pierwsza wylosowana kula była biała i została odłożona na bok. Ile kul zostało w worku?

   $$10 - 1 = 9$$
4. 4

   • kule białe 5
   • kule czerwone 4

   Ubyła kula biała, więc białych jest 5, a czerwonych nadal 4.

   $$5 \text{ bialych}, \; 4 \text{ czerwone}$$
5. 5

   Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej w drugim losowaniu.

   $$P = \frac{4}{9}$$
6. 6

   Porównajmy: $\frac{2}{5} = \frac{18}{45}$, a $\frac{4}{9} = \frac{20}{45}$. Po wyjęciu białej kuli szansa na czerwoną wzrosła — i to ma sens, bo białych ubyło.

   $$\frac{18}{45} < \frac{20}{45}$$
7. 7

   Wniosek: przy losowaniu BEZ zwracania po każdym losowaniu przeliczasz zawartość worka od nowa. Przy losowaniu ZE zwracaniem nic się nie zmienia.

   $$\frac{4}{9} > \frac{2}{5}$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.

1. 1

   Idź po pierwszej kostce od 1 do 6 i za każdym razem sprawdzaj, czy istnieje pasująca druga.

   $$(1, 7) \; \text{nie istnieje}$$
2. 2

   Dla sumy 8 pasujące pary wypisujemy po kolei, aż skończą się liczby na pierwszej kostce.

   $$(2,6), \; (3,5), \; (4,4), \; (5,3), \; (6,2)$$
3. 3

   Uwaga: para z dwiema takimi samymi liczbami, jak $(4,4)$, występuje tylko raz.

   $$P(\text{suma } 8) = \frac{5}{36}$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.