Czym różni się $\sqrt{-16}$ od $\sqrt[3]{-8}$?

Pierwszy nie istnieje, drugi wynosi $-2$

Pierwszy wynosi $-4$, drugi nie istnieje

Pierwiastek sześcienny — matematyka klasa 7

Cześć! Sześcienne pudełko mieści 125 centymetrów sześciennych. Jaką ma krawędź? Szukasz liczby, która pomnożona przez siebie TRZY razy daje 125 — to piątka. I to właśnie jest pierwiastek sześcienny. Ma on jedną własność, której brakuje pierwiastkowi kwadratowemu: potrafi poradzić sobie z liczbami ujemnymi.

Trzy czynniki zamiast dwóch

Pierwiastek sześcienny z liczby $a$ to taka liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje $a$ .

0

9

18

27

∛8 = 2

∛27 = 3

Pierwiastek sześcienny cofa podnoszenie do trzeciej potęgi

Zapisujemy go z trójką przy znaku pierwiastka:

$\sqrt[3]{125} = 5$ , bo $5^3 = 125$

To działanie odwrotne do podnoszenia do sześcianu, tak jak pierwiastek kwadratowy jest odwrotny do kwadratu.

Sześciany, które warto znać na pamięć

$n$	$n^3$
1	1
2	8
3	27
4	64
5	125
6	216
10	1000

Czytając od prawej: $\sqrt[3]{27} = 3$ , $\sqrt[3]{216} = 6$ , $\sqrt[3]{1000} = 10$ .

Zauważ, jak szybko rosną sześciany w porównaniu z kwadratami:

$n$	$n^2$	$n^3$
5	25	125
10	100	1000

Dlatego pierwiastki sześcienne nawet z dużych liczb dają niewielkie wyniki — pierwiastek sześcienny z tysiąca to zaledwie dziesięć.

Sześcian o krawędzi 3: stąd bierze się liczba 27 w tabeli objętość 27 cm³

Kluczowa różnica: liczby ujemne

Tu pojawia się najważniejsza różnica między oboma pierwiastkami.

Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej ISTNIEJE

$\sqrt[3]{-8} = -2$ , bo $(-2)^3 = -8$

Dlaczego to działa, a przy pierwiastku kwadratowym nie? Bo wykładnik trzy jest nieparzysty. Trzy minusy nie zjadają się parami — jeden zostaje, więc wynik może być ujemny.

Przy kwadracie wykładnik jest parzysty, więc wynik zawsze wychodzi dodatni — i dlatego $\sqrt{-9}$ nie istnieje.

Pierwiastek	Z liczby dodatniej	Z liczby ujemnej
kwadratowy	istnieje, dodatni	nie istnieje
sześcienny	istnieje, dodatni	istnieje, ujemny

Stąd praktyczna reguła: pierwiastek sześcienny zachowuje znak liczby podpierwiastkowej.

$\sqrt[3]{64} = 4$ oraz $\sqrt[3]{-64} = -4$

Ułamki pod pierwiastkiem i liczby niewymierne

Pierwiastki sześcienne z ułamków działają jak zawsze — obejmują oba piętra:

1

1,25

1,5

1,75

2

pierwiastek sześcienny z 2

Pierwiastek sześcienny z 2 leży między 1 a 2, w okolicy 1,26 — i żadnym ułamkiem nie da się go zapisać dokładnie

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$ , bo $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$

Podobnie jak przy pierwiastku kwadratowym, większość pierwiastków sześciennych to liczby niewymierne. Na przykład $\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$ ma rozwinięcie nieskończone i nieokresowe.

Znajdujemy krawędź sześciennego pojemnika

1
Zadanie: sześcienny pojemnik ma objętość 216 centymetrów sześciennych. Jaką ma krawędź i jakie pole powierzchni?
$V = 216 \text{ cm szesc.}$
2
Krok pierwszy: objętość sześcianu to krawędź do trzeciej potęgi. Szukamy więc liczby, której sześcian daje 216.
$a^3 = 216$
3
Krok drugi: to pierwiastek sześcienny. Sprawdzamy w pamięci znane sześciany — pięć daje 125, to za mało. Sześć daje 216.
$a = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ cm}$
4
Sprawdzenie: sześć razy sześć to trzydzieści sześć, razy sześć daje dwieście szesnaście. Zgadza się.
$6 \cdot 6 \cdot 6 = 216 \; \checkmark$
5
Krok trzeci: pole powierzchni sześcianu to sześć jednakowych kwadratowych ścian.
$P = 6 \cdot 6^2 = 6 \cdot 36$
6
Liczymy.
$P = 216 \text{ cm kw.}$
7
Ciekawostka: liczby wyszły identyczne — objętość 216 cm sześciennych i pole 216 cm kwadratowych. To przypadek, który zdarza się dokładnie dla krawędzi równej 6. Jednostki są oczywiście różne.
$216 \text{ cm szesc.} \ne 216 \text{ cm kw.}$
8
Sprawdź dla krawędzi 5: objętość 125, ale pole $6 \cdot 25 = 150$ . Już się różnią.
$125 \ne 150$
Wskazówka
Ta sama liczba przy różnych jednostkach to nie ta sama wielkość. Zawsze patrz na jednostkę.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz $\sqrt[3]{27}$ .

\sqrt[3]{27}

Pułapka! Mylenie pierwiastka sześciennego z kwadratowym

Symbole wyglądają podobnie, a trójka przy pierwiastku bywa niezauważona.

$\sqrt{64} = 8$ , ale $\sqrt[3]{64} = 4$

Ta sama liczba pod pierwiastkiem, dwa różne wyniki. Zawsze sprawdzaj, czy przy znaku pierwiastka stoi trójka.

Zapis	Pytanie	Wynik
$\sqrt{64}$	jaka liczba razy siebie daje 64	$8$
$\sqrt[3]{64}$	jaka liczba trzy razy przez siebie daje 64	$4$

Pułapka! Dzielenie przez trzy zamiast pierwiastkowania

Drugi błąd: dzielenie przez trzy. Pierwiastek sześcienny ze 125 to $5$ , a nie $125 : 3 \approx 41{,}7$ . To ta sama pomyłka co przy pierwiastku kwadratowym, tylko z inną liczbą.

Kontrola: podnieś wynik do trzeciej potęgi. Jeśli wychodzi liczba spod pierwiastka, odpowiedź jest dobra.

Trzeci błąd: twierdzenie, że pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej nie istnieje. Istnieje i jest ujemny. To pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje.

Wyrażenie	Wynik
$\sqrt[3]{-27}$	$-3$
$\sqrt{-27}$	nie istnieje

Pułapka! Pierwiastek nie zawsze zmniejsza liczbę

Czwarty błąd: przekonanie, że pierwiastek sześcienny zawsze daje mniejszą liczbę. Dla ułamków właściwych jest odwrotnie: $\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$ , a połowa jest większa od jednej ósmej.

Piąty: zaokrąglanie tam, gdzie pierwiastek nie wychodzi równo. Zapis $\sqrt[3]{5}$ jest dokładny, a $1{,}71$ to przybliżenie.

Ile razy większe pudełko

1
Zadanie: sześcienne pudełko ma objętość 1000 cm sześciennych. Chcemy pudełko o objętości OSIEM RAZY większej. Ile razy dłuższa musi być jego krawędź?
$V_1 = 1000, \quad V_2 = 8000$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy: krawędź pierwszego pudełka.
$a_1 = \sqrt[3]{1000} = 10 \text{ cm}$
3
Krok drugi: krawędź drugiego pudełka. Szukamy liczby, której sześcian daje 8000.
$a_2 = \sqrt[3]{8000} = 20 \text{ cm}$
4
Sprawdzenie: $20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$ . Zgadza się.
$20^3 = 8000 \; \checkmark$
5
Krok trzeci: porównujemy krawędzie.
$20 : 10 = 2 \text{ razy}$
6
Zaskakujący wynik: żeby objętość wzrosła OSIEM razy, krawędź musi być tylko DWA razy dłuższa. Bo dwójka do trzeciej potęgi daje osiem.
$2^3 = 8$
7
To ta sama zasada, którą znasz z pola kwadratu, tylko o jeden wymiar wyżej. Podwojenie długości daje czterokrotny wzrost pola i ośmiokrotny wzrost objętości.
$2^1 = 2, \quad 2^2 = 4, \quad 2^3 = 8$
8
Stąd praktyczny wniosek: pudełko wyglądające na dwa razy większe mieści osiem razy więcej. Warto o tym pamiętać przy pakowaniu i przy ocenianiu wielkości opakowań w sklepie.
$\text{dwa razy dluzsze} = \text{osiem razy pojemniejsze}$
Wskazówka
Podwojenie krawędzi to ośmiokrotny wzrost objętości. Intuicja tego nie podpowiada.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz $\sqrt[3]{-125}$ . Podaj wynik (może być ujemny).

\sqrt[3]{-125}

Ściąga do zapamiętania

Czym pierwiastek sześcienny różni się od kwadratowego?

$\sqrt[3]{a}$ to liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje $a$ : $\sqrt[3]{125} = 5$ , bo $5^3 = 125$ .
• Najważniejsza różnica: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje i zachowuje jej znak, $\sqrt[3]{-8} = -2$ , bo wykładnik jest nieparzysty. Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje.
• Warto znać sześciany do $6^3$ oraz $10^3$ .
• Kontrola: podnieś wynik do trzeciej potęgi.
• Podwojenie krawędzi sześcianu to ośmiokrotny wzrost objętości.

Trzy czynniki zamiast dwóch

Sześciany, które warto znać na pamięć

Kluczowa różnica: liczby ujemne

Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej ISTNIEJE

Ułamki pod pierwiastkiem i liczby niewymierne

Znajdujemy krawędź sześciennego pojemnika

Pułapka! Mylenie pierwiastka sześciennego z kwadratowym

Pułapka! Dzielenie przez trzy zamiast pierwiastkowania

Pułapka! Pierwiastek nie zawsze zmniejsza liczbę

Ile razy większe pudełko

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!