Jak wytłumaczyć pierwiastek jednym obrazem?

Kwadratową działką albo kaflem podłogi. Pole kwadratu to bok razy bok, więc pytanie √36 znaczy: jaki bok ma kwadrat o polu 36? Odpowiedź: 6. Pierwiastek to droga w drugą stronę niż potęgowanie — z pola do boku. Kwadrat 6 na 6 narysowany w kratkę tłumaczy to lepiej niż jakakolwiek definicja.

Dziecko liczy √36 jako 18. Skąd ten pomysł?

Z podobieństwa do dzielenia: skoro „kwadratowy” kojarzy się z dwójką, dziecko dzieli przez 2. Lekarstwem jest stała kontrola: pomnóż wynik przez siebie i sprawdź, czy wraca liczba spod pierwiastka. 18 · 18 = 324, a mieliśmy 36 — pomyłkę widać w dwie sekundy i to dziecko wyłapuje ją samo, bez czekania na czerwony długopis.

Czy naprawdę trzeba uczyć się kwadratów na pamięć?

To najlepiej zainwestowany kwadrans w całym dziale. Kwadraty od 1² do 15², czytane w obie strony (81 to dziewięć do kwadratu, więc √81 = 9), zamieniają większość zadań z pierwiastków i z twierdzenia Pitagorasa w rachunek pamięciowy. Bez nich każde zadanie zaczyna się od szukania kalkulatora, a to zżera cały czas na klasówce.

Pierwiastek kwadratowy

około 15 minut

W tej lekcji1/16

Cześć! Kwadratowy pokój ma pole 36 metrów kwadratowych. Jaki ma bok? Szukasz liczby, która pomnożona przez siebie daje 36 — czyli sześć. I to właśnie jest pierwiastek kwadratowy. To działanie odwrotne do podnoszenia do kwadratu i będzie Ci towarzyszyć przez całą dalszą matematykę, aż po twierdzenie Pitagorasa.

Działanie odwrotne do potęgowania

Pierwiastek kwadratowy z liczby $a$ to taka liczba nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje $a$ .

√9

√25

Pierwiastek cofa podnoszenie do kwadratu

$\sqrt{36} = 6$ , bo $6^2 = 36$

To działanie odwrotne do podnoszenia do kwadratu — tak jak dzielenie jest odwrotne do mnożenia.

$\sqrt{a^2} = a$ (dla $a \ge 0$ ) oraz $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$

Kwadraty, które warto znać na pamięć

Kwadraty, które warto znać na pamięć — bez nich każde zadanie z pierwiastkami będzie męczące:

Kwadrat o boku 12 ma pole 144 — i właśnie dlatego pierwiastek ze 144 wynosi 12 pole: 144 cm²

$n$	$n^2$	$n$	$n^2$
1	1	8	64
2	4	9	81
3	9	10	100
4	16	11	121
5	25	12	144
6	36	13	169
7	49	15	225

Czytając tę tabelę od prawej do lewej, dostajesz gotowe pierwiastki: $\sqrt{144} = 12$ , $\sqrt{169} = 13$ .

Dlaczego pierwiastek jest zawsze nieujemny

Bo tak został zdefiniowany. Owszem, $(-6)^2$ też daje 36, ale symbol $\sqrt{36}$ oznacza z definicji tylko wartość dodatnią, czyli 6. Dzięki temu zapis jest jednoznaczny.

Pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb, które znasz — bo żadna liczba podniesiona do kwadratu nie da wyniku ujemnego.

Pierwiastki z ułamków i liczby niewymierne

Pierwiastek z ułamka obejmuje oba piętra:

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ , bo $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

Z ułamkami dziesiętnymi działa to tak samo: $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ , bo $0{,}5^2 = 0{,}25$ .

Ciekawa własność: pierwiastek z ułamka właściwego jest większy od tego ułamka. Sprawdź: $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ , a $0{,}5 > 0{,}25$ . To odwrotnie niż dla liczb większych od jedynki, gdzie pierwiastek zmniejsza.

Kiedy pierwiastek jest liczbą niewymierną

Gdy liczba pod pierwiastkiem nie jest kwadratem liczby wymiernej. Najsłynniejszy przykład:

√2

√10

Liczby niewymierne mają na osi swoje dokładne miejsce — tylko nie wypadają na żadnej kresce

$\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$

To rozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe, więc $\sqrt{2}$ jest liczbą niewymierną — tak jak pi. Nie da się jej zapisać żadnym ułamkiem zwykłym.

Pierwiastek	Wartość	Rodzaj liczby
$\sqrt{25}$	$5$	wymierna
$\sqrt{\frac{4}{9}}$	$\frac{2}{3}$	wymierna
$\sqrt{2}$	$1{,}414\ldots$	niewymierna
$\sqrt{10}$	$3{,}162\ldots$	niewymierna

W zadaniach zostawiamy takie pierwiastki w postaci symbolicznej. Zapis $\sqrt{2}$ jest dokładny, a $1{,}41$ to już przybliżenie.

Obliczamy bok kwadratowej działki

1
Zadanie: kwadratowa działka ma pole 400 metrów kwadratowych. Jaki ma bok i jaki obwód?
$P = 400 \text{ m kw.}$
2
Krok pierwszy: pole kwadratu to bok razy bok, czyli bok do kwadratu. Szukamy więc liczby, której kwadrat daje 400.
$a^2 = 400$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
3
Krok drugi: to właśnie pierwiastek kwadratowy. Szukamy w pamięci: $20^2 = 400$ .
$a = \sqrt{400} = 20 \text{ m}$
4
Sprawdzenie: dwadzieścia razy dwadzieścia to czterysta. Zgadza się.
$20 \cdot 20 = 400 \; \checkmark$
5
Krok trzeci: obwód kwadratu to cztery boki.
$O = 4 \cdot 20 = 80 \text{ m}$
6
Działka ma bok 20 m i obwód 80 m. A teraz wersja trudniejsza: co gdyby pole wynosiło 500 metrów kwadratowych?
$a^2 = 500$
7
Pięćset nie jest kwadratem żadnej liczby całkowitej. Wiemy jednak, że wynik leży między 22 a 23, bo $22^2 = 484$ , a $23^2 = 529$ .
$22 < \sqrt{500} < 23$
8
Dokładna odpowiedź to $\sqrt{500}$ metrów — i tak właśnie ją zapisujemy. Przybliżenie 22,36 m podajemy tylko wtedy, gdy zadanie tego wymaga.
$a = \sqrt{500} \approx 22{,}36 \text{ m}$
Wskazówka
Gdy pierwiastek nie wychodzi równo, zostaw go w postaci symbolicznej. To odpowiedź dokładna.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz $\sqrt{144}$ .

\sqrt{144}

Pułapka! Dzielenie przez dwa zamiast pierwiastkowania

Najczęstszy błąd początkujących: potraktowanie pierwiastka jak dzielenia przez dwa.

$\sqrt{36}$ to nie $18$ , tylko $6$ . Pierwiastek pyta o liczbę, którą trzeba pomnożyć przez siebie, a nie o połowę.

Zapis	Poprawnie	Częsty błąd
$\sqrt{36}$	$6$	$18$
$\sqrt{100}$	$10$	$50$
$\sqrt{64}$	$8$	$32$

Kontrola: podnieś wynik do kwadratu. Jeśli wychodzi liczba spod pierwiastka, odpowiedź jest poprawna. $18^2 = 324$ , a nie 36 — błąd wychodzi natychmiast.

Drugi błąd: pierwiastek z sumy

Drugi błąd to pierwiastek z sumy.

$\sqrt{9 + 16} \ne \sqrt{9} + \sqrt{16}$

Sprawdź: po lewej $\sqrt{25} = 5$ , po prawej $3 + 4 = 7$ . Zupełnie co innego.

Pierwiastek rozdziela się na iloczyn i iloraz, ale NIGDY na sumę. To ta sama zasada, co przy potęgach.

Trzeci błąd: podawanie dwóch wyników

Trzeci błąd to podawanie dwóch wyników. Zapis $\sqrt{25}$ oznacza wyłącznie $5$ , a nie $\pm 5$ . Owszem, równanie $x^2 = 25$ ma dwa rozwiązania, ale sam symbol pierwiastka jest jednoznaczny i zawsze nieujemny.

Czwarty błąd: pierwiastek z liczby ujemnej

Czwarty błąd to szukanie pierwiastka z liczby ujemnej. Zapis $\sqrt{-9}$ nie istnieje wśród liczb, które znasz — żaden kwadrat nie jest ujemny.

Piąty błąd: zaokrąglanie zamiast symbolu

Piąty błąd to zaokrąglanie zamiast zostawienia symbolu. Odpowiedź $\sqrt{2}$ jest dokładna, a $1{,}41$ tylko przybliżona.

Dlaczego pierwiastek z dwóch nie jest ułamkiem

1
Weź kwadrat o boku 1. Jaka jest długość jego przekątnej? To pytanie zadali sobie starożytni Grecy — i odpowiedź wstrząsnęła całą ich matematyką.
$\text{kwadrat o boku } 1$
2
Z twierdzenia Pitagorasa, które poznasz w kolejnym dziale, przekątna spełnia równanie.
$d^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
3
Czyli przekątna to pierwiastek z dwóch. Grecy byli przekonani, że każdą długość da się zapisać ułamkiem dwóch liczb całkowitych.
$d = \sqrt{2}$
4
Szukali więc takiego ułamka. Sprawdźmy kilka prób. Ułamek trzy drugie daje po podniesieniu do kwadratu dwa i ćwierć — za dużo.
$\left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2{,}25$
5
Siedem piątych daje jeden i czterdzieści dziewięć setnych — za mało.
$\left(\frac{7}{5}\right)^2 = 1{,}96$
6
Siedemnaście dwunastych jest już bardzo blisko, ale wciąż nie dokładnie.
$\left(\frac{17}{12}\right)^2 = \frac{289}{144} \approx 2{,}0069$
7
Można się zbliżać w nieskończoność, ale nigdy nie trafić. Grecy udowodnili, że TAKIEGO UŁAMKA NIE MA — pierwiastek z dwóch jest liczbą niewymierną.
$\sqrt{2} \text{ niewymierna}$
8
Odkrycie było dla nich szokiem, bo burzyło przekonanie, że wszystko da się opisać stosunkiem liczb całkowitych. A przecież ta długość istnieje najzupełniej realnie — możesz ją narysować linijką jako przekątną kwadratu.
$\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\ldots$
Wskazówka
Liczba niewymierna to nie abstrakcja. Przekątna kwadratu o boku 1 ma dokładnie taką długość.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Kwadrat ma pole 169 cm kwadratowych. Ile centymetrów ma jego bok?

a = \sqrt{169}

Ściąga do zapamiętania

Co to jest pierwiastek kwadratowy i czego przy nim nie wolno zrobić?

$\sqrt{a}$ to liczba nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje $a$ — działanie odwrotne do potęgowania: $\sqrt{36} = 6$ , bo $6^2 = 36$ .
• Kontrola: podnieś wynik do kwadratu.
• Warto znać kwadraty do $15^2$ .
• W ułamku pierwiastek obejmuje oba piętra.
• Pierwiastka z liczby ujemnej nie ma. Symbol pierwiastka daje jeden wynik (nieujemny), choć równanie $x^2 = 25$ ma dwa rozwiązania.
• Pierwiastek nie rozdziela się na sumę: $\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .
• Gdy nie wychodzi równo (jak $\sqrt{2}$ ), zostaje zapis symboliczny.

Dla rodzica

Jak wytłumaczyć dziecku pierwiastki?

Jak wytłumaczyć pierwiastek jednym obrazem?: Kwadratową działką albo kaflem podłogi. Pole kwadratu to bok razy bok, więc pytanie $\sqrt{36}$ znaczy: jaki bok ma kwadrat o polu 36? Odpowiedź: 6. Pierwiastek to droga w drugą stronę niż potęgowanie — z pola do boku. Kwadrat 6 na 6 narysowany w kratkę tłumaczy to lepiej niż jakakolwiek definicja.
Dziecko liczy $\sqrt{36}$ jako 18. Skąd ten pomysł?: Z podobieństwa do dzielenia: skoro „kwadratowy” kojarzy się z dwójką, dziecko dzieli przez 2. Lekarstwem jest stała kontrola: pomnóż wynik przez siebie i sprawdź, czy wraca liczba spod pierwiastka. $18 \cdot 18 = 324$ , a mieliśmy 36 — pomyłkę widać w dwie sekundy i to dziecko wyłapuje ją samo, bez czekania na czerwony długopis.
Czy naprawdę trzeba uczyć się kwadratów na pamięć?: To najlepiej zainwestowany kwadrans w całym dziale. Kwadraty od $1^2$ do $15^2$ , czytane w obie strony (81 to dziewięć do kwadratu, więc $\sqrt{81} = 9$ ), zamieniają większość zadań z pierwiastków i z twierdzenia Pitagorasa w rachunek pamięciowy. Bez nich każde zadanie zaczyna się od szukania kalkulatora, a to zżera cały czas na klasówce.

Sprawdź się!

Ile wynosi $\sqrt{81}$ ?

Ile wynosi $\sqrt{\frac{9}{25}}$ ?

Ile wynosi $\sqrt{9 + 16}$ ?

Kwadrat ma pole 121 cm kwadratowych. Jaki ma obwód?

Która z tych liczb jest NIEWYMIERNA?

Następny temat

Pierwiastek sześcienny