Notacja wykładnicza

około 15 minut
W tej lekcji1/16

Cześć! Odległość do Słońca to 149 600 000 000 metrów. Średnica atomu wodoru to 0,0000000001 metra. Spróbuj policzyć zera w obu — łatwo się pomylić, prawda? Dlatego naukowcy używają zapisu, w którym te same liczby wyglądają tak: 1,496⋅10111{,}496 \cdot 10^{11} oraz 10−1010^{-10}. Krótko, czytelnie i bez liczenia zer.

Jak wygląda zapis wykładniczy

Notacja wykładnicza to zapis liczby w postaci:

Jak zamienić liczbę na zapis wykładniczy

1. Przesuń przecinek tak, żeby przed nim została jedna cyfra różna od zera.
2. Policz, o ile miejsc przeskoczył — to wykładnik.
3. Kierunek decyduje o znaku: przesunięcie w lewo daje wykładnik dodatni, w prawo ujemny.

Dlaczego liczba przesunięć trafia do wykładnika

Bo każde przesunięcie przecinka o jedno miejsce w lewo dzieli liczbę przez 10. Żeby wartość się nie zmieniła, trzeba ją zaraz przez 10 pomnożyć — cztery przesunięcia to cztery dzielenia, więc dopisujemy 10410^4. Przy liczbach mniejszych od jedynki przesuwamy w prawo, czyli mnożymy przez 10, i kompensujemy to dzieleniem — stąd wykładnik ujemny.

Bardzo duża i bardzo mała liczba

  1. 1

    Przykład dla 149 600 000 000149\,600\,000\,000: przecinek stoi na końcu, przesuwamy go o 11 miejsc w lewo, aż zostanie 1,4961{,}496. Wykładnik to 1111.

    149 600 000 000=1,496⋅1011149\,600\,000\,000 = 1{,}496 \cdot 10^{11}
  2. 2

    Dla liczby małej, 0,000340{,}00034: przesuwamy przecinek o 4 miejsca w prawo, aż dostaniemy 3,43{,}4. Wykładnik ujemny.

    0,00034=3,4⋅10−40{,}00034 = 3{,}4 \cdot 10^{-4}
Wszystkie kroki za Tobą!

Wszystkie 2 kroków odsłonięte.

Po co to komu i jak w tym liczyć

Notacja wykładnicza ma trzy zalety, które czynią ją niezastąpioną w nauce.

Trzecia: łatwe rachunki

Dzięki wzorom na potęgi mnożenie i dzielenie ogromnych liczb staje się proste.

Uwaga na poprawianie wyniku

Jeśli po pomnożeniu liczba przed potęgą wypadnie poza przedział od 1 do 10, trzeba zapis poprawić:

Zamieniamy liczby w obie strony

  1. 1

    Zadanie: zapisz w notacji wykładniczej liczbę 384 400 000 — to odległość Ziemi od Księżyca w metrach.

    384 400 000384\,400\,000
  2. 2

    Krok pierwszy: przesuwamy przecinek tak, aby przed nim została jedna cyfra różna od zera. Zaczynamy od końca liczby.

    3,8443{,}844
  3. 3

    Krok drugi: liczymy, o ile miejsc przesunęliśmy. Od pozycji za ostatnim zerem do miejsca po trójce — to osiem miejsc.

    8 miejsc w lewo8 \text{ miejsc w lewo}
  4. 4

    Krok trzeci: przesunięcie w lewo oznacza wykładnik dodatni.

    384 400 000=3,844⋅108384\,400\,000 = 3{,}844 \cdot 10^8
  5. 5

    Sprawdzenie: 10810^8 to jedynka z ośmioma zerami, czyli sto milionów. Trzy i osiem dziesiątych setki milionów daje około 384 milionów. Zgadza się.

    3,844⋅100 000 000  ✓3{,}844 \cdot 100\,000\,000 \; \checkmark
  6. 6

    Teraz w drugą stronę. Zapisz zwyczajnie liczbę 2,5⋅10−32{,}5 \cdot 10^{-3}.

    2,5⋅10−32{,}5 \cdot 10^{-3}
  7. 7

    Wykładnik jest ujemny, czyli liczba jest mniejsza od jedynki — przecinek musi powędrować w LEWO o trzy miejsca, dopisując po drodze zera. O kierunku decyduje ZNAK wykładnika, a nie to, w którą stronę przeliczamy.

    2,5→0,25→0,025→0,00252{,}5 \to 0{,}25 \to 0{,}025 \to 0{,}0025
  8. 8

    Wynik to 0,0025. Kontrola sensu: wykładnik ujemny oznacza liczbę mniejszą od jedynki, i tak jest.

    0,0025<1  ✓0{,}0025 < 1 \; \checkmark
Wszystkie kroki za Tobą!

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

Twoja kolej

Zapisz liczbę 45 000 w notacji wykładniczej.

45 000=4,5⋅10?45\,000 = 4{,}5 \cdot 10^{?}

Pułapka! Liczba przed potęgą poza przedziałem

Zapis 50⋅10350 \cdot 10^3 nie jest notacją wykładniczą, choć jego wartość (50 00050\,000) jest poprawna.

Pułapka! Mylenie kierunku przy wykładniku ujemnym

Drugi częsty błąd to pomylenie kierunku przy wykładniku ujemnym.

Pułapka! Zła liczba przesunięć i brak poprawki

Trzeci błąd to zła liczba przesunięć. Dla 60006000 przesuwamy o trzy miejsca, więc 6⋅1036 \cdot 10^3. Łatwo się pomylić o jedno — dlatego zawsze warto sprawdzić: 10310^3 to tysiąc, a sześć tysięcy to faktycznie 60006000.

Czwarty błąd to przy mnożeniu zapominanie o poprawieniu wyniku. Rezultat 35⋅10435 \cdot 10^4 trzeba zapisać jako 3,5⋅1053{,}5 \cdot 10^5.

Rachunki na skalach kosmicznych

  1. 1

    Zadanie: światło biegnie z prędkością 3⋅1083 \cdot 10^8 m/s. Ile metrów pokona w ciągu godziny?

    v=3⋅108 m/sv = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}

    Jak myślisz, ile wyjdzie?

  2. 2

    Krok pierwszy: godzina to 3600 sekund. Zapisujemy tę liczbę też w notacji wykładniczej, żeby móc korzystać ze wzorów.

    3600=3,6⋅103 s3600 = 3{,}6 \cdot 10^3 \text{ s}
  3. 3

    Krok drugi: droga to prędkość razy czas. Mnożymy osobno liczby i osobno potęgi.

    (3⋅3,6)⋅(108⋅103)(3 \cdot 3{,}6) \cdot \left(10^8 \cdot 10^3\right)
  4. 4

    Liczby dają 10,8, a wykładniki się dodają.

    10,8⋅101110{,}8 \cdot 10^{11}
  5. 5

    Krok trzeci: poprawiamy zapis, bo 10,8 wykracza poza przedział od 1 do 10. Przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo i zwiększamy wykładnik.

    1,08⋅1012 m1{,}08 \cdot 10^{12} \text{ m}
  6. 6

    Światło pokonuje w godzinę ponad bilion metrów, czyli około miliarda kilometrów. Dla porównania: odległość Ziemia-Słońce to 1,5⋅10111{,}5 \cdot 10^{11} m.

    1,08⋅10121,5⋅1011\frac{1{,}08 \cdot 10^{12}}{1{,}5 \cdot 10^{11}}
  7. 7

    Dzielimy: liczby przez siebie, wykładniki odejmujemy.

    0,72⋅101=7,20{,}72 \cdot 10^1 = 7{,}2
  8. 8

    Światło pokonuje w godzinę odległość ponad siedem razy większą niż dystans do Słońca. Cały ten rachunek na liczbach kilkunastocyfrowych zajął kilka linijek — to właśnie siła notacji wykładniczej.

    ≈7 razy\approx 7 \text{ razy}
Wszystkie kroki za Tobą!

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

Twoja kolej

Oblicz (4⋅103)⋅(2⋅105)\left(4 \cdot 10^3\right) \cdot \left(2 \cdot 10^5\right) i podaj wykładnik wyniku w poprawnej notacji.

(4⋅103)(2⋅105)(4 \cdot 10^3)(2 \cdot 10^5)

Ściąga do zapamiętania

Jak zapisać liczbę w notacji wykładniczej?

Zapis to a⋅10na \cdot 10^n, gdzie 1≤a<101 \le a < 10 — jedna cyfra przed przecinkiem, różna od zera.
• Zamiana: przesuń przecinek tak, żeby z przodu została jedna cyfra. Liczba przesunięć to wykładnik: w lewo daje wykładnik dodatni (liczba duża), w prawo ujemny (liczba mała).
• Rachunki: przy mnożeniu mnóż liczby i dodaj wykładniki, przy dzieleniu dziel i odejmij.
• Na końcu popraw zapis, jeśli liczba wypadła poza przedział: 20⋅105=2⋅10620 \cdot 10^5 = 2 \cdot 10^6.

Sprawdź się!

Odpowiedziano na 0 z 5 pytań

Skróty klawiszowe quizu: klawisze od 1 do 4 wybierają odpowiedź, Enter sprawdza, a po sprawdzeniu przechodzi do następnego pytania. Każdy przycisk możesz też wybrać Tabem i Spacją.

1

Zapisz 72 000 w notacji wykładniczej.

2

Ile wynosi 5⋅10−35 \cdot 10^{-3} w zapisie zwykłym?

3

Która liczba jest większa: 2⋅1092 \cdot 10^9 czy 8⋅1088 \cdot 10^8?

4

Oblicz (3⋅104)⋅(2⋅106)\left(3 \cdot 10^4\right) \cdot \left(2 \cdot 10^6\right).

5

Wynik obliczeń to 40⋅10540 \cdot 10^5. Jak zapisać go poprawnie w notacji wykładniczej?

Następny temat
Pierwiastek kwadratowy