O ile procent więcej, o ile mniej

1. 1

   Zadanie: bilet kosztował 24 zł, a teraz kosztuje 30 zł. O ile procent podrożał?

   $$24 \text{ zl} \to 30 \text{ zl}$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A20%B25%C125%

2. 2

   Krok pierwszy: liczymy różnicę.

   $$30 - 24 = 6 \text{ zl}$$
3. 3

   Krok drugi: ustalamy podstawę. Pytamy o wzrost, więc podstawą jest cena SPRZED zmiany, czyli 24 zł.

   $$\text{podstawa} = 24$$
4. 4

   Krok trzeci: dzielimy różnicę przez podstawę.

   $$\frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$
5. 5

   Bilet podrożał o 25 procent. Sprawdzenie: $24 \cdot 1{,}25 = 30$. Zgadza się.

   $$24 \cdot 1{,}25 = 30 \; \checkmark$$
6. 6

   A teraz pytanie odwrotne: o ile procent stara cena była niższa od nowej? Teraz podstawą jest 30 zł.

   $$\frac{6}{30} = 0{,}2$$
7. 7

   Stara cena była o 20 procent niższa od nowej. Ta sama różnica sześciu złotych, ale inny procent — bo inna podstawa.

   $$25\% \ne 20\%$$
8. 8

   Zauważ praktyczny wniosek: gdyby bilet miał wrócić do dawnej ceny, musiałby stanieć o 20 procent, a nie o 25 — mimo że o tyle podrożał.

   $$30 \cdot 0{,}8 = 24 \; \checkmark$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Jeśli wzrost wynosi 25 procent, to cena początkowa pomnożona przez $1{,}25$ musi dać nową cenę.

   $$80 \cdot 1{,}25 = 100 \; \checkmark$$
2. 2

   Gdyby wzrost wynosił 20 procent, wyszłoby 96 zł, a nie 100 zł — i od razu widać, że podstawa była zła.

   $$80 \cdot 1{,}2 = 96 \ne 100$$
3. 3

   Pytanie „o ile wzrosła cena z 80 do 100” ma podstawę 80.

   $$\frac{20}{80} = 0{,}25 = 25\%$$
4. 4

   Pytanie „o ile 80 jest mniejsze od 100” ma podstawę 100 — te same liczby, inny wynik.

   $$\frac{20}{100} = 0{,}2 = 20\%$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Sytuacja pierwsza: liczba uczniów w szkole spadła z 500 do 450. O ile procent?

   $$500 \to 450$$
2. 2

   Różnica to 50 osób, a podstawą jest stan początkowy.

   $$\frac{50}{500} = 0{,}1 = 10\%$$
3. 3

   Spadek o 10 procent. Sytuacja druga: cena mieszkania wzrosła z 300 tysięcy na 450 tysięcy. O ile procent?

   $$\frac{150}{300} = 0{,}5 = 50\%$$
4. 4

   Wzrost o 50 procent. Sytuacja trzecia, uważna: firma zwiększyła zyski ze 100 tysięcy do 300 tysięcy. Nagłówek głosi: zyski wzrosły trzykrotnie. Czy to znaczy wzrost o 300 procent?

   $$\frac{200}{100} = 2 = 200\%$$
5. 5

   Nie! Wzrost wynosi 200 procent, choć zyski są TRZY RAZY większe. To dwie różne rzeczy i media notorycznie je mylą.

   $$\text{trzy razy wiecej} = \text{wzrost o } 200\%$$
6. 6

   Zapamiętaj zależność: dwa razy więcej to wzrost o 100 procent, trzy razy więcej to wzrost o 200 procent.

   $$n \text{ razy wiecej} = \text{wzrost o } (n-1) \cdot 100\%$$
7. 7

   Sytuacja czwarta: sklep reklamuje ceny niższe o 150 procent. Czy to możliwe?

   $$\text{spadek o } 150\% \; ?$$
8. 8

   Nie jest. Spadek o 100 procent oznaczałby cenę zero, a większy — że sklep dopłaca do zakupów. Taka reklama to po prostu błąd albo manipulacja.

   $$\text{spadek} \le 100\%$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.