Które zdanie o odejmowaniu jest prawdziwe?

Wyniki $3 - 7$ i $7 - 3$ są liczbami przeciwnymi

$3 - 7$ i $7 - 3$ dają ten sam wynik

Odejmowanie liczby ujemnej zawsze zmniejsza wynik

Odjęcie liczby to to samo co dodanie tej samej liczby

Odejmowanie liczb całkowitych — matematyka klasa 5

Masz $6$ zł długu u siostry. Nagle mówi: dobra, daruję ci to. Nic ci nie dała, a jednak masz się lepiej o $6$ zł! Właśnie odjęliśmy dług, czyli odjęliśmy liczbę ujemną — i wynik urósł. Dziś zobaczysz, że odejmowanie liczb całkowitych nie wymaga żadnych nowych reguł: zamienimy je na znane ci już dodawanie.

Jedna zasada zamiast nowych reguł

Umiesz już dodawać liczby całkowite. To dobra wiadomość, bo odejmowania w ogóle nie musisz się uczyć od nowa — wystarczy je zamienić na dodawanie.

Cała lekcja mieści się w jednym wzorze:

$a - b = a + (-b)$

Czytamy to tak: odjąć liczbę to dodać liczbę przeciwną.

Dwie rzeczy zmieniają się jednocześnie i obie są konieczne:

- znak działania: minus staje się plusem,
- druga liczba: zamienia się na swoją przeciwną.

Trzy odejmowania zamienione na dodawania

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

start 5

meta -3

1
Zamiast odejmować $8$ , dodajesz $-8$ . Zamiast odejmować $-6$ , dodajesz $6$ . Zobacz to na trzech przykładach — po zamianie robisz dokładnie to samo, co przy dodawaniu.
$a - b = a + (-b)$
2
Pierwszy przykład: odejmowana liczba jest dodatnia i większa od pierwszej.
$5 - 8 = 5 + (-8) = -3$
3
Drugi: po zamianie obie liczby są ujemne.
$-3 - 4 = -3 + (-4) = -7$
4
Trzeci: odejmujemy liczbę ujemną, więc po zamianie dodajemy dodatnią.
$2 - (-6) = 2 + 6 = 8$
5
Pierwszy przykład na osi: stajesz na $5$ i dodajesz $-8$ , czyli idziesz $8$ kroków w lewo. Mijasz zero i lądujesz na $-3$ .
$5 \;\rightarrow\; -3$
6
Sprawdzenie dodawaniem — wracamy do liczby początkowej, więc się zgadza.
$-3 + 8 = 5$

Wszystkie kroki za Tobą!

Odejmowanie liczby ujemnej, czyli minus przy minusie

Teraz najdziwniejszy moment całej lekcji. Co się dzieje, gdy odejmujesz liczbę ujemną?

Wzór działa tak samo: $2 - (-6) = 2 + 6 = 8$ . Liczbą przeciwną do $-6$ jest $6$ , więc odjęcie $-6$ to dodanie $6$ . Dwa minusy obok siebie dają plus, a wynik ROŚNIE.

To wygląda na oszustwo, dopóki nie pomyślisz o długu. Liczba ujemna to dług. Odjąć dług znaczy: ktoś ten dług zabiera, umarza, wykreśla. Jeśli siostra daruje ci $6$ zł długu, to masz się lepiej dokładnie o $6$ zł — mimo że do ręki nie trafia ani grosz. Dlatego wynik idzie w górę.

Na osi: w lewo czy w prawo

Na osi liczbowej widać to jeszcze prościej:

- odejmujesz liczbę dodatnią — idziesz w LEWO (maleje),
- odejmujesz liczbę ujemną — idziesz w PRAWO (rośnie).

Odejmowanie liczby −6 na osi

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

start 2

meta 8

1
Oś obok pokazuje $2 - (-6)$ : start na $2$ , sześć kroków w prawo, meta na $8$ .
$2 - (-6) = 8$
2
Sprawdzenie dodawaniem: wracamy do liczby, od której zaczynaliśmy. Wynik jest dobry.
$8 + (-6) = 2$

Wszystkie kroki za Tobą!

Uwaga na kolejność: odejmowanie nie jest przemienne

Przy dodawaniu można było zamienić liczby miejscami i nic się nie działo. Tutaj nie wolno: $3 - 7 = -4$ , ale $7 - 3 = 4$ . To dwie różne liczby — akurat przeciwne do siebie. Kolejność w odejmowaniu jest częścią zadania.

Jak odjąć liczby całkowite — 4 kroki

1
Krok 1. Zobacz, co odejmujesz. Weźmy $-3 - 4$ . Odejmowaną liczbą jest $4$ , czyli liczba dodatnia. To ona za chwilę zmieni znak.
$-3 - 4$
2
Krok 2. Zamień odejmowanie na dodawanie liczby przeciwnej. Minus działania staje się plusem, a $4$ staje się $-4$ . Zapisujemy: $-3 + (-4)$ . Od tej chwili to zwykłe dodawanie, które już umiesz.
$-3 - 4 = -3 + (-4)$
3
Krok 3. Policz dodawanie starą regułą. Obie liczby są ujemne, więc znaki takie same: dodajesz wartości $3 + 4 = 7$ i zostawiasz wspólny minus. Wychodzi $-7$ .
$-3 + (-4) = -7$
4
Krok 4. Sprawdź wynik dodawaniem. Do wyniku dodaj odjętą liczbę: $-7 + 4 = -3$ . Wróciliśmy do liczby początkowej, więc wszystko się zgadza.
$-7 + 4 = -3$
Wskazówka
Krok 2 to serce sprawy. Zapisz go osobno, nie licz w pamięci — właśnie tam gubi się najwięcej minusów.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Wieczorem termometr pokazywał $-2°C$ . W nocy temperatura spadła o $5$ stopni. Ile stopni pokazał termometr rano? Wpisz liczbę (może być ujemna).

-2 - 5 = ?

°C

Pułapka! Zgubiony drugi minus w $4 - (-3)$

Najczęstszy błąd tej lekcji: uczeń widzi $4 - (-3)$ , drugiego minusa jakoś nie zauważa i liczy $4 - 3 = 1$ . A poprawny wynik to $7$ — różnica aż o sześć!

Skąd bierze się $7$ ? Odjąć $-3$ to dodać liczbę przeciwną do $-3$ , czyli dodać $3$ :

$4 - (-3) = 4 + 3 = 7$

Model długu: umorzenie nie może zubożyć

Model długu. Masz $4$ zł i jeszcze $3$ zł długu, który ktoś ci umarza. Zabranie długu nie może cię zubożyć — po umorzeniu masz się lepiej, więc wynik musi być większy niż $4$ . Odpowiedź $1$ jest mniejsza od $4$ , więc od razu widać, że coś poszło nie tak.

Model osi: ruch idzie w prawo

Model osi. Odejmowanie liczby ujemnej to ruch w prawo. Startujesz z $4$ i idziesz w prawo o $3$ : $5$ , $6$ , $7$ . Nie da się przy tym wylądować na $1$ , bo $1$ leży w lewo od startu.

Sprawdzenie dodawaniem trwa dwie sekundy

Sprawdzenie dodawaniem. Wynik $7$ : czy $7 + (-3) = 4$ ? Tak. Wynik $1$ : czy $1 + (-3) = 4$ ? Nie, wychodzi $-2$ . Ten test wyłapuje zgubiony minus w dwie sekundy.

Liczymy $2 - (-6)$ i sprawdzamy dodawaniem

1
Zadanie: ile wynosi $2 - (-6)$ ? Odejmowaną liczbą jest $-6$ , czyli liczba ujemna. To ten przypadek, w którym wynik urośnie.
$2 - (-6) = ?$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Zamieniamy odejmowanie na dodawanie liczby przeciwnej. Liczbą przeciwną do $-6$ jest $6$ , więc zamiast odejmować $-6$ , dodajemy $6$ .
$2 - (-6) = 2 + 6$
3
Zostało zwykłe dodawanie dwóch liczb dodatnich: $2 + 6 = 8$ .
$2 + 6 = 8$
4
Sprawdzamy na osi. Odejmujemy liczbę ujemną, więc idziemy w prawo: z $2$ sześć kroków to $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ . Lądujemy na $8$ .
$2 \to 3 \to 4 \to 5 \to 6 \to 7 \to 8$
5
Sprawdzenie dodawaniem: do wyniku dodajemy liczbę odejmowaną, czyli $8 + (-6)$ . Wychodzi $2$ — dokładnie ta liczba, od której zaczynaliśmy.
$8 + (-6) = 2$
6
Kontrola sensu: masz $2$ zł i ktoś umarza ci $6$ zł długu. Jesteś na plusie o $8$ zł. Wzór, oś i portfel mówią to samo.
$2 - (-6) = 8$
Wskazówka
Trzy drogi, jeden wynik. Tak wygląda odpowiedź, której możesz być pewny. 🏆

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Bartek ma na koncie $-8$ zł. Kolega umorzył mu $5$ zł długu, a potem Bartek pożyczył jeszcze $6$ zł. Jaki jest teraz jego stan konta? Wpisz liczbę (może być ujemna).

-8 - (-5) - 6 = ?

Ściąga do zapamiętania

Jak odejmować liczby całkowite?

Odjąć liczbę to dodać liczbę przeciwną: $a - b = a + (-b)$ . Żadnych nowych reguł — po zamianie liczysz jak przy dodawaniu. Przykłady: $5 - 8 = 5 + (-8) = -3$ , $-3 - 4 = -3 + (-4) = -7$ , $2 - (-6) = 2 + 6 = 8$ . Odjęcie liczby ujemnej powiększa wynik (umorzony dług!), na osi to ruch w prawo; odjęcie dodatniej to ruch w lewo. Odejmowanie nie jest przemienne: $3 - 7 = -4$ , a $7 - 3 = 4$ . Wynik zawsze sprawdź dodawaniem: $8 + (-6) = 2$ .

Jedna zasada zamiast nowych reguł

Trzy odejmowania zamienione na dodawania

Odejmowanie liczby ujemnej, czyli minus przy minusie

Na osi: w lewo czy w prawo

Odejmowanie liczby −6 na osi

Uwaga na kolejność: odejmowanie nie jest przemienne

Jak odjąć liczby całkowite — 4 kroki

Pułapka! Zgubiony drugi minus w 4−(−3)4 - (-3)4−(−3)

Model długu: umorzenie nie może zubożyć

Model osi: ruch idzie w prawo

Sprawdzenie dodawaniem trwa dwie sekundy

Liczymy 2−(−6)2 - (-6)2−(−6) i sprawdzamy dodawaniem

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!

Pułapka! Zgubiony drugi minus w $4 - (-3)$

Liczymy $2 - (-6)$ i sprawdzamy dodawaniem