Prostopadłościan ma krawędzie $a$, $b$ i $c$. Którym wzorem obliczysz jego objętość?

$V = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)$

Objętość prostopadłościanu i sześcianu — matematyka klasa 5

Stoisz w sklepie zoologicznym przed akwarium: $50$ cm długości, $30$ cm szerokości, $40$ cm wysokości. Sprzedawca pyta, ile litrów wody kupujesz razem z nim. Na pudełku nie ma ani słowa o litrach — ale trzy liczby z metki w zupełności wystarczą. Dziś nauczysz się je zamieniać na objętość, a objętość na litry.

Objętość — ile miejsca zajmuje bryła

Pole mówiło, ile miejsca figura zajmuje na płaszczyźnie. Objętość mówi, ile miejsca bryła zajmuje w przestrzeni — ile się w nią zmieści albo ile trzeba, żeby ją wypełnić.

Dla prostopadłościanu o krawędziach $a$ , $b$ i $c$ objętość liczymy tak:

$V = a \cdot b \cdot c$

Podstawa prostopadłościanu: 4 na 3 kratki

Sześcian — wzór jeszcze krótszy

Sześcian to prostopadłościan, w którym wszystkie krawędzie są równe, więc wzór robi się jeszcze krótszy:

Sześcian: wszystkie trzy krawędzie mają tę samą długość a

$V = a \cdot a \cdot a = a^3$

Stąd zresztą wzięła się nazwa trzeciej potęgi — mówimy na nią sześcian liczby, bo dokładnie tak liczy się objętość sześcianu.

Jedna jednostka dla wszystkich trzech wymiarów

Jedna rzecz jest ważna od samego początku: wszystkie trzy wymiary muszą być w tej samej jednostce. Jeśli jeden bok podano w metrach, a dwa w centymetrach, najpierw je ujednolicasz, a dopiero potem mnożysz.

Skąd bierze się wzór — pudełko pełne kostek

Wzoru $V = a \cdot b \cdot c$ nie trzeba wkuwać — wystarczy raz zobaczyć, skąd się bierze.

Prostopadłościan o podstawie 4 na 3 i wysokości 5 — pięć warstw po 12 kostek objętość 60 cm³

Wyobraź sobie, że wypełniasz pudełko kostkami jednostkowymi: małymi sześcianikami o krawędzi $1$ cm. Objętość takiej kostki to $1\ cm^3$ . Objętość pudełka to po prostu liczba kostek, które się w nim zmieszczą.

Układasz je warstwami, dokładnie tak jak układa się klocki.

Liczymy kostki warstwa po warstwie

1
Jedna warstwa to prostokąt kostek na dnie. Jest ich $a \cdot b$ — czyli tyle, ile wynosi pole podstawy. W naszym pudełku o podstawie $4$ na $3$ daje to dwanaście kostek.
$4 \cdot 3 = 12$
2
Warstw jest tyle, ile wynosi wysokość. Przy wysokości $c = 5$ układasz pięć takich warstw jedna na drugiej.
$c = 5$
3
Razem mamy sześćdziesiąt kostek jednocentymetrowych, więc objętość pudełka to sześćdziesiąt centymetrów sześciennych.
$12 \cdot 5 = 60\ cm^3$
4
A teraz zapisz to samo literami. To jest właśnie iloczyn trzech wymiarów. Wzór nie spadł z nieba — to skrócony zapis układania warstw.
$(a \cdot b) \cdot c = V$

Wszystkie kroki za Tobą!

Każda jednostka objętości to jakiś sześcian

Jednostki objętości biorą się dokładnie z tego samego pomysłu — każda z nich to objętość sześcianu o odpowiedniej krawędzi:

Jednostka	To sześcian o krawędzi	Coś mniej więcej takiego
$1\ cm^3$	$1$ cm	kostka cukru
$1\ dm^3$	$1$ dm, czyli $10$ cm	karton mleka
$1\ m^3$	$1$ m	duża pralka

Litr, czyli decymetr sześcienny

Obok jednostek sześciennych żyje jednostka z kuchni i ze sklepu — litr. Nie jest sześcienna, ale pasuje do tego zestawu idealnie:

Sześcian o krawędzi 10 cm — to jest jeden litr

$1\ l = 1\ dm^3 = 1000\ cm^3$

Dlaczego $1000$ ? Bo $1\ dm^3$ to sześcian o krawędzi $10$ cm, więc w jednej warstwie leży $10 \cdot 10 = 100$ kostek cukru, a warstw jest $10$ . Razem tysiąc.

Metr sześcienny na rachunku za wodę

Stąd też druga zależność, którą warto znać na pamięć:

$1\ m^3 = 1000\ dm^3 = 1000$ litrów

Metr sześcienny to mniej więcej tyle wody, ile jedna osoba zużywa w miesiącu pod prysznicem — i właśnie w metrach sześciennych rozliczany jest rachunek za wodę.

Akwarium krok po kroku — od centymetrów do litrów

1
Krok 1. Wypisujemy wymiary i sprawdzamy, czy są w tej samej jednostce. Akwarium ma $50$ cm, $30$ cm i $40$ cm — wszystkie w centymetrach, więc możemy liczyć.
$a = 50,\ b = 30,\ c = 40$
2
Krok 2. Liczymy pole podstawy, czyli ile kostek jednostkowych mieści się w jednej warstwie na dnie.
$50 \cdot 30 = 1500$
3
Krok 3. Mnożymy przez wysokość — czyli przez liczbę warstw. Wysokość to $40$ cm, więc warstw jest $40$ .
$1500 \cdot 40 = 60000$
4
Krok 4. Zapisujemy wynik z jednostką. Mnożyliśmy centymetry przez centymetry przez centymetry, więc wychodzą centymetry sześcienne.
$V = 60000\ cm^3$
5
Krok 5. Zamieniamy na litry. $1$ litr to $1000\ cm^3$ , więc dzielimy przez $1000$ . Akwarium mieści $60$ litrów wody.
$60000 : 1000 = 60$
Wskazówka
Sześćdziesiąt litrów, czyli sześćdziesiąt kartonów mleka. Teraz wiesz, dlaczego akwarium stawia się na solidnym meblu!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Kostka Rubika jest sześcianem o krawędzi 6 cm. Ile wynosi jej objętość w centymetrach sześciennych? Wpisz samą liczbę.

V = a^3

cm³

Pułapka! $1\ m^3$ to nie $100\ cm^3$

To najczęstszy błąd w całym dziale, a bierze się z odruchu: skoro $1$ m to $100$ cm, to $1\ m^3$ chyba też jest $100\ cm^3$ ? Nie. Prawdziwa odpowiedź jest tysiąc razy większa.

Pomyśl znowu o kostkach. Sześcian o krawędzi $1$ m ma na dnie $100 \cdot 100 = 10\ 000$ kostek jednocentymetrowych, a takich warstw jest $100$ . Razem:

$100 \cdot 100 \cdot 100 = 1\ 000\ 000$

Czyli $1\ m^3 = 1\ 000\ 000\ cm^3$ .

Ile razy mnożymy przelicznik

Przelicznik mnożymy tyle razy, ile wymiarów ma to, co liczymy:

Kwadrat o boku 1 m — przelicznik 100 wchodzi tu dwa razy pole: 10000 cm²

Co zamieniamy	Ile razy mnożymy $100$	Wynik
$1$ m na cm (długość)	raz	$100$
$1\ m^2$ na $cm^2$ (pole)	dwa razy	$10\ 000$
$1\ m^3$ na $cm^3$ (objętość)	trzy razy	$1\ 000\ 000$

Tak samo niżej: $1\ dm = 10\ cm$ , więc $1\ dm^3 = 1000\ cm^3$ . I dlatego litr ma $1000$ mililitrów.

Prostszy sposób: zamieniaj jednostki przed mnożeniem

Jest też prostszy sposób na uniknięcie kłopotu: zamień jednostki na samym początku, zanim zaczniesz mnożyć. Jeśli pudełko ma $2$ m na $50$ cm na $40$ cm, zapisz od razu $200$ cm na $50$ cm na $40$ cm i licz spokojnie w centymetrach.

Ile wody mieści wanna?

1
Wanna ma w środku kształt prostopadłościanu: $150$ cm długości, $70$ cm szerokości i $40$ cm głębokości. Wszystkie wymiary są w centymetrach — nic nie trzeba zamieniać.
$a = 150,\ b = 70,\ c = 40$
2
Liczymy pole dna, czyli jedną warstwę kostek.
$150 \cdot 70 = 10500$
3
Mnożymy przez głębokość — tyle jest warstw.
$10500 \cdot 40 = 420000$
4
Objętość wanny to $420\ 000\ cm^3$ . Zamieniamy na litry, dzieląc przez $1000$ .
$420000 : 1000 = 420$
5
Wanna napełniona po brzegi mieści $420$ litrów. Dlatego kąpiel zużywa kilka razy więcej wody niż krótki prysznic — i dlatego nikt nie napełnia wanny do samej góry.
$V = 420\ l$
Wskazówka
Zauważ, że $420$ litrów to niecałe pół metra sześciennego. Jednostki zaczynają się układać w jedną całość!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Pakujesz się na przeprowadzkę. Karton ma wymiary 80 cm na 50 cm na 30 cm. Ile litrów wynosi jego pojemność? Wpisz samą liczbę.

V = a \cdot b \cdot c

l

Ściąga do zapamiętania

Jak liczyć objętość prostopadłościanu i sześcianu oraz jak zamieniać jednostki objętości?

Prostopadłościan: $V = a \cdot b \cdot c$ . Sześcian: $V = a^3$ . Skąd wzór: jedna warstwa kostek to $a \cdot b$ sztuk, a warstw jest $c$ . Wszystkie wymiary muszą być w tej samej jednostce — zamień je przed mnożeniem. Jednostki: $1\ l = 1\ dm^3 = 1000\ cm^3$ , $1\ m^3 = 1000\ dm^3 = 1000$ litrów. Uwaga na przelicznik: przy objętości mnożymy go trzy razy, więc $1\ m^3 = 100 \cdot 100 \cdot 100 = 1\ 000\ 000\ cm^3$ , a nie $100\ cm^3$ .

Objętość — ile miejsca zajmuje bryła

Sześcian — wzór jeszcze krótszy

Jedna jednostka dla wszystkich trzech wymiarów

Skąd bierze się wzór — pudełko pełne kostek

Liczymy kostki warstwa po warstwie

Każda jednostka objętości to jakiś sześcian

Litr, czyli decymetr sześcienny

Metr sześcienny na rachunku za wodę

Akwarium krok po kroku — od centymetrów do litrów

Pułapka! 1 m31\ m^31 m3 to nie 100 cm3100\ cm^3100 cm3

Ile razy mnożymy przelicznik

Prostszy sposób: zamieniaj jednostki przed mnożeniem

Ile wody mieści wanna?

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!

Pułapka! $1\ m^3$ to nie $100\ cm^3$