Mnożenie liczb całkowitych

około 12 minut

W tej lekcji1/13

Cześć! Znasz powiedzenie, że minus razy minus daje plus? Brzmi jak magiczna sztuczka do zapamiętania, ale to wcale nie jest magia — da się zobaczyć, dlaczego tak musi być. Dziś nie tylko nauczysz się reguły znaków, ale też zrozumiesz, skąd się bierze. Wtedy nigdy jej nie pomylisz.

Mnożenie przez liczbę ujemną to wielokrotne dodawanie

Zacznijmy od czegoś znanego. Mnożenie to wielokrotne dodawanie:

-12

-8

-4

(−4)·2

4·2

Znak minus odbija wynik na drugą stronę zera

$3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

A co znaczy $3 \cdot (-4)$ ? Dodajemy minus czwórkę trzy razy:

$3 \cdot (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12$

Wynik jest ujemny — i to nie dziwi. Trzy razy dług czterech złotych to dług dwunastu złotych.

Rytm, który nie może się złamać

Teraz najciekawsze. Popatrz na ciąg iloczynów, w którym drugi czynnik maleje o jeden:

-12

-8

-4

(−4)·2

(−4)·1

(−4)·0

(−4)·(−1)

(−4)·(−2)

Kolejne iloczyny wędrują po osi równymi skokami o 4 — po minięciu zera ten sam rytm prowadzi prosto na stronę dodatnią

Działanie	Wynik
$(-4) \cdot 2$	$-8$
$(-4) \cdot 1$	$-4$
$(-4) \cdot 0$	$0$
$(-4) \cdot (-1)$	$+4$
$(-4) \cdot (-2)$	$+8$

Wyniki rosną za każdym razem o 4: $-8$ , $-4$ , $0$ , a więc dalej musi być $4$ i $8$ . Rytm nie może się nagle złamać. Właśnie dlatego minus razy minus daje plus — inaczej cała matematyka przestałaby być spójna.

Reguła znaków w dwóch zdaniach

Całą wiedzę o znakach da się zmieścić w jednym zdaniu:

Jednakowe znaki dają plus, różne znaki dają minus.

Działanie	Znaki	Wynik
$3 \cdot 4 = 12$	plus i plus	dodatni
$(-3) \cdot (-4) = 12$	minus i minus	dodatni
$3 \cdot (-4) = -12$	plus i minus	ujemny
$(-3) \cdot 4 = -12$	minus i plus	ujemny

Zwróć uwagę, że wartość liczbowa wyniku jest zawsze taka sama — tu wszędzie wychodzi dwanaście. Znaki decydują wyłącznie o tym, czy przed dwunastką stanie minus.

Stąd praktyczna wskazówka: licz najpierw normalnie, jakby minusów nie było, a znak ustal na końcu. Dwa osobne, proste zadania zamiast jednego trudnego.

A gdy czynników jest więcej

Wystarczy policzyć minusy:

- parzysta liczba minusów → wynik dodatni
- nieparzysta liczba minusów → wynik ujemny

Sprawdź: $(-2) \cdot (-3) \cdot (-4)$ ma trzy minusy, czyli nieparzyście — wynik będzie ujemny. Wartość to $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ , więc odpowiedź to $-24$ .

Liczymy iloczyn czterech liczb

1
Zadanie: oblicz iloczyn czterech liczb, z których część jest ujemna. Nie liczymy po kolei — najpierw ustalamy znak.
$(-2) \cdot 3 \cdot (-5) \cdot (-1)$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy: liczymy minusy. Są przy dwójce, przy piątce i przy jedynce — czyli trzy.
$\text{trzy minusy}$
3
Trzy to liczba nieparzysta, więc wynik będzie UJEMNY. Znak mamy ustalony i możemy o nim zapomnieć.
$\text{wynik ujemny}$
4
Krok drugi: liczymy wartość, jakby wszystkie liczby były dodatnie. Najpierw dwójka razy trójka.
$2 \cdot 3 = 6$
5
Dalej razy piątka.
$6 \cdot 5 = 30$
6
I razy jedynka, która niczego nie zmienia.
$30 \cdot 1 = 30$
7
Krok trzeci: łączymy jedno z drugim. Wartość 30, znak ujemny.
$(-2) \cdot 3 \cdot (-5) \cdot (-1) = -30$
Wskazówka
Najpierw znak, potem wartość. Dwa łatwe kroki zamiast jednego trudnego.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz iloczyn:

(-6) \cdot (-7)

Pułapka! Mylenie reguł dodawania i mnożenia

To najczęstszy błąd w całym dziale: uczeń przenosi regułę z mnożenia na dodawanie albo odwrotnie. A one działają zupełnie inaczej.

Działanie	Wynik	Dlaczego
$(-3) + (-4)$	$-7$	dwa długi to większy dług
$(-3) \cdot (-4)$	$+12$	jednakowe znaki dają plus

Te same liczby, te same znaki — a wyniki różnią się nie tylko wartością, ale i znakiem. Przy dodawaniu dwóch liczb ujemnych wynik zostaje ujemny. Przy mnożeniu robi się dodatni.

Sprawdzian na sobie: dwie piątki ze znakiem minus

1
Spróbuj tego sprawdzianu na sobie. Najpierw dodawanie dwóch takich samych liczb ujemnych.
$(-5) + (-5) = -10$
2
Teraz mnożenie dokładnie tych samych dwóch liczb.
$(-5) \cdot (-5) = +25$
3
Jeśli te dwa wyniki mieszają Ci się w głowie, wróć do intuicji z długiem: dwa długi po pięć złotych to dług dziesięciu złotych. A mnożenie z długiem nie ma już nic wspólnego — tam działa reguła znaków.
$-10 \neq +25$

Wszystkie kroki za Tobą!

Nawias przy potędze zmienia wynik

Drugi błąd dotyczy zapisu. Wyrażenie $-3^2$ to nie to samo co $(-3)^2$ .

W pierwszym potęgujemy tylko trójkę, a minus zostaje z boku, więc wynik to $-9$ . W drugim potęgujemy całą liczbę ujemną i wynik to $+9$ . Nawias robi tu ogromną różnicę.

Temperatura, która spada regularnie

1
Zadanie z życia: temperatura spada o 3 stopnie na godzinę. Teraz jest 0 stopni. Jaka będzie za 5 godzin, a jaka była 4 godziny temu?
$\text{spadek } 3°/\text{h}$
2
Spadek zapisujemy jako liczbę ujemną: minus trzy stopnie na godzinę. Czas w przyszłość to liczba dodatnia.
$5 \cdot (-3) = -15$
3
Za pięć godzin będzie 15 stopni poniżej zera. Znaki są różne, więc wynik ujemny — i to zgadza się z intuicją, bo robi się coraz zimniej.
$-15°$
4
Teraz przeszłość. Czas wstecz zapisujemy jako liczbę ujemną: minus cztery godziny.
$(-4) \cdot (-3) = 12$
5
Cztery godziny temu było 12 stopni POWYŻEJ zera. Dwa minusy dały plus — i to też ma sens: skoro temperatura spada, to wcześniej musiało być cieplej.
$+12°$
6
Ten przykład pokazuje, dlaczego minus razy minus musi dawać plus. Cofanie się w czasie przy malejącej temperaturze prowadzi do wyższych wartości.
$(-4) \cdot (-3) = +12$
Wskazówka
Minus razy minus daje plus, bo odwrócenie odwrócenia wraca do punktu wyjścia.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz iloczyn trzech liczb:

(-2) \cdot (-4) \cdot (-3)

Ściąga do zapamiętania

Jak ustalić znak iloczynu liczb całkowitych?

Jednakowe znaki dają plus, różne dają minus: $(-3) \cdot (-4) = 12$ , ale $(-3) \cdot 4 = -12$ . Wartość liczbowa jest za każdym razem ta sama — znaki decydują tylko o minusie z przodu, więc licz osobno: najpierw znak, potem wartość.
• Przy wielu czynnikach policz minusy: parzysta liczba minusów to plus, nieparzysta to minus.
• Przy dodawaniu jest inaczej: $(-3) + (-4) = -7$ , a $(-3) \cdot (-4) = 12$ .
• O wszystkim decyduje nawias: $-3^2 = -9$ , ale $(-3)^2 = 9$ .

Sprawdź się!

Ile wynosi $(-8) \cdot 5$ ?

Ile wynosi $(-9) \cdot (-3)$ ?

Jaki znak ma wynik działania $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-4)$ ?

Które dwa wyniki są poprawne: $(-5) + (-5)$ oraz $(-5) \cdot (-5)$ ?

Nurek schodzi 4 metry w dół co minutę. Ile metrów pod powierzchnią był 3 minuty temu, jeśli teraz jest na głębokości 20 metrów?

Następny temat

Dzielenie liczb całkowitych