Punkt $A(0,0)$. Który punkt jest od niego bliżej: $B(3,4)$ czy $C(5,1)$?

Nie da się porównać bez pierwiastkowania

Długość odcinka w układzie współrzędnych — matematyka klasa 7

Cześć! Dwa punkty na mapie: twój dom i szkoła. Aplikacja w ułamku sekundy podaje odległość w linii prostej. Jak to liczy? Dokładnie tak, jak zaraz policzysz ty — łącząc układ współrzędnych z twierdzeniem Pitagorasa. To jedno z najpiękniejszych połączeń w całej matematyce szkolnej.

Odcinki poziome i pionowe

Zacznijmy od przypadków najprostszych.

Odcinek AB leży poziomo, odcinek CD pionowo

Odcinek poziomy — oba końce mają tę samą współrzędną $y$ . Długość to różnica współrzędnych $x$ :

$|AB| = |x_B - x_A|$

Odcinek pionowy — oba końce mają tę samą współrzędną $x$ . Długość to różnica współrzędnych $y$ :

$|AB| = |y_B - y_A|$

Pionowe kreski we wzorze to wartość bezwzględna

Pionowe kreski we wzorze oznaczają wartość bezwzględną — długość nie może być ujemna, więc jeśli odejmowanie da minus, bierzemy liczbę bez znaku.

Praktyczna wskazówka: odejmuj mniejszą liczbę od większej, a minus w ogóle się nie pojawi.

Siedem odcinków do policzenia w pamięci

1
Dla $A(2, 3)$ i $B(7, 3)$ wystarczy policzyć, ile kratek dzieli dwójkę od siódemki.
$|AB| = 7 - 2 = 5$
2
Odcinek pionowy liczymy tak samo, tylko z igreków. Dla $A(4, -1)$ i $B(4, 6)$ odejmujemy minus jeden od sześciu.
$|AB| = 6 - (-1) = 7$
3
A gdy odejmiemy w odwrotnej kolejności? Dla $A(7, 3)$ i $B(2, 3)$ wychodzi minus pięć, ale długość to pięć.
$|2 - 7| = |{-5}| = 5$
4
Punkty $(1,4)$ i $(6,4)$ leżą na tej samej wysokości, więc odcinek jest poziomy.
$6 - 1 = 5$
5
Punkty $(3,-2)$ i $(3,5)$ mają tę samą współrzędną $x$ , więc odcinek jest pionowy.
$5 - (-2) = 7$
6
Punkty $(-4,1)$ i $(2,1)$ — tu odejmujemy liczbę ujemną, czyli w istocie dodajemy. To najczęstsze miejsce pomyłek.
$2 - (-4) = 6$
7
Punkty $(0,-3)$ i $(0,-8)$ leżą jeden pod drugim na osi igreków.
$-3 - (-8) = 5$
Wskazówka
Minus przed liczbą ujemną zamienia się w plus. Na rysunku to zwykłe doliczenie kratek.

Wszystkie kroki za Tobą!

Odcinek ukośny — wzór na odległość

Gdy odcinek jest ukośny, dorysowujemy trójkąt prostokątny.

Odcinek AB — długość liczymy Pitagorasem

Z punktu $A$ prowadzimy odcinek poziomy, z punktu $B$ pionowy — spotykają się w trzecim wierzchołku. Szukany odcinek staje się przeciwprostokątną.

Przyprostokątne to różnice współrzędnych:

- pozioma: $|x_B - x_A|$
- pionowa: $|y_B - y_A|$

Wzór na odległość dwóch punktów:

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Przykład: odległość punktów A(1,2) i B(4,6)

1
Weźmy punkty $A(1, 2)$ i $B(4, 6)$ . Zaczynamy od różnicy poziomej.
$\Delta x = 4 - 1 = 3$
2
Teraz różnica pionowa.
$\Delta y = 6 - 2 = 4$
3
Podstawiamy obie różnice do wzoru i pierwiastkujemy.
$|AB| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
4
Znak różnic nie ma znaczenia, bo i tak podnosimy je do kwadratu. Dlatego kolejność punktów jest dowolna.
$|AB| = |BA|$
5
Sprawdźmy: dla $A(4,6)$ i $B(1,2)$ różnice to $-3$ i $-4$ , a kwadraty nadal 9 i 16. Wynik ten sam.
$\sqrt{9 + 16} = 5$
6
Gdy wynik nie jest całkowity, zostawiamy pierwiastek jako dokładną odpowiedź. Tak jest dla $A(0,0)$ i $B(2,3)$ .
$|AB| = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3{,}6$
Wskazówka
Pierwiastek to gotowa, dokładna odpowiedź. Zaokrąglamy dopiero wtedy, gdy zadanie o to prosi.

Wszystkie kroki za Tobą!

Zastosowania

Zadanie	Jak
obwód figury	zsumuj długości wszystkich boków
czy trójkąt jest równoramienny	porównaj długości boków
czy trójkąt jest prostokątny	policz boki, potem twierdzenie odwrotne
który punkt jest bliżej	porównaj odległości

Przy porównywaniu odległości często wystarczy porównać kwadraty — oszczędza to pierwiastkowania, a wynik porównania jest ten sam.

Obwód trójkąta w układzie

Bok AB jest poziomy, bok AC pionowy — kąt przy A jest prosty

1
Zadanie: trójkąt ma wierzchołki $A(1,1)$ , $B(5,1)$ i $C(1,4)$ . Oblicz jego obwód.
$A(1,1), \; B(5,1), \; C(1,4)$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy: bok $AB$ . Oba punkty mają tę samą współrzędną $y$ , więc odcinek jest poziomy — wystarczy odjąć.
$|AB| = 5 - 1 = 4$
3
Krok drugi: bok $AC$ . Oba punkty mają tę samą współrzędną $x$ , więc odcinek jest pionowy.
$|AC| = 4 - 1 = 3$
4
Krok trzeci: bok $BC$ jest ukośny, więc stosujemy wzór na odległość. Liczymy różnice współrzędnych.
$\Delta x = 1 - 5 = -4, \quad \Delta y = 4 - 1 = 3$
5
Podnosimy do kwadratu — znaki znikają.
$16 + 9 = 25$
6
Pierwiastkujemy.
$|BC| = \sqrt{25} = 5$
7
Krok czwarty: sumujemy wszystkie trzy boki.
$O = 4 + 3 + 5 = 12$
8
Zauważ, że boki to 3, 4 i 5 — a to trójka pitagorejska. Trójkąt jest więc prostokątny, z kątem prostym przy wierzchołku $A$ .
$9 + 16 = 25 \; \checkmark$
9
Widać to zresztą od razu na rysunku: bok $AB$ jest poziomy, a $AC$ pionowy, więc muszą tworzyć kąt prosty.
$\angle A = 90^\circ$
10
Skoro trójkąt jest prostokątny, łatwo policzyć też pole — połowa iloczynu przyprostokątnych.
$P = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$
Wskazówka
Odcinek poziomy i pionowy zawsze tworzą kąt prosty. To darmowa informacja z rysunku.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz długość odcinka o końcach $A(2, 1)$ i $B(2, 9)$ .

A(2,1), \; B(2,9)

Od minus trzech do pięciu

Punkty $A(-3, 2)$ i $B(5, 2)$ leżą na tej samej wysokości. Policz kratki: od $-3$ do zera są 3, od zera do 5 jeszcze 5. Razem 8 — dokładnie tyle, ile daje $5 - (-3) = 5 + 3$ .

Odcinek poziomy przez zero: 3 kratki i 5 kratek

Pułapka! Odejmowanie liczb ujemnych

Największe źródło błędów w tym temacie.

Dla punktów $A(-3, 2)$ i $B(5, 2)$ długość to $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$ , a nie $5 - 3 = 2$ .

Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie. Na rysunku widać to od razu: od $-3$ do $0$ jest 3 jednostki, a od $0$ do $5$ jeszcze 5 — razem 8.

Trzy odcinki, w każdym liczba ujemna

1
Punkty $(-3,2)$ i $(5,2)$ — odcinek poziomy przechodzący przez zero.
$5 - (-3) = 8$
2
Punkty $(2,-4)$ i $(2,3)$ — odcinek pionowy, dolny koniec pod osią.
$3 - (-4) = 7$
3
Punkty $(-6,1)$ i $(-2,1)$ — obie współrzędne ujemne, a długość i tak dodatnia.
$-2 - (-6) = 4$

Wszystkie kroki za Tobą!

Błąd drugi: dodawanie różnic zamiast ich kwadratów

Dla $A(1,2)$ i $B(4,6)$ długość to nie $3 + 4 = 7$ , tylko $\sqrt{9+16} = 5$ . Droga po skosie jest krótsza niż „schodkami”.

Błąd trzeci i czwarty: pomylone osie i ujemna długość

Mieszanie współrzędnych. W różnicy poziomej odejmujemy oba iksy, w pionowej oba igreki. Zapis $x_B - y_A$ nie ma sensu.

Ujemna długość. Jeśli wyszła ci ujemna długość, gdzieś umknęła wartość bezwzględna. Odległość zawsze jest dodatnia albo zerowa.

Błąd piąty: niepotrzebne pierwiastkowanie

Jeśli pytanie brzmi „który punkt jest bliżej”, wystarczy porównać sumy kwadratów. Większa suma to większa odległość — pierwiastkowanie niczego nie zmienia, a tylko wprowadza zaokrąglenia.

Który sklep jest bliżej

1
Zadanie: twój dom stoi w punkcie $D(3, 4)$ . Sklep spożywczy jest w $S(7, 7)$ , a piekarnia w $P(-1, 6)$ . Do którego masz bliżej w linii prostej?
$D(3,4), \; S(7,7), \; P(-1,6)$
2
Krok pierwszy: odległość do sklepu. Liczymy różnice współrzędnych.
$\Delta x = 7-3 = 4, \quad \Delta y = 7-4 = 3$
3
Suma kwadratów.
$16 + 9 = 25$
4
Pierwiastkujemy.
$|DS| = 5$
5
Krok drugi: odległość do piekarni. Uwaga na liczbę ujemną w pierwszej współrzędnej.
$\Delta x = -1-3 = -4, \quad \Delta y = 6-4 = 2$
6
Kwadraty — minus znika.
$16 + 4 = 20$
7
Pierwiastkujemy. Wynik nie jest całkowity.
$|DP| = \sqrt{20} \approx 4{,}47$
8
Porównujemy. Można było zresztą porównać same sumy kwadratów: 20 jest mniejsze niż 25, więc od razu wiadomo, że piekarnia jest bliżej.
$20 < 25 \;\Rightarrow\; |DP| < |DS|$
9
Odpowiedź: bliżej jest do piekarni — około 4,47 jednostki wobec 5 do sklepu.
$\text{Odp.: piekarnia}$
Wskazówka
Do porównania odległości pierwiastek jest zbędny. Porównuj sumy kwadratów.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz długość odcinka o końcach $A(1, 3)$ i $B(9, 9)$ .

|AB| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}

Ściąga do zapamiętania

Jak obliczyć długość odcinka o danych końcach?

• Odcinek poziomy (ta sama $y$ ): odejmij iksy. Pionowy (ta sama $x$ ): odejmij igreki. Zawsze od większej liczby odejmuj mniejszą — długość nie bywa ujemna.
• Uwaga: odjęcie liczby ujemnej to dodawanie, np. $5 - (-3) = 8$ .
• Odcinek ukośny: dorysuj trójkąt prostokątny. Przyprostokątne to różnice współrzędnych, a odcinek jest przeciwprostokątną, więc $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ .
• Znaki nie mają znaczenia, bo różnice idą do kwadratu.
• Porównując odległości, porównuj same sumy kwadratów — bez pierwiastkowania.

Odcinki poziome i pionowe

Pionowe kreski we wzorze to wartość bezwzględna

Siedem odcinków do policzenia w pamięci

Odcinek ukośny — wzór na odległość

Przykład: odległość punktów A(1,2) i B(4,6)

Zastosowania

Obwód trójkąta w układzie

Od minus trzech do pięciu

Pułapka! Odejmowanie liczb ujemnych

Trzy odcinki, w każdym liczba ujemna

Błąd drugi: dodawanie różnic zamiast ich kwadratów

Błąd trzeci i czwarty: pomylone osie i ujemna długość

Błąd piąty: niepotrzebne pierwiastkowanie

Który sklep jest bliżej

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!