Wartość bezwzględna liczby — matematyka klasa 7

Cześć! Wartość bezwzględną znasz już jako odległość od zera. W klasie siódmej idziemy dalej: będziemy jej używać w wyrażeniach z ułamkami, rozwiązywać równania z kreskami i porównywać wyniki. Zasada pozostaje ta sama, ale zastosowań przybywa — a przy okazji zobaczysz, dlaczego to pojęcie jest tak przydatne.

Definicja i jej dwa oblicza

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Zapisujemy ją dwiema pionowymi kreskami i zawsze jest nieujemna.

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-7

0

7

Obie liczby leżą 7 kroków od zera

Formalnie definicja ma dwa przypadki:

Gdy liczba jest	Wartość bezwzględna
dodatnia albo zero	ta sama liczba
ujemna	liczba przeciwna

$\lvert 7 \rvert = 7 \qquad \lvert -7 \rvert = 7 \qquad \lvert 0 \rvert = 0$

Działa to tak samo dla ułamków i liczb dziesiętnych:

$\left\lvert -\frac{3}{4} \right\rvert = \frac{3}{4} \qquad \lvert -2{,}5 \rvert = 2{,}5$

Trzy własności warte zapamiętania

1. $\lvert a \rvert \ge 0$ dla każdej liczby — wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna.
2. $\lvert a \rvert = \lvert -a \rvert$ — liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną.
3. $\lvert a \rvert = 0$ tylko wtedy, gdy $a = 0$ .

Druga własność bywa zaskakująca, ale wynika wprost z definicji: liczby $5$ i $-5$ leżą w tej samej odległości od zera, więc obie mają wartość bezwzględną $5$ .

Uwaga na zapis: samo $-\lvert -3 \rvert$ wynosi $-3$ . Minus stoi tu na zewnątrz kresek, więc działa dopiero po zdjęciu znaku w środku.

Równania z wartością bezwzględną

To nowość w klasie siódmej. Rozważmy równanie:

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-5

0

5

W odległości 5 od zera leżą dwa punkty — po jednym z każdej strony

$\lvert x \rvert = 5$

Pytanie brzmi: które liczby leżą w odległości 5 od zera? Odpowiedź: dwie — piątka po prawej i minus piątka po lewej.

$x = 5 \quad \text{albo} \quad x = -5$

Ogólna zasada: równanie $\lvert x \rvert = a$ ma:

Gdy $a$ jest	Liczba rozwiązań
dodatnie	dwa: $a$ oraz $-a$
równe zeru	jedno: $x = 0$
ujemne	żadnego

Ostatni wiersz jest ważny. Równanie $\lvert x \rvert = -3$ nie ma rozwiązań, bo odległość nie może być ujemna. To nie jest przeoczenie — po prostu takiej liczby nie ma.

Trudniejszy przypadek: kreski obejmują całe wyrażenie

$\lvert x - 2 \rvert = 3$

Tutaj w odległości 3 od zera leży to, co jest w środku kresek. Rozbijamy na dwa przypadki:

$x - 2 = 3$ , czyli $x = 5$

$x - 2 = -3$ , czyli $x = -1$

Sprawdzenie: $\lvert 5 - 2 \rvert = \lvert 3 \rvert = 3$ oraz $\lvert -1 - 2 \rvert = \lvert -3 \rvert = 3$ . Oba pasują.

Rozwiązujemy równanie z kreskami

1
Zadanie: rozwiąż równanie z wartością bezwzględną obejmującą wyrażenie.
$\lvert x + 1 \rvert = 4$
2
Krok pierwszy: sprawdzamy, czy równanie w ogóle ma rozwiązania. Po prawej stronie stoi liczba dodatnia, więc tak — i będą dwa.
$4 > 0 \to \text{dwa rozwiazania}$
3
Krok drugi: to, co w kreskach, musi leżeć w odległości 4 od zera. Są dwie takie liczby: cztery i minus cztery.
$x + 1 = 4 \quad \text{albo} \quad x + 1 = -4$
4
Krok trzeci: rozwiązujemy pierwszy przypadek. Zwykłe równanie.
$x = 4 - 1 = 3$
5
Krok czwarty: drugi przypadek.
$x = -4 - 1 = -5$
6
Mamy dwa rozwiązania. Teraz obowiązkowe sprawdzenie — podstawiamy oba do pierwotnego równania.
$x = 3 \quad \text{oraz} \quad x = -5$
7
Pierwsze: podstawiamy trójkę.
$\lvert 3 + 1 \rvert = \lvert 4 \rvert = 4 \; \checkmark$
8
Drugie: podstawiamy minus piątkę. Uwaga na znaki w środku kresek.
$\lvert -5 + 1 \rvert = \lvert -4 \rvert = 4 \; \checkmark$
Wskazówka
Zawsze sprawdzaj OBA rozwiązania — tutaj sprawdzenie potwierdza, że pasują oba.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ile rozwiązań ma równanie $\lvert x \rvert = 12$ ?

\lvert x \rvert = 12

Pułapka! Jedno rozwiązanie zamiast dwóch

Najczęstszy błąd w równaniach z wartością bezwzględną: podanie tylko dodatniego rozwiązania.

Dla $\lvert x \rvert = 8$ uczeń pisze $x = 8$ i uznaje zadanie za zakończone. Tymczasem $x = -8$ też spełnia równanie, bo $\lvert -8 \rvert = 8$ .

Zasada: gdy po prawej stronie stoi liczba dodatnia, rozwiązania są ZAWSZE dwa.

Pułapka! Szukanie rozwiązań, których nie ma

Drugi błąd, przeciwny: szukanie rozwiązań tam, gdzie ich nie ma. Równanie $\lvert x \rvert = -4$ nie ma żadnego rozwiązania. Odległość nie może być ujemna, więc żadna liczba tu nie pasuje. Odpowiedź brak rozwiązań jest poprawną odpowiedzią.

Pułapka! Kreski działają jak nawias

Trzeci błąd: zdejmowanie kresek przed policzeniem działania w środku.

$\lvert -3 + 7 \rvert$ to $\lvert 4 \rvert = 4$ , a nie $3 + 7 = 10$ . Kreski działają jak nawias — najpierw środek.

Wyrażenie	Poprawnie	Częsty błąd
$\lvert -3 + 7 \rvert$	$4$	$10$
$\lvert -3 \rvert + \lvert 7 \rvert$	$10$	—
$\lvert 2 - 9 \rvert$	$7$	$11$

Zwróć uwagę na dwa pierwsze wiersze: te same liczby, inne rozmieszczenie kresek, inne wyniki.

Pułapka! Minus na zewnątrz kresek

Czwarty błąd: minus na zewnątrz kresek. Wyrażenie $-\lvert 5 \rvert$ wynosi $-5$ i to jest poprawne. Kreski gwarantują nieujemność tylko tego, co jest w środku — minus stojący przed nimi działa dopiero potem.

Do czego to naprawdę służy

1
Wartość bezwzględna nie jest szkolnym wymysłem. Zastosowanie pierwsze: ODLEGŁOŚĆ między dwiema liczbami na osi.
$d = \lvert a - b \rvert$
2
Jaka jest odległość między $-3$ a $5$ ? Odejmujemy i bierzemy wartość bezwzględną, dzięki czemu kolejność nie ma znaczenia.
$\lvert -3 - 5 \rvert = \lvert -8 \rvert = 8$
3
Sprawdźmy w drugą stronę — wynik musi być taki sam.
$\lvert 5 - (-3) \rvert = \lvert 8 \rvert = 8 \; \checkmark$
4
Zastosowanie drugie: TOLERANCJA w produkcji. Śruba ma mieć 20 mm, dopuszczalne odchylenie to 0,1 mm. Warunek zapisuje się tak.
$\lvert d - 20 \rvert \le 0{,}1$
5
Śruba o długości 20,05 mm przechodzi kontrolę, bo odchylenie wynosi 0,05 mm. Śruba 19,8 mm już nie — odchylenie to 0,2 mm.
$\lvert 19{,}8 - 20 \rvert = 0{,}2 > 0{,}1$
6
Zwróć uwagę, dlaczego potrzebna jest tu wartość bezwzględna: śruba może być za długa ALBO za krótka, a oba przypadki są tak samo złe. Kreski obejmują obie możliwości jednym zapisem.
$\text{za dluga i za krotka naraz}$
7
Zastosowanie trzecie: błąd pomiaru w fizyce. Nie interesuje nas, czy zmierzyliśmy za dużo czy za mało — tylko o ile się pomyliliśmy.
$\text{blad} = \lvert \text{pomiar} - \text{wartosc prawdziwa} \rvert$
Wskazówka
Wartość bezwzględna wszędzie tam, gdzie liczy się WIELKOŚĆ różnicy, a nie jej kierunek.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Jaka jest odległość między liczbami $-6$ a $9$ na osi liczbowej?

\lvert -6 - 9 \rvert

Ściąga do zapamiętania

Co oznacza $|x|$ i ile rozwiązań ma równanie $|x| = a$ ?

$|x|$ to odległość liczby od zera — zawsze nieujemna. Liczba dodatnia przechodzi bez zmian, ujemna zmienia znak, a liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną.
• Równanie $|x| = a$ ma dwa rozwiązania ( $a$ oraz $-a$ ), gdy $a > 0$ ; jedno, gdy $a = 0$ ; żadnego, gdy $a < 0$ .
• $|x-2| = 3$ rozbija się na dwa przypadki: $x-2 = 3$ oraz $x-2 = -3$ .
• Kreski działają jak nawias.
• Zastosowanie: odległość między liczbami to $|a-b|$ , a poza tym tolerancja i błąd pomiaru.

Definicja i jej dwa oblicza

Trzy własności warte zapamiętania

Równania z wartością bezwzględną

Trudniejszy przypadek: kreski obejmują całe wyrażenie

Rozwiązujemy równanie z kreskami

Pułapka! Jedno rozwiązanie zamiast dwóch

Pułapka! Szukanie rozwiązań, których nie ma

Pułapka! Kreski działają jak nawias

Pułapka! Minus na zewnątrz kresek

Do czego to naprawdę służy

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!