Działania na liczbach wymiernych

około 15 minut
W tej lekcji1/17

Cześć! Dobra wiadomość na początek: dziś nie ma ani jednej nowej reguły. Wszystko, co potrzebne do liczenia na liczbach wymiernych, już umiesz — znaki z liczb całkowitych, ułamki, kolejność działań. Nowe jest tylko to, że wszystko spotyka się w jednym zadaniu. A to wymaga porządku w głowie.

Wybierz postać, potem licz

Liczby wymierne występują w dwóch przebraniach: jako ułamki zwykłe i jako dziesiętne. Pierwsza decyzja w każdym zadaniu to wybór jednej postaci.

Ten sam iloczyn w dwóch postaciach

  1. 1

    Przykład, w którym wybór postaci ma ogromne znaczenie.

    −2,5⋅45-2{,}5 \cdot \frac{4}{5}
  2. 2

    W postaci zwykłej wszystko się skraca — piątka z piątką, a czwórka z dwójką.

    −52⋅45=−2-\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5} = -2
  3. 3

    W postaci dziesiętnej wychodzi ten sam wynik, ale trzeba pilnować przecinka.

    −2,5⋅0,8=−2-2{,}5 \cdot 0{,}8 = -2
Wszystkie kroki za Tobą!

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

Reguły znaków są dokładnie te same co przy liczbach całkowitych

DziałanieReguła
mnożenie, dzieleniejednakowe znaki dają plus, różne minus
dodawanie, odejmowaniereguły z osi liczbowej
potęgowaniewykładnik parzysty daje plus

Skąd bierze się reguła znaków? Mnożenie przez −1-1 to przerzucenie liczby na drugą stronę zera. Dwa minusy to dwa takie przerzucenia — wracamy na tę samą stronę, więc wynik jest dodatni: (−2)⋅(−3)=6(-2) \cdot (-3) = 6. Jeden minus zostawia liczbę po drugiej stronie zera, więc wynik jest ujemny.

Metoda dwóch kroków, którą znasz, sprawdza się tu jeszcze lepiej: najpierw ustal znak, potem policz wartość.

Porządek w dłuższych wyrażeniach

Gdy w jednym wyrażeniu spotykają się ułamki, minusy, potęgi i nawiasy, jedynym ratunkiem jest systematyczność.

Nawyk trzeci: wspólny mianownik dopiero przy dodawaniu

Wspólnego mianownika szukaj dopiero przy dodawaniu — przy mnożeniu jest zbędny.

Kolejność decyduje o wyniku

  1. 1

    Przykład: w wyrażeniu stoi obok siebie dodawanie i mnożenie.

    −12+23⋅34-\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}
  2. 2

    Najpierw mnożenie, bo stoi wyżej. Skracamy trójki i dzielimy 2 przez 4.

    23⋅34=12\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}
  3. 3

    Przepisujemy całe wyrażenie z policzonym iloczynem.

    −12+12-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}
  4. 4

    Dwie liczby przeciwne dają zero.

    −12+12=0-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0
  5. 5

    Zauważ, że gdyby ktoś zaczął od dodawania, dostałby zupełnie inną liczbę. Kolejność jest tu wszystkim.

    najpierw⋅, potem+\text{najpierw} \cdot, \text{ potem} +
Wszystkie kroki za Tobą!

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

Liczymy wyrażenie z ułamkami, minusem i potęgą

  1. 1

    Zadanie: oblicz wartość wyrażenia. Są tu trzy różne piętra i liczba ujemna w potędze.

    (−12)2−34⋅23\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}
  2. 2

    Krok pierwszy: rozglądamy się. Nawiasu z działaniem w środku nie ma, więc schodzimy na potęgi. Nawias przy ułamku obejmuje minus, a wykładnik jest parzysty.

    (−12)2=14\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
  3. 3

    Uwaga: do potęgi idą oba piętra ułamka, a znak wychodzi dodatni, bo minusy zjadły się parami.

    (−1)222=14\frac{(-1)^2}{2^2} = \frac{1}{4}
  4. 4

    Przepisujemy całe wyrażenie z policzoną potęgą.

    14−34⋅23\frac{1}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}
  5. 5

    Krok drugi: mnożenie. Skracamy na krzyż — trójka z trójką, a dwójka z czwórką.

    34⋅23=12\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}
  6. 6

    Przepisujemy ponownie. Zostało odejmowanie.

    14−12\frac{1}{4} - \frac{1}{2}
  7. 7

    Krok trzeci: DOPIERO teraz potrzebny jest wspólny mianownik. Rozszerzamy drugi ułamek do czwartych.

    14−24=−14\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}
  8. 8

    Wynik jest ujemny, bo odejmowaliśmy więcej, niż mieliśmy. Kontrola sensu: jedna czwarta minus połowa musi dać liczbę ujemną. Zgadza się.

    −14-\frac{1}{4}
Wszystkie kroki za Tobą!

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

Twoja kolej

Oblicz i podaj wartość bezwzględną wyniku jako ułamek (wynik jest ujemny):

−34⋅29-\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9}

Pułapka! Gubienie znaku przy przepisywaniu

W tym temacie rzadko popełnia się jeden wielki błąd. Zwykle zbiera się kilka drobnych i wynik rozjeżdża się nie do poznania. Oto lista najczęstszych, w kolejności częstości.

Pułapka! Potęgowanie tylko licznika

Drugi: potęgowanie tylko licznika. Zapis (23)2\left(\frac{2}{3}\right)^2 to 49\frac{4}{9}, a nie 43\frac{4}{3}.

Trzeci: podstawianie liczby ujemnej bez nawiasu. Dla x=−3x = -3 wyrażenie x2x^2 daje 99, a nie −9-9.

Pułapka! Mieszanie reguł dodawania i mnożenia

Czwarty: mieszanie reguł dodawania i mnożenia.

DziałanieWynik
−12+(−12)-\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)−1-1
−12⋅(−12)-\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+14+\frac{1}{4}

Pułapka! Wspólny mianownik przy mnożeniu

Piąty: sprowadzanie do wspólnego mianownika przy mnożeniu. Nie jest błędem, ale niepotrzebnie powiększa liczby i mnoży okazje do pomyłki.

Lekarstwo na wszystkie naraz

Przepisuj wyrażenie po każdym kroku i rób jedną rzecz w jednym ruchu. To wygląda na stratę czasu, dopóki nie policzysz, ile błędów oszczędza.

Ostatnia kontrola przed oddaniem odpowiedzi: czy wynik jest skrócony? Zapis 612\frac{6}{12} jest poprawny wartościowo, ale odpowiedzią jest 12\frac{1}{2}.

Wyrażenie z nawiasem i dzieleniem

  1. 1

    Zadanie: oblicz wartość wyrażenia zawierającego nawias, dzielenie ułamków i liczby ujemne.

    (12−34):(−18)\left(\frac{1}{2} - \frac{3}{4}\right) : \left(-\frac{1}{8}\right)
  2. 2

    Krok pierwszy: nawias. Tu potrzebny jest wspólny mianownik — dla dwójki i czwórki to czwórka.

    12−34=24−34\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4}
  3. 3

    Odejmujemy liczniki. Odejmujemy więcej, niż mamy, więc wynik jest ujemny.

    24−34=−14\frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}
  4. 4

    Przepisujemy całe wyrażenie z policzonym nawiasem.

    −14:(−18)-\frac{1}{4} : \left(-\frac{1}{8}\right)
  5. 5

    Krok drugi: ustalamy znak. Dwa minusy, więc wynik będzie dodatni. Zapisujemy to i chwilowo zapominamy o znakach.

    wynik dodatni\text{wynik dodatni}
  6. 6

    Krok trzeci: liczymy wartość. Dzielenie to mnożenie przez odwrotność dzielnika.

    14⋅81=84=2\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{1} = \frac{8}{4} = 2
  7. 7

    Łączymy znak z wartością. Wynik to plus dwa.

    22
  8. 8

    Kontrola sensu: dzieliliśmy przez ułamek mniejszy od jedynki, więc wynik musiał wyjść większy co do wartości niż dzielna. Jedna czwarta zamieniła się w dwójkę — zgadza się.

    2>14  ✓2 > \frac{1}{4} \; \checkmark
Wszystkie kroki za Tobą!

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

Twoja kolej

Oblicz wartość wyrażenia i podaj wynik jako liczbę całkowitą:

(−23):(−16)\left(-\frac{2}{3}\right) : \left(-\frac{1}{6}\right)

Ściąga do zapamiętania

Jak liczyć na liczbach wymiernych i od czego zacząć?

Żadnych nowych reguł — łączą się tu znaki z liczb całkowitych, działania na ułamkach i kolejność działań.
• Najpierw wybierz postać: ułamki zwykłe przy mnożeniu i dzieleniu (można skracać) oraz wtedy, gdy w rachunku stoi 13\frac{1}{3} albo 16\frac{1}{6}; dziesiętne przy prostym dodawaniu.
• Potem ustal znak, a dopiero na końcu policz wartość.
• Trzy nawyki: przepisuj wyrażenie po każdym kroku, liczby ujemne bierz w nawias, wspólnego mianownika szukaj dopiero przy dodawaniu.
• Na koniec sprawdź, czy wynik jest skrócony.

Sprawdź się!

Odpowiedziano na 0 z 5 pytań

Skróty klawiszowe quizu: klawisze od 1 do 4 wybierają odpowiedź, Enter sprawdza, a po sprawdzeniu przechodzi do następnego pytania. Każdy przycisk możesz też wybrać Tabem i Spacją.

1

Ile wynosi −25⋅56-\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6}? Wybierz wynik w postaci nieskracalnej.

2

Ile wynosi (−13)2\left(-\frac{1}{3}\right)^2?

3

Ile wynosi −12+12⋅2-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2?

4

Ile wynosi −34:(−38)-\frac{3}{4} : \left(-\frac{3}{8}\right)?

5

W którym momencie warto sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika?

Następny temat
Wartość bezwzględna liczby