Które zdanie o kwadracie jest prawdziwe?

Kwadrat jest rombem, prostokątem i równoległobokiem jednocześnie

Kwadrat jest tylko prostokątem, rombem być nie może

Kwadrat nie jest równoległobokiem, bo nie jest przechylony

Kwadrat jest rombem, ale nie jest prostokątem

Czy każdy romb jest kwadratem?

Nie, bo kąty rombu nie muszą być proste

Tak, bo ma wszystkie boki równe

Nie, bo romb ma tylko trzy boki równe

Tak, bo jest równoległobokiem

Co można powiedzieć o przekątnych rombu?

Zawsze mają taką samą długość

Przecinają się pod kątem $60°$

Równoległoboki i romby — własności — matematyka klasa 5

Popatrz na znak drogowy pierwszeństwa przejazdu — stoi na rogu i wygląda jak kwadrat przechylony o pół obrotu. A teraz spójrz na siatkę na płocie: same przechylone kratki. Obie figury należą do tej samej rodziny co zwykły prostokąt, tylko dostały inne prezenty. Dziś poznasz całe to drzewo rodzinne i przestaniesz się gubić, która figura jest którą.

Równoległobok — dwie pary boków równoległych

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Bok górny jest równoległy do dolnego, a lewy do prawego. Dlatego wygląda jak prostokąt przechylony na bok.

Równoległobok ABCD — jedna kreska i druga kreska to pary równych boków, łuczki to pary równych kątów

Cztery własności wypadające z tego obrotu

Z jednego obrotu o pół obrotu wypadają od razu cztery własności:

- boki przeciwległe są równe — jeśli dolny ma 8 cm, górny też ma 8 cm;
- kąty przeciwległe są równe — te leżące naprzeciw siebie mają tę samą miarę;
- kąty przy jednym boku dają razem $180°$ — to kąty sąsiednie, a bierze się to stąd, że przeciwległe boki są równoległe;
- przekątne przecinają się w połowie — bo obrót zamienia końce każdej przekątnej miejscami, a stoi w miejscu tylko jej środek.

Jak te własności zamieniają się w rachunek

1
Trzecia własność to Twój kalkulator na całą tę lekcję. Znasz jeden kąt, więc sąsiedni wyliczasz odejmowaniem, bo brakuje mu właśnie do 180 stopni.
$180° - 60° = 120°$
2
A gdy dołożysz wszystkie cztery kąty, wyjdzie dokładnie tyle, ile mają razem kąty każdego czworokąta.
$60° + 120° + 60° + 120° = 360°$
3
Czwarta własność działa tak samo prosto: jeśli przekątna ma 12 cm, to punkt przecięcia dzieli ją na dwa odcinki po 6 cm.
$12 : 2 = 6 \text{ cm}$
Wskazówka
Dwie własności, dwa rachunki: odejmowanie od 180 i dzielenie na pół. Nic więcej dziś nie liczymy.

Wszystkie kroki za Tobą!

Romb — równoległobok z równymi bokami

Romb to równoległobok, który ma wszystkie cztery boki równe. Wygląda jak kwadrat postawiony na rogu — tak właśnie rysuje się karo w kartach.

Romb ABCD — cztery jednakowe kreski znaczą cztery równe boki, a przekątne AC i BD przecinają się w połowie i pod kątem prostym

Skoro romb jest równoległobokiem, dostaje w spadku wszystkie cztery jego własności. Do tego ma dwa bonusy, których zwykły równoległobok nie ma:

- przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, czyli pod $90°$ ;
- każda przekątna dzieli kąt rombu na połowę — z kąta $120°$ robią się dwa kąty po $60°$ .

Drzewko rodziny czworokątów

I teraz sedno lekcji. Te figury nie stoją obok siebie jak osobne szufladki — one z siebie wyrastają:

CZWOROKĄTY
└─ RÓWNOLEGŁOBOK
     ├─ PROSTOKĄT — dołożone kąty proste
     ├─ ROMB — dołożone równe boki
     └─ KWADRAT — jedno i drugie naraz

To samo drzewko zapisane warunkami

Tabelka mówi to samo, tylko warunkami:

Figura	dwie pary boków równoległych	wszystkie boki równe	wszystkie kąty proste
równoległobok	tak	nie musi	nie musi
prostokąt	tak	nie musi	tak
romb	tak	tak	nie musi
kwadrat	tak	tak	tak

Kwadrat spełnia wszystkie warunki naraz

Kwadrat spełnia wszystkie warunki naraz — dlatego jest jednocześnie rombem, prostokątem i równoległobokiem. W drugą stronę to nie działa: romb nie musi być prostokątem, bo nikt mu nie obiecywał kątów prostych.

Kwadrat — ma wszystkie boki równe, więc jest rombem, i kąty proste, więc jest prostokątem

Wyliczamy wszystkie kąty równoległoboku z jednego

1
W równoległoboku ABCD kąt przy wierzchołku A ma 70 stopni. To wszystko, co wiemy — i to w zupełności wystarczy.
$\angle A = 70°$
2
Kąt B leży przy tym samym boku co kąt A, więc są to kąty sąsiednie. Razem dają 180 stopni, czyli kąt B to reszta po odjęciu.
$\angle B = 180° - 70° = 110°$
3
Kąt C leży naprzeciw kąta A. Kąty przeciwległe w równoległoboku są równe, więc po prostu przepisujemy.
$\angle C = \angle A = 70°$
4
Kąt D leży naprzeciw kąta B, więc powtarza jego miarę. Mamy komplet: 70, 110, 70 i 110 stopni.
$\angle D = \angle B = 110°$
5
Sprawdzamy. Kąty każdego czworokąta muszą dać razem 360 stopni — i dają, więc rachunek jest dobry.
$70° + 110° + 70° + 110° = 360°$
Wskazówka
Jeden kąt i już masz cztery. Miary skaczą na przemian: mniejsza, większa, mniejsza, większa.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

W równoległoboku jeden z kątów ma $115°$ . Ile stopni ma kąt leżący przy tym samym boku? Wpisz samą liczbę.

\angle A = 115°, \quad \angle B = ?

°

Pułapka! To nie są osobne szufladki

Bardzo częsty odruch: skoro ta figura to kwadrat, to na pewno nie jest rombem. Albo: prostokąt jest za bardzo prosty, żeby być równoległobokiem. Oba zdania są nieprawdziwe. Figura nie traci nazwy przez to, że zasłużyła sobie na dodatkową.

Cztery zdania rozstrzygnięte co do jednego

Cztery zdania, które budzą najwięcej wątpliwości:

Zdanie		Dlaczego
Każdy kwadrat jest rombem	prawda	ma cztery równe boki, a to cały warunek rombu
Każdy romb jest kwadratem	fałsz	romb o kątach $60°$ i $120°$ nie ma kątów prostych
Każdy prostokąt jest równoległobokiem	prawda	boki przeciwległe są równoległe
Każdy równoległobok jest prostokątem	fałsz	wystarczy kąt $70°$

Reguła kierunku: w dół drzewka prawda, w górę fałsz

Zauważ regułę: zdania w dół drzewka są prawdziwe, a w górę prawie zawsze fałszywe. Żeby obalić takie zdanie, wystarczy jeden kontrprzykład.

Myśl o tym jak o zwierzętach: każdy kot jest ssakiem, ale nie każdy ssak jest kotem.

Rozstrzygamy zdania o figurach

1
Zdanie pierwsze: każdy kwadrat jest rombem. Sprawdzamy warunek rombu, czyli cztery równe boki. Kwadrat o boku 6 cm ma cztery boki po 6 cm, więc warunek spełniony — zdanie jest prawdziwe.
$6 = 6 = 6 = 6$
2
Zdanie drugie: każdy romb jest kwadratem. Tu wystarczy jeden kontrprzykład. Romb o kącie 50 stopni ma kąt sąsiedni 130 stopni, a żaden z nich nie jest prosty — zdanie jest fałszywe.
$180° - 50° = 130°$
3
Zdanie trzecie: każdy prostokąt jest równoległobokiem. Prostokąt ma boki przeciwległe równoległe, a to dokładnie definicja równoległoboku — zdanie jest prawdziwe.
$a \parallel c, \quad b \parallel d$
4
Zdanie czwarte: przekątne każdego równoległoboku przecinają się pod kątem prostym. To bonus zarezerwowany dla rombu, a nie własność wszystkich równoległoboków — zdanie jest fałszywe.
$d_1 \perp d_2 \quad \text{tylko w rombie}$
5
Na koniec rachunek z bonusu rombu. W rombie o kącie 120 stopni przekątna dzieli ten kąt na połowę, więc dzielimy przez 2 i wychodzi 60 stopni.
$120° : 2 = 60°$
Wskazówka
Zdanie ze słowem KAŻDY obalisz jednym kontrprzykładem. Jeden przechylony romb załatwia sprawę.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Czy prawdziwe jest zdanie: każdy romb jest kwadratem?

Ściąga do zapamiętania

Jakie własności mają równoległobok i romb i jak się mają do siebie kwadrat, prostokąt i romb?

Równoległobok: dwie pary boków równoległych, boki przeciwległe równe, kąty przeciwległe równe, kąty przy jednym boku razem $180°$ (kąty sąsiednie), przekątne przecinają się w połowie. Romb: równoległobok o wszystkich bokach równych, a dodatkowo jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą kąty na pół. Rodzina: prostokąt jest równoległobokiem, romb jest równoległobokiem, a kwadrat jest naraz rombem, prostokątem i równoległobokiem. Odwrotnie nie: romb nie musi być prostokątem. Mając jeden kąt, resztę liczysz tak: sąsiedni to $180°$ minus ten kąt, przeciwległy jest taki sam.

Równoległobok — dwie pary boków równoległych

Cztery własności wypadające z tego obrotu

Jak te własności zamieniają się w rachunek

Romb — równoległobok z równymi bokami

Drzewko rodziny czworokątów

To samo drzewko zapisane warunkami

Kwadrat spełnia wszystkie warunki naraz

Wyliczamy wszystkie kąty równoległoboku z jednego

Pułapka! To nie są osobne szufladki

Cztery zdania rozstrzygnięte co do jednego

Reguła kierunku: w dół drzewka prawda, w górę fałsz

Rozstrzygamy zdania o figurach

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!