Rodzaje trójkątów

około 12 minut

W tej lekcji1/12

Masz imię i nazwisko — dwie różne rzeczy naraz i nikt nie każe ci wybierać jednej. Z trójkątami jest tak samo: każdy dostaje dwie nazwy — jedną za boki, drugą za kąty.

Pierwsze pytanie: co z bokami

Zmierz boki trójkąta poniżej: ramiona $AC$ i $BC$ mają po $7$ cm, a podstawa $AB$ tylko $4$ cm. Dwa boki równe, trzeci inny — taki trójkąt nazywamy równoramiennym.

Ramiona AC i BC są równe, podstawa AB inna — trójkąt równoramienny

Nazwa	Boki
równoboczny	trzy boki równe
równoramienny	dwa boki równe — to ramiona, trzeci to podstawa
różnoboczny	żadne dwa nie są równe

Drugie pytanie: co z kątami

Weź trójkąt o kątach $40°$ , $60°$ i $80°$ . Największy z nich ma $80°$ , czyli mniej niż $90°$ — a skoro największy nie dobija do kąta prostego, to żaden inny tym bardziej. Taki trójkąt nazywamy ostrokątnym.

Jeden taki kąt wystarczy, żeby cały trójkąt nazwać prostokątnym

Dlatego wystarczy znaleźć największy kąt — pozostałe dwa same się dopowiedzą.

Nazwa	Największy kąt
ostrokątny	mniej niż $90°$
prostokątny	dokładnie $90°$
rozwartokątny	więcej niż $90°$

Dlaczego „jeden kąt” wystarczy

Kąt prosty albo rozwarty może być w trójkącie tylko jeden. Suma kątów to $180°$ , więc dwa kąty proste ( $90 + 90 = 180$ ) zjadłyby całą pulę i na trzeci nie zostałoby nic.

Te dwa podziały się krzyżują

Obie listy działają równocześnie. Każdy trójkąt ma jedną nazwę z pierwszej i jedną z drugiej — trzy razy trzy daje dziewięć możliwych par.

Kąty 90°, 45°, 45° — ten trójkąt jest równoramienny i prostokątny naraz

Dwie pary nazw nie istnieją

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe, więc każdy dostaje $180 : 3 = 60$ stopni — kąt ostry. Nie ma tam miejsca na prosty ani rozwarty.

Zapamiętaj. Równoboczny jest zawsze ostrokątny i zawsze równoramienny (trzy równe boki to tym bardziej dwa równe).

Każdy kąt trójkąta równobocznego

Jak nadać trójkątowi obie nazwy

1
Krok 1. Popatrz tylko na boki i policz, ile z nich jest równych. Kąty na razie cię nie obchodzą.
2
Krok 2. Trzy równe boki to równoboczny, dwa równe to równoramienny, same różne to różnoboczny. Masz pierwszą nazwę.
$3 \text{ równe boki} \to \text{równoboczny}$
3
Krok 3. Teraz odwrotnie: zapomnij o bokach i znajdź największy kąt.
4
Krok 4. Największy kąt mniejszy od $90°$ to ostrokątny, równy $90°$ to prostokątny, większy to rozwartokątny.
$\text{największy} = 90^\circ \to \text{prostokątny}$
5
Krok 5. Złóż obie nazwy i sprawdź, czy kąty sumują się do $180°$ .
$\text{równoramienny} + \text{prostokątny}$
Wskazówka
Dwa spojrzenia, dwie nazwy. Nigdy nie mieszam ich w jednym kroku.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Trójkąt równoramienny ma kąt prosty między ramionami. Ile stopni ma każdy z jego kątów przy podstawie? Wpisz samą liczbę.

90 + ? + ? = 180

Pułapka! Sześć szufladek zamiast dwóch par

Błąd. „Skoro trójkąt jest prostokątny, to nie może być równoramienny” — bo leży już w innej szufladce.

Trzy trójkąty, sześć nazw

1
Trójkąt pierwszy ma boki 6 cm, 6 cm i 6 cm — wszystkie równe, więc równoboczny.
$6 = 6 = 6 \to \text{równoboczny}$
2
Kątów nikt nie podał i nie musi: w równobocznym każdy kąt to 60 stopni, czyli ostry. Pełna nazwa: równoboczny ostrokątny.
$180 : 3 = 60$
3
Trójkąt drugi ma kąty 120, 30 i 30 stopni. Największy przekracza 90 — rozwartokątny.
$120^\circ > 90^\circ \to \text{rozwartokątny}$
4
Dwa kąty są równe, więc leżące naprzeciw nich boki też. To równoramienny rozwartokątny.
$120 + 30 + 30 = 180$
5
Trójkąt trzeci ma boki 3, 4 i 5 cm i największy kąt 90 stopni. Boki różne, kąt prosty: różnoboczny prostokątny.
$3 \ne 4 \ne 5 \to \text{różnoboczny}$
Wskazówka
Zaczynaj od tego, co masz podane. Znasz boki — od boków. Znasz kąty — od kątów.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Trójkąt ma kąty 35° i 45°. Ile stopni ma jego trzeci kąt? Wpisz samą liczbę.

35 + 45 + ? = 180

Ściąga do zapamiętania

Jakie są rodzaje trójkątów i dlaczego każdy trójkąt ma dwie nazwy?

Ze względu na boki: równoboczny (trzy równe), równoramienny (dwa równe), różnoboczny (żadne dwa równe). Ze względu na kąty: ostrokątny (największy kąt < 90°), prostokątny (= 90°), rozwartokątny (> 90°). Podziały się krzyżują — każdy trójkąt ma jedną nazwę z każdej listy, np. trójkąt 90°, 45°, 45° jest równoramienny i prostokątny naraz. Równoboczny jest zawsze ostrokątny (180 : 3 = 60) i zawsze równoramienny. Nie istnieje trójkąt z dwoma kątami prostymi, bo 90 + 90 = 180.

Sprawdź się!

Trójkąt ma boki długości 7 cm, 7 cm i 4 cm. Jak nazywamy go ze względu na boki?

Trójkąt ma kąty $40°$ , $60°$ i $80°$ . Jak nazywamy go ze względu na kąty?

Który z tych trójkątów na pewno NIE istnieje?

Trójkąt równoboczny jest zawsze:

Zosia twierdzi: skoro trójkąt jest prostokątny, to na pewno nie jest równoramienny. Czy ma rację?

Następny temat

Suma kątów trójkąta