Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym — matematyka klasa 8

Cześć! Mała zagadka: $2^3 = 8$ , $2^2 = 4$ , $2^1 = 2$ , $2^0 = 1$ ... i co dalej? Schodzimy po schodach w dół — każdy stopień to dzielenie przez 2. Skoro tak, to $2^{-1}$ powinno być połową jedynki, czyli $\frac{1}{2}$ . I dokładnie tak jest! Dziś zobaczysz, że minus w wykładniku to żadna czarna magia, tylko dalszy ciąg schodów, po których chodzisz od klasy siódmej.

Schody w dół, czyli skąd bierze się ujemny wykładnik

Popatrz na potęgi dwójki ustawione od największego wykładnika do najmniejszego. Za każdym razem, gdy wykładnik maleje o jeden, wynik dzieli się przez 2:

0

2

4

6

8

2²

2³

Ujemny wykładnik to odwrotność: 2⁻¹ = 1/2

Wykładnik	Potęga	Wartość
$3$	$2^3$	$8$
$2$	$2^2$	$4$
$1$	$2^1$	$2$
$0$	$2^0$	$1$
$-1$	$2^{-1}$	$\frac{1}{2}$
$-2$	$2^{-2}$	$\frac{1}{4}$
$-3$	$2^{-3}$	$\frac{1}{8}$

Schody nie kończą się na zerze

Zwróć uwagę na wiersz z zerem: schodząc z $2^1 = 2$ o jeden stopień niżej, znowu dzielimy przez 2 — i stąd $2^0 = 1$ . Nie jest to umowa, tylko konsekwencja tego samego kroku, który obowiązuje w całej tabeli.

Schody nie zatrzymują się na zerze — idą dalej, tylko wchodzą w ułamki. Stąd definicja:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ dla $a \neq 0$

2⁻¹ = 1/2

2⁻² = 1/4

2⁻³ = 1/8

Minus w wykładniku oznacza odwrotność potęgi

Liczysz zwykłą potęgę i piszesz jeden przez nią. Szczególnie ważne są potęgi dziesiątki: $10^{-1} = 0{,}1$ , $10^{-2} = 0{,}01$ , $10^{-3} = 0{,}001$ . Przydadzą się w następnej lekcji o notacji wykładniczej.

Trzy potęgi o ujemnym wykładniku

1
Podnosimy piątkę do kwadratu i zapisujemy odwrotność.
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
2
Dziesiątka do trzeciej to tysiąc, więc wynik ma trzy miejsca po przecinku.
$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$
3
Wykładnik $-1$ daje po prostu odwrotność podstawy.
$4^{-1} = \frac{1}{4}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Ułamek do ujemnej potęgi: odwróć i podnieś

Co z potęgą typu $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$ ? Działa ta sama definicja, ale jest szybszy sposób: odwróć ułamek i zmień znak wykładnika.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(1/2)¹ = 0,5

(1/2)⁻³ = 8

Ujemny wykładnik przerzuca małą liczbę na drugi koniec osi

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$

Ujemna potęga małego ułamka daje dużą liczbę. To logiczne — odwrotność czegoś małego jest duża.

Trzy ułamki podniesione do ujemnej potęgi

1
Odwracamy ułamek i zmieniamy znak wykładnika.
$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$
2
Odwrotnością połowy jest dwójka, więc z małego ułamka robi się liczba większa od jedynki.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$
3
Przy wykładniku $-1$ zostaje sama odwrotność.
$\left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5$

Wszystkie kroki za Tobą!

Druga ważna wiadomość

Wszystkie wzory na działania na potęgach, które znasz z klasy siódmej, działają bez zmian także dla wykładników ujemnych:

Wzór	Przykład z ujemnym wykładnikiem
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^{-3} \cdot 2^{5} = 2^{2} = 4$
$a^m : a^n = a^{m-n}$	$3^{2} : 3^{5} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$
$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$	$\left(5^{-1}\right)^{2} = 5^{-2} = \frac{1}{25}$

Obliczamy potęgę o wykładniku ujemnym

1
Zadanie: oblicz wartość potęgi cztery do minus trzeciej.
$4^{-3}$
2
Krok pierwszy: minus w wykładniku oznacza odwrotność. Zapisujemy jeden przez cztery do trzeciej — minus znika, bo już wykonał swoją robotę.
$4^{-3} = \frac{1}{4^3}$
3
Krok drugi: liczymy zwykłą potęgę w mianowniku.
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
4
Krok trzeci: składamy wynik.
$4^{-3} = \frac{1}{64}$
5
Kontrola schodami: $4^0 = 1$ , potem każdy stopień w dół to dzielenie przez 4. Jeden, jedna czwarta, jedna szesnasta, jedna sześćdziesiąta czwarta. Zgadza się.
$1 \;\rightarrow\; \frac{1}{4} \;\rightarrow\; \frac{1}{16} \;\rightarrow\; \frac{1}{64} \; \checkmark$
Wskazówka
Wynik jest dodatni! Minus w wykładniku nigdy nie robi liczby ujemnej — tylko małą.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz $2^{-4}$ . Wynik podaj jako ułamek nieskracalny.

2^{-4}

Pułapka! Minus w wykładniku to nie minus przed liczbą

Najczęstszy błąd w tym temacie: potraktowanie ujemnego wykładnika jak znaku minus przed wynikiem.

Źle: $2^{-3} = -8$

Dobrze: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Minus w wykładniku odwraca liczbę, a nie zmienia jej znaku. Dla dodatniej podstawy wynik jest zawsze dodatni — tylko mniejszy od jedynki.

Trzy błędne odpowiedzi obok poprawnych

Zestawienie najczęstszych wpadek z tym znakiem:

Wyrażenie	Błędna odpowiedź	Poprawna odpowiedź
$2^{-3}$	$-8$	$\frac{1}{8}$
$10^{-2}$	$-100$	$0{,}01$
$5^{-1}$	$-5$	$\frac{1}{5}$

Minus przy podstawie a minus w wykładniku

Porównaj dwa zupełnie różne zapisy, które uczniowie mylą:

- $(-2)^3 = -8$ — minus stoi przy podstawie, wynik ujemny,
- $2^{-3} = \frac{1}{8}$ — minus stoi w wykładniku, wynik to mały ułamek.

Pułapka! Odwrotność i znak wykładnika we wzorach

Druga pułapka: $a^{-1}$ to odwrotność podstawy, a nie połowa. $5^{-1} = \frac{1}{5} = 0{,}2$ , a nie $2{,}5$ .

Trzecia pułapka: przy wzorach na mnożenie potęg minus trzeba uwzględnić w dodawaniu. $2^{-3} \cdot 2^{4} = 2^{-3+4} = 2^{1} = 2$ , a nie $2^{7}$ . Znak wykładnika wędruje do rachunku razem z liczbą.

Ujemne wykładniki w zadaniach jak z egzaminu

1
Typowe polecenie egzaminacyjne brzmi: „Liczba $2^{-3} \cdot 2^{7}$ jest równa...”. Wzory z klasy siódmej działają — dodajemy wykładniki razem ze znakiem.
$2^{-3} \cdot 2^{7} = 2^{-3+7} = 2^{4}$
2
Teraz zwykła potęga. Odpowiedź: szesnaście.
$2^{4} = 16$
3
Drugi typ: „Zapisz w postaci potęgi liczby 3 wyrażenie trzy do czwartej przez trzy do szóstej”. Dzielenie to odejmowanie wykładników — i tu właśnie rodzi się ujemny wykładnik.
$\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}$
4
Jeśli zadanie pyta o wartość, zamieniamy na odwrotność.
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
5
I trzeci typ, z większymi liczbami: pięć do minus ósmej razy pięć do szóstej. Dodajemy wykładniki: minus osiem plus sześć to minus dwa.
$5^{-8} \cdot 5^{6} = 5^{-2} = \frac{1}{25}$
Wskazówka
Zauważ schemat: najpierw wzory sprowadzają wszystko do jednej potęgi, a odwrotność liczę dopiero na samym końcu.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$ . Podaj wynik.

\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}

Ściąga do zapamiętania

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym — jak ją policzyć?

• Minus w wykładniku to odwrotność: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
• $2^{-3} = \frac{1}{8}$ , $10^{-2} = 0{,}01$ , $5^{-1} = \frac{1}{5}$
• Ułamek: odwróć go i zmień znak wykładnika — $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$
• Pułapka: przy dodatniej podstawie wynik nigdy nie jest ujemny — $2^{-3} = \frac{1}{8}$ , a nie $-8$ ; minus w wykładniku robi liczbę małą, nie ujemną
• Nie myl tego z minusem przy podstawie: $(-2)^3 = -8$
• Wzory na działania obowiązują bez zmian: $2^{-3} \cdot 2^{7} = 2^{4} = 16$

Schody w dół, czyli skąd bierze się ujemny wykładnik

Schody nie kończą się na zerze

Minus w wykładniku oznacza odwrotność potęgi

Trzy potęgi o ujemnym wykładniku

Ułamek do ujemnej potęgi: odwróć i podnieś

Trzy ułamki podniesione do ujemnej potęgi

Druga ważna wiadomość

Obliczamy potęgę o wykładniku ujemnym

Pułapka! Minus w wykładniku to nie minus przed liczbą

Trzy błędne odpowiedzi obok poprawnych

Minus przy podstawie a minus w wykładniku

Pułapka! Odwrotność i znak wykładnika we wzorach

Ujemne wykładniki w zadaniach jak z egzaminu

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!