Niepewność pomiaru i błędy

około 12 minut
W tej lekcji1/11

Ostatnio zmierzyłyśmy ołówek linijką i wyszło 64 mm. Ale przyznaj się szczerze: czubek ołówka prawie nigdy nie trafia idealnie w kreskę. Trochę ją przekracza albo trochę do niej nie dochodzi. Więc ile ten ołówek ma naprawdę? Powiem ci uczciwie: nie wiem. I nikt na świecie nie wie. Wiem za to, w jakim przedziale leży prawda — i właśnie takiej odpowiedzi fizyka od nas oczekuje.

Każdy pomiar ma niepewność

Nie istnieje pomiar idealny. Nie z powodu nieuwagi ani taniej linijki — po prostu tak działa mierzenie. Między dwiema sąsiednimi kreskami skali nie ma już nic do odczytania, ręka drży, przedmiot leży odrobinę krzywo, a palec naciska stoper zawsze troszkę za wcześnie albo troszkę za późno.

Wynik z niepewnością to przedział, nie punkt

Zapis z ±\pm wskazuje odcinek, a nie jedno miejsce. Ołówek może mieć 63 mm, może 64 mm, może 64,7 mm — tego nasza linijka już nie rozstrzygnie. Tak samo czytasz inne wyniki:

- m=250m = 250 g ±1\pm 1 g,
- t=2,5t = 2{,}5 s ±0,2\pm 0{,}2 s.

Wynik podany bez niepewności jest jak zdanie urwane w połowie: nie wiadomo, na ile można mu wierzyć.

Błąd przypadkowy — raz w górę, raz w dół

Błąd przypadkowy za każdym powtórzeniem wypada inaczej. Raz naciśniesz stoper o chwilę za wcześnie, raz o chwilę za późno. Raz przyłożysz linijkę odrobinę wyżej, raz niżej. Wyniki tańczą wokół prawdziwej wartości: część jest za duża, część za mała.

Błąd systematyczny — zawsze w tę samą stronę

Błąd systematyczny nie tańczy. Przesuwa każdy pomiar o tyle samo i w tę samą stronę: waga pokazująca 3 g przy pustej szalce zawyży każde ważenie o 3 g, rozciągnięta taśma zaniży każdy odcinek, a termometr zanurzony za płytko — każdą temperaturę.

Pięć pomiarów i średnia — krok po kroku

  1. 1

    Mierzymy stoperem, ile trwa zjazd wózka po pochylni. Jeden pomiar to za mało — nie wiemy, czy akurat nacisnęliśmy stoper za wcześnie, czy za późno. Dlatego powtarzamy zjazd pięć razy.

    t1=2,4 s,t2=2,6 s,t3=2,5 s,t4=2,3 s,t5=2,7 st_1 = 2{,}4\text{ s},\quad t_2 = 2{,}6\text{ s},\quad t_3 = 2{,}5\text{ s},\quad t_4 = 2{,}3\text{ s},\quad t_5 = 2{,}7\text{ s}
  2. 2

    Wyniki są różne i bardzo dobrze — tak właśnie wygląda błąd przypadkowy. Dwa są większe od reszty, dwa mniejsze. Dodajemy wszystkie.

    2,4+2,6+2,5+2,3+2,7=12,5 s2{,}4 + 2{,}6 + 2{,}5 + 2{,}3 + 2{,}7 = 12{,}5\text{ s}
  3. 3

    Dzielimy sumę przez liczbę pomiarów. To jest średnia arytmetyczna i to ona jest naszym wynikiem — lepszym niż którykolwiek pojedynczy pomiar.

    tsˊr=12,5 s5=2,5 st_{\text{śr}} = \frac{12{,}5\text{ s}}{5} = 2{,}5\text{ s}
  4. 4

    Zostaje niepewność. W szkole szacujemy ją najprościej: sprawdzamy, jak daleko od średniej leży najbardziej odstający pomiar. Najkrótszy zjazd trwał 2,3 s, najdłuższy 2,7 s — oba różnią się od średniej o 0,2 s.

    2,7−2,5=0,2 s,2,5−2,3=0,2 s2{,}7 - 2{,}5 = 0{,}2\text{ s},\quad 2{,}5 - 2{,}3 = 0{,}2\text{ s}
  5. 5

    Zapisujemy wynik razem z niepewnością. Dopiero teraz pomiar jest kompletny i można go wpisać do sprawozdania.

    t=2,5 s±0,2 st = 2{,}5\text{ s} \pm 0{,}2\text{ s}
Wszystkie kroki za Tobą!

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

Twoja kolej

Ważysz tę samą śrubkę pięć razy na wadze z działką 1 g, za każdym razem zdejmując ją i kładąc z powrotem. Wyniki: 51 g, 48 g, 50 g, 49 g, 52 g. Ile gramów wynosi średnia z tych pomiarów? Podaj samą liczbę.

Pułapka! Niepewność to nie to samo co pomyłka

Pomyłka to zwykły ludzki błąd. Odczyt ze złej skali, 46 zapisane zamiast 64, dziewięć wahnięć policzone zamiast dziesięciu. Pomyłkę się usuwa: powtarzasz pomiar starannie i po sprawie. Nie wpisuje się jej do wyniku.

Waga, która oszukuje za każdym razem tak samo

  1. 1

    Ważymy jabłko na wadze kuchennej. Zanim cokolwiek na nią położyliśmy, wyświetlacz pokazywał 3 g zamiast zera. Ktoś zapomniał ją wyzerować, a my to zauważyliśmy — i dobrze, bo za chwilę się przyda.

    pusta waga pokazuje 3 g\text{pusta waga pokazuje } 3\text{ g}
  2. 2

    Ważymy jabłko cztery razy, za każdym razem zdejmując je i kładąc z powrotem w innym miejscu szalki. Wyniki trochę się różnią, bo działa błąd przypadkowy.

    153 g,155 g,152 g,156 g153\text{ g},\quad 155\text{ g},\quad 152\text{ g},\quad 156\text{ g}
  3. 3

    Liczymy średnią: dodajemy cztery wyniki i dzielimy przez cztery.

    153+155+152+1564=6164=154 g\frac{153 + 155 + 152 + 156}{4} = \frac{616}{4} = 154\text{ g}
  4. 4

    Średnia poradziła sobie z rozrzutem, ale nie z wagą. Każdy z czterech pomiarów był zawyżony o te same 3 g, więc ich średnia też jest zawyżona o 3 g. Znamy jednak przesunięcie, więc po prostu je odejmujemy.

    154 g−3 g=151 g154\text{ g} - 3\text{ g} = 151\text{ g}
  5. 5

    Jabłko ma 151 g. Zwróć uwagę, że dwie poprawki zrobiły dwie zupełnie różne rzeczy: średnia zredukowała błąd przypadkowy, a odjęcie 3 g usunęło błąd systematyczny.

    m=151 g±2 gm = 151\text{ g} \pm 2\text{ g}
Wszystkie kroki za Tobą!

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

Twoja kolej

Waga pokazuje 4 g, choć szalka jest pusta. Nie zerując jej, ważysz pudełko kredek trzy razy i dostajesz 88 g, 90 g i 89 g. Ile gramów ma naprawdę to pudełko? Podaj samą liczbę.

Ściąga do zapamiętania

Czym jest niepewność pomiaru i jak sobie radzić z błędami?

NIEPEWNOŚĆ ma każdy pomiar — nie dlatego, że ktoś się pomylił, tylko dlatego, że tak działa mierzenie. Zapis wyniku: l = 64 mm z niepewnością 1 mm oznacza, że prawdziwa długość leży gdzieś między 63 mm a 65 mm. Wynik bez niepewności jest niepełny. BŁĄD PRZYPADKOWY wypada raz w górę, raz w dół (drgająca ręka, moment naciśnięcia stopera). Lekarstwo: powtórz pomiar kilka razy i policz średnią arytmetyczną, czyli sumę wyników podzieloną przez ich liczbę: 12,5 s : 5 = 2,5 s. BŁĄD SYSTEMATYCZNY przesuwa każdy pomiar w tę samą stronę o tyle samo (waga pokazująca 3 g przy pustej szalce, rozciągnięta taśma). Tu średnia NIE pomaga — jest przesunięta tak samo jak pojedyncze pomiary. Lekarstwo: usuń przyczynę (wyzeruj wagę) albo odejmij znane przesunięcie: 154 g - 3 g = 151 g. POMYŁKA to co innego niż niepewność: pomyłkę się poprawia, niepewności nie da się usunąć, można ją tylko oszacować i zmniejszyć.

Sprawdź się!

Odpowiedziano na 0 z 5 pytań

Skróty klawiszowe quizu: klawisze od 1 do 4 wybierają odpowiedź, Enter sprawdza, a po sprawdzeniu przechodzi do następnego pytania. Każdy przycisk możesz też wybrać Tabem i Spacją.

1

Uczeń zapisał wynik pomiaru jako l=64l = 64 mm ±1\pm 1 mm. Co to znaczy?

2

Na który błąd pomaga powtórzenie pomiaru kilka razy i policzenie średniej?

3

Uczeń pięć razy zmierzył ten sam sznurek starą, rozciągniętą taśmą mierniczą. Jego pomiary i prawdziwą długość sznurka pokazuje oś na rysunku. Z jakim błędem ma do czynienia?

4

Które zdanie o niepewności pomiaru jest prawdziwe?

5

Zmierzyłeś ołówek linijką z rysunku. Który zapis wyniku jest uczciwy?

Następny temat
Odczytywanie wykresów